【化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用7000字（論文）】

化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用目錄TOC\o"1-3"\h\u124301.引言 1282361.1研究背景 118591.2目的與意義 1255941.3化歸思想方法的概念 1154772.化歸思想方法的基本原則及相關(guān)案例 1304182.1熟悉化原則 133882.2簡單化原則 217082.3直觀化原則 2319452.4和諧化原則 2270943.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的化歸方法 242053.1數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化 2326733.1.1換元法 2175493.1.2特殊值法 4194253.1.3補集法 5190823.1.4加強命題法 730233.2形與形之間的轉(zhuǎn)化 9242383.2.1降維法 9303953.2.2等積法 11160124.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)原則 13126384.1由未知到已知 13193354.2由困難到容易 13288934.3由特殊到一般 145964.4由數(shù)到形 14293675.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)意義 14306346.結(jié)束語 1522825參考文獻 16化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用摘要：數(shù)學(xué)思想方法蘊含于數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、發(fā)展及應(yīng)用中，是學(xué)習(xí)者把知識轉(zhuǎn)化為能力的體現(xiàn)，是研究和解決數(shù)學(xué)問題以及生活問題所采用的手段、途徑和方法.在數(shù)學(xué)中，思想和方法是相互依存的，而化歸思想是最普遍、最重要的思想方法之一?；瘹w思想的中心就是將那些復(fù)雜的、抽象的問題，轉(zhuǎn)化為相對簡單的、直觀的問題，便于解決。本文通過對劃歸原則的分析，以及解題實例來展示化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，詳細敘述了化歸思想在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：化歸思想；數(shù)學(xué)教學(xué)；中學(xué)1.引言1.1研究背景隨著經(jīng)濟和科技的發(fā)展，人才需求的增大，教育的改革，新課標的出現(xiàn)，在對學(xué)生的知識與技能，數(shù)學(xué)思想和情感態(tài)度，及學(xué)習(xí)方法的要求也發(fā)生了改變。在數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)知識十分重要，而以數(shù)學(xué)知識作為載體的數(shù)學(xué)思想以及解題方法也同樣重要。數(shù)學(xué)思想方法蘊含于知識的產(chǎn)生、發(fā)展及應(yīng)用中，是學(xué)習(xí)者把知識轉(zhuǎn)化為能力的體現(xiàn)，是研究和解決數(shù)學(xué)問題以及生活問題所采用的手段、途徑和方法。在數(shù)學(xué)中，思想和方法是相互依存的，而化歸思想是最普遍、最重要的思想方法之一。1.2目的與意義化歸思想不僅是數(shù)學(xué)中重要的解題思想，也是我們生活中有效的思維方式?；瘹w在數(shù)學(xué)中無處不在，在中學(xué)數(shù)學(xué)中利用率同樣很高，例如由未知向已知轉(zhuǎn)化，數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化，由多維向一維轉(zhuǎn)化，由復(fù)雜抽象向簡單具體轉(zhuǎn)化?；瘹w思想之中也包含了辯證思想的應(yīng)用，它的實質(zhì)就是利用運動變化發(fā)展的觀點，以及兩個或多個事物之間相互聯(lián)系、相互制約的辯證觀點來解決問題的，我們要學(xué)會善于對所要求解的問題進行變換轉(zhuǎn)化，使得問題更加方便求解，進而解決問題。1.3化歸思想方法的概念在已有的、簡單的、具體的、基本的知識的基礎(chǔ)之上，把A問題通過一定的方式方法進行轉(zhuǎn)化，化歸為相對容易解答的或已有固定解答的B問題，并且通過B問題的解答，能夠得到A問題的解答。有時在復(fù)雜的問題中需要不斷運用化歸思想才能解題，但始終都脫離不了這樣的模式。2.化歸思想方法的基本原則及相關(guān)案例2.1熟悉化原則熟悉化原則就是把陌生化歸為熟悉，在解題過程中我們經(jīng)常遇到的陌生題目，這時可以運用化歸思想，轉(zhuǎn)化為自己相對熟悉的題目，便于利用已經(jīng)掌握的知識和經(jīng)驗來解決所求的問題。中學(xué)生在處理數(shù)學(xué)問題時找不到合適的解題方法，通常是因為他們尚未接觸這類問題，或是問題太過陌生。面對這樣的情況，就可以利用化歸思想將問題化歸為相對熟悉的問題，使得學(xué)生可以運用自己已掌握的知識和方法進行解題。熟悉化原則的常用方法有輔助線法、補集法、加強命題法等。2.2簡單化原則簡單化原則就是把復(fù)雜的、難解的、高維的問題轉(zhuǎn)化為相對簡單的、易解的、低維的問題，以便運用我們已知的簡單的方法解決。這里所指的簡單不僅是指知識的簡化，而且還指問題結(jié)構(gòu)形式和處理方式上的簡化。通常遵循簡單化原則的方法主要有三個，就是降維法、換元法、特殊值法。