《1一元二次方程根的判別式》

17.3一元二次方程根的判別式滬科版八年級下一元二次方程的一般形式：二次項(xiàng)系數(shù)

，一次項(xiàng)系數(shù)

，常數(shù)項(xiàng)

.abc解一元二次方程的方法：直接開平方法因式分解法配方法公式法ax2＋bx＋c=0（a≠0）新課導(dǎo)入用公式法解下列方程：⑴

x2＋x－2=0⑵x2－2x＋1=0⑶x2－2x＋2=0

對于一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

它的根與什么因素有關(guān)呢?

新課導(dǎo)入開平方法配方法方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根方程沒有實(shí)數(shù)根一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根.一元二次方程：ax2＋bx＋c=0（a≠0）

根的情況由b2-4ac來確定我們把叫做一元二次方程的根的判別式，通常用符號“”來表示，即例1不解方程，判別下列方程根的情況：（1）5x2-3x-2＝0；（2）25y2+4＝20y；（3）2x2+x+1＝0.分析：步驟：第一步：寫出判別式?；第二步根據(jù)?的正負(fù)寫結(jié)論。新課講授解：因?yàn)?＝(-3)2-4×5×(-2)＝49＞0，所以原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.解：原方程可變形為：25y2-20y+4＝0因?yàn)?＝(-20)2-4×25×4＝0，所以原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.（1）5x2-3x-2＝0；（2）25y2+4＝20y；特別指出：當(dāng)?≥0時(shí)，有實(shí)數(shù)根.解：因?yàn)?＝()2-4×2×1＝-5＜0，所以原方程沒有實(shí)數(shù)根.（3）2x2+x+1＝0.當(dāng)時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無意義，即方程沒有實(shí)數(shù)根。例2關(guān)于x的一元二次方程x2－(k＋2)x＋2k＝0的根的情況是(

)A．有兩個(gè)不相等的實(shí)根B．總有實(shí)根C．有兩個(gè)相等的實(shí)根D．沒有實(shí)根分析：判別一元二次方程根的情況，主要看根的判別式與零的大小關(guān)系．解：∵Δ＝(k＋2)2－4×2k＝k2＋4k＋4－8k＝k2－4k＋4＝(k－2)2≥0，∴方程總有實(shí)根．B例3k取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？解：∵方程kx2－12x＋9＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴k≠0.方程根的判別式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.由144－36k＞0，求得k＜4，又k≠0，∴當(dāng)k＜4且k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．步驟：1、找準(zhǔn)a，b，c，求?；2、根據(jù)題意列不等式（方程）；3、寫出參數(shù)的范圍。對于一元二次方程當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程沒有實(shí)數(shù)根.注：上述應(yīng)用既可以順著用也可以逆著用.例4

k取何值時(shí)，關(guān)于x的一元二次方程kx2－12x＋9＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？解：∵方程kx2－12x＋9＝0是關(guān)于x的一元二次方程，∴k≠0.方程根的判別式Δ＝(－12)2－4k×9＝144－36k.由144－36k＞0，求得k＜4，又k≠0，∴當(dāng)k＜4且k≠0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)利用根的判別式可以不解方程判斷方程根的情況，反之，已知方程根的情況可以確定方程中待定字母系數(shù)的取值范圍；(2)計(jì)算根的判別式時(shí)，先將方程化成一般形式，確定a，b，c的值后再計(jì)算；(3)已知一元二次方程有實(shí)數(shù)根包括有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根和兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即Δ≥0.1.關(guān)于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根的情況（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定分析：計(jì)算出判別式，可知其值大于零，進(jìn)而可得方程根的情況.課堂練習(xí)1.關(guān)于x的一元二次方程3x2－mx－2＝3的根的情況（）A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.沒有實(shí)數(shù)根D.不能確定A解：因?yàn)榉匠?x2－mx－2的判別式，Δ＝(－m)2－4×3×(-2)＝m2+24k>0.所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選:A2.如果關(guān)于x的方程x2－2x+k＝0（k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是______.分析：根據(jù)一元二次方程的根的判別式的意義，可以得到判別式大于零，然后解不等式即可.2.如果關(guān)于x的方程x2－2x+k＝0（k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么k的取值范圍是______.k＜1解：∵關(guān)于x的方程x2－2x+k＝0（k為常數(shù)）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0,即(－2)2－4×k×1>0.解得k＜1，∴k的取值范圍為k＜1，故答案為：k＜1．3.求證：無論m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有兩個(gè)不相等的實(shí)根.要證明無論m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0，一定有兩個(gè)不相等的實(shí)根，只需證明判別式大于零即可.分析：證明：∵m＞0，∴此方程為一元二次方程，∴?＝[－(2m－1)]2－4m(m－2)＝4m+1，∵m＞0，∴4m+1＞0，即?＞0，故原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.3.求證：無論m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有兩個(gè)不相等的實(shí)根.1.（2018上海）下列對一元二次方程x2+x–3=0根的情況的判斯，正確的是（）(A)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(C)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根分析：根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出判別式大于零，進(jìn)而可得方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根.直擊中考1.（2018上海）下列對一元二次方程x2+x–3=0根的情況的判斯，正確的是（）(A)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(B)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根(C)有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根(D)沒有實(shí)數(shù)根A解：因?yàn)榉匠蘹2+x－3的判別式，Δ＝12－4×1×(-3)＝13>0.所以該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選:A分析：將原方程變形為一般式，根據(jù)根的判別式等于0，可得關(guān)于a的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論.2.（2018安徽）若關(guān)于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）(A)-1(B)1(C)-2或2(D)-3或12.（2018安徽）若關(guān)于x的一元二次方程x(x+1)+ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的值為（）(A)-1(B)1(C)-2或2(D)-3