平行線中拐點問題-七年級上冊數(shù)學易錯題

易錯02平行線中拐點問題易錯【例題分析】1．（2020·浙江金華市·七年級期中）如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC．（1）按小明的思路，求∠APC的度數(shù)；（問題遷移）（2）如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；（問題應用）：（3）在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點O、B、D三點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關系．【解析】（1）過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．（2）∠APC=∠α+∠β，理由：如圖2，過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如圖所示，當P在BD延長線上時，∠CPA=∠α-∠β；如圖所示，當P在DB延長線上時，∠CPA=∠β-∠α【小結】本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用．【鞏固提升】1．（2021·全國九年級專題練習）如圖，將一塊帶有60°角的直角三角板放置在一組平行線上，若∠1=35°，則∠2的度數(shù)應該是（

）A．60° B．35° C．30°

D．25°【解析】D【小結】本題主要考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵．2．（2021·河南新鄉(xiāng)市·七年級期末）如圖，已知直線，，，則等于（）A．110° B．100° C．130° D．120°【解析】A【小結】本題考查平行線的性質，是重要考點，作平行輔助線、掌握相關知識是解題關鍵．3．（2020·四川攀枝花市·七年級期末）如圖，某地域的江水經過B、C、D三點處拐彎后，水流的方向與原來相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．50°【解析】A【小結】本題考查的知識點是平行線的性質，關鍵是過C點先作AB的平行線，由平行線的性質求解．4．（2020·重慶市萬州第二高級中學期中）如圖，直線為直角，則等于（）A． B． C． D．【解析】B【小結】本題考查了平行線的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵．5．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學七年級期末）如圖，，，，則（）A． B． C． D．【解析】D【小結】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線的判定與性質是解題關鍵．6．（2020·湖北隨州市·七年級期末）如圖，直線a∥b∥c，直角∠BAC的頂點A在直線b上，兩邊分別與直線a，c相交于點B，C，則∠1＋∠2的度數(shù)是___________．【解析】270°【小結】本題主要考查的是平行線的性質，掌握平行線的性質是解題的關鍵．7．（2021·福建泉州市·七年級期末）如圖，直線∥，△的頂點和分別落在直線和上，若∠1＝60°，且∠1＋∠2＝90°，則的度數(shù)是______°．【解析】30【小結】本題主要考查平行線的性質，掌握平行線的性質是解決問題的關鍵．8．（2020·山東青島市·七年級期中）如圖，已知AB∥DE，∠ABC＝76°，∠CDE＝150°，則∠BCD的度數(shù)為__°．【解析】46【小結】本題主要考查平行線的性質，關鍵是根據(jù)平行線的性質得到角之間的等量關系．9．（2020·鄭州外國語中學九年級月考）如圖，AB∥CD，∠B＝75°，∠E＝27°，則∠D的度數(shù)為_____．【解析】48°【小結】本題考查平行線的性質和三角形外角性質，解題的關鍵是掌握兩直線平行，同位角相等這一性質．10．（2021·全國九年級）如圖，AEFC是折線，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所滿足的關系式為_______________；【解析】或【小結】此題考查了平行線的性質．解題的關鍵是注意掌握兩直線平行，內錯角相等與兩直線平行，同旁內角互補定理的應用與輔助線的作法．11．（2020·上海靜安區(qū)·七年級期中）（1）如圖所示，，且點在射線與之間，請說明的理由．（2）現(xiàn)在如圖所示，仍有，但點在與的上方，①請嘗試探索，，三者的數(shù)量關系．②請說明理由．【解析】（1）過點E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②過點E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【小結】本題考查了平行線的性質，作輔助線并熟記性質是解題的關鍵．12．（2018·上海七年級零模）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點C是夾在AB和DE之間的一點，當AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點C作AB的平行線；（ii）過點C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結AD；（iv）延長AC、DE相交于一點．請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D=度．（不必說明理由）【解析】（1）如圖1，過點作的平行線，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴．（2）如圖2，過作，過作，則∵，∴，∴，，，∴，故答案為：540；（3）如圖3，由（1）（2）可得：，故答案為：．【小結】本題主要考查了平行線的性質，解題時注意：兩直線平行，同旁內角互補．13．（2020·浙江金華市·七年級期中）如圖（1）所示是一根木尺折斷后的情形，你可能注意過，木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，那么請你深入考慮一下其中所包含的一類數(shù)學問題，我們不妨取名叫“木尺斷口問題”．（1）如圖（2）所示，已知，請問，，有何關系并說明理由；（2）如圖（3）所示，已知，請問，，又有何關系并說明理由；（3）如圖（4）所示，已知，請問與有何關系并說明理由．【解析】（1），理由如下：如圖所示，過點E作直線a，使得，則，，（兩直線平行，內錯角相等），∴，即：；（2），理由如下：如圖所示，過點E作直線b，使得，則，，（兩直線平行，同旁內角互補），∴，∵，∴，即：；（3），理由如下：如圖所示，過點E，F(xiàn)，G作直線c，d，e，使得，則，，，，（兩直線平行，內錯角相等），∵，，∴，∴，即：．【小結】本題考查平行線性質的運用，準確掌握平行線的性質并靈活運用是解題關鍵14．（2020·佛山市順德區(qū)杏壇梁銶琚初級中學七年級月考）問題情境1：如圖1，AB∥CD，P是ABCD內部一點，P在BD的右側，探究∠B，∠P，∠D之間的關系？小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可得∠B，∠P，∠D之間滿足關系．（直接寫出結論）問題情境2如圖3，AB∥CD，P是AB，CD內部一點，P在BD的左側，可得∠B，∠P，∠D之間滿足關系．（直接寫出結論）問題遷移：請合理的利用上面的結論解決以下問題：已知AB∥CD，∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點F（1）如圖4，若∠E＝80°，求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖5中，∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，寫出∠M與∠E之間的數(shù)量關系并證明你的結論．（3）若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，設∠E＝m°，用含有n，m°的代數(shù)式直接寫出∠M＝．【解析】問題情境1：如圖2，∠B+∠BPD+∠D＝360°，理由是：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，PE∥AB，∴AB∥PE∥CD，∴∠B+∠BPE＝180°，∠D+∠DPE＝180°，∴∠B+∠BPE+∠D+∠DPE＝360°，即∠B+∠BPD+∠D＝360°，故答案為∠B+∠P+∠D＝360°；問題情境2如圖3，∠P＝∠B+∠D，理由是：過點P作EP∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EP，∴∠B＝∠BPE，∠D＝∠DPE，∴∠BPD＝∠B+∠D，即∠P＝∠B+∠D；故答案為∠P＝∠B+∠D；問題遷移：（1）如圖4，∵BF、DF分別是∠ABE和∠CDE的平分線，∴∠EBF＝∠ABE，∠EDF＝∠CDE，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝80°，∴∠ABE+∠CDE＝280°，∴∠EBF+∠EDF＝140°，∴∠BFD＝360°﹣80°﹣140°＝140°；（2）如圖5，∠E+∠M＝60°，理由是：∵設∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∠E＝60﹣x﹣y，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+∠M＝60°；（3）如圖5，∵設∠ABM＝x，∠CDM＝y(tǒng)，則∠FBM＝（n﹣1）x，∠EBF＝nx，∠FDM＝（n﹣1）y，∠EDF＝ny，由問題情境1得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝360°，∴x+y＝，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴2nx+2ny+∠E＝∠M+（2n﹣1）x+（2n﹣1）y+∠E，∴∠M＝；【小結】本題主要考查了平行線的性質和角平分線、n等分線及四邊形的內角和的運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造同旁內角以及內錯角，依據(jù)平行線的性質進行推導計算，解題時注意類比思想的運用。15．（2020·寧夏石嘴山市·七年級期末）已知，點E、F分別在、上，點G為平面內一點，連接、．（1）如圖，當點G在、之間時，請直接寫出、與之間的數(shù)量關系__________．（2）如圖，當點G在上方時，且，求證：；（3）如圖，在（2）的條件下