2.3直觀化原則直觀化原則就是把問題中復(fù)雜抽象的語言表述轉(zhuǎn)化為相對直觀具體的數(shù)學(xué)問題，從而有效把握問題所涉及的各個對象之間的關(guān)系，使問題得到簡化，便于解決。例如把抽象的文字語言表述轉(zhuǎn)化為具體的數(shù)字或者圖形。直觀化原則通常運用的方法有數(shù)形結(jié)合法、等積法等。2.4和諧化原則和諧化原則就是在求解問題時，通過轉(zhuǎn)化所求問題的條件或者結(jié)論，使問題的表現(xiàn)形式更加和諧統(tǒng)一，或者是通過轉(zhuǎn)化命題的形式，使其有助于運用某種數(shù)學(xué)方法或其他的符合人們思維規(guī)律的方式進行推演。通常體現(xiàn)和諧化原則方法有補集法、換元法、等積法等。3.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的化歸方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們運用化歸思想的方法解題，主要分為三大形式：數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化、數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化、形與形之間的轉(zhuǎn)化，便于我們快速定位問題的求解方法。3.1數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化是中學(xué)數(shù)學(xué)中最常見的一種化歸形式。在解題時，通過這類化歸方法可以使所求問題得到簡化，從而運用相對熟悉的步驟求解，由此解決問題。并且在中學(xué)數(shù)學(xué)中，我們能運用到的化歸方法大多數(shù)都是數(shù)與數(shù)之間的轉(zhuǎn)化，例如把所給的方程問題變形求解等，主要包括以下四種化歸方法：3.1.1換元法通常在解題時，我們應(yīng)把某個式子當作一個整體，并用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這就是數(shù)學(xué)中的換元法[5]。換元的關(guān)鍵就是變量的構(gòu)造和設(shè)置，它的實質(zhì)就是替代，理論依據(jù)是等量代換，從而達到轉(zhuǎn)換問題與研究對象的目的，進而將問題轉(zhuǎn)移至代替后的新變量的知識背景中去進行研究，就可以使復(fù)雜問題變換為簡單化，把非標準型問題變換為標準化，簡化解題過程。例1.已知，求的解析式。解：運用換元法，令，后代入原式，構(gòu)造新函數(shù)得，即，從而把繁難的計算和推理簡化，快速求解得到：故的解析式為。例2.已知：數(shù)列的，前項和為，求的通項公式。解：由，可知，則有，則，故，此時運用換元法，令，則，又由，可得：，即，兩邊同時除以2n，再次運用換元法，令，則有，即，再代入得到：。換元法通常是在尋求解題思路的過程，而適當靈活地運用換元，可以為求解問題提供新的依據(jù)和信息，解題思路也會清晰起來。當遇到已知條件和所求問題之間缺少必然聯(lián)系的時候，找出它們之間的聯(lián)系就成為了解決這個問題的關(guān)鍵。這時可以考慮運用換元法進行換元，以起到溝通和橋梁的作用，進而使問題得到解決。3.1.2特殊值法特殊值法就是在某一特定范圍內(nèi)取一個特殊的值，從而將復(fù)雜的問題簡單化，這對于一些不需要整個解題思維的客觀題十分友好，可以做到事半功倍的效果[6]。在一般的問題中，通常運用特殊值法就可以獲得解題的關(guān)鍵信息，由此發(fā)現(xiàn)解決問題的有效途徑。例3.當時，不等式恒成立，試求的最大值。解：題目給出的的范圍顯然不能直接代入不等式中，因此可以運用特殊值法，在不等式中取特殊值，得到，當且僅當時，不等式，恒成立，故有的最大值為2。特殊值法是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種十分高效、快捷、重要的解題方法。在解題時，如果我們熟練掌握了特殊值法的解題規(guī)律，就可以又快又準地找到解題的關(guān)鍵，并降低問題的難度，從而得到正確答案。3.1.3補集法我們通常在解決問題時總是先從題目正面入手進行思考，雖然這是解題的基本步驟，但有的時候用正向思維方式來求解問題的途徑會比較困難。此時，我們就可以改變思維方向，逆向思考，從問題的反面尋求突破口，利用“正難則反，順繁則逆”的技巧，往往可以起到“柳暗花明又一村”的作用。這就是化歸思想中的補集法。例4.已知是一個常數(shù)，求滿足什么條件時，使得拋物線的所有弦都不能被直線垂直平分。解：本題如果直接求解會比較困難，相反地，我們可以逆向思考，把問題轉(zhuǎn)化為：在拋物線上存在關(guān)于直線對稱的兩點，求出的取值范圍。設(shè)在拋物線上存在兩點和關(guān)于直線對稱，則，即，同時消去解得：，故存在和，使得上述方程有解，則有，即，從而得到，因此，原問題的解為。例5.已知函數(shù)在內(nèi)至少有一個零點，試求實數(shù)的取值范圍。解：題中至少有一個零點的情況相對復(fù)雜，并且需要分類討論，難度較大，因此，可以考慮它的反面情形，沒有零點時，a的取值范圍更加明確。假設(shè)當函數(shù)在上沒有零點，即在上有，即在上。當時，，要使，則必有，故原命題的取值范圍是。在數(shù)學(xué)中存在很多的正反關(guān)系，例如函數(shù)與反函數(shù)、對立事件等，都可以為我們提供解題依據(jù)，利用補集法間接求解原問題，簡化問題，降低難度，足以見得補集法在數(shù)學(xué)解題中的重要地位。3.1.4加強命題法加強命題法就是把原命題的限制條件變得更強，使問題的討論范圍更加精確，通常應(yīng)用于數(shù)列和不等式的題目中。通過加強命題后，就可以得到一個比原命題擁有限制更強更加直觀的，并且易于解決的命題，使得我們在通常解題時，思路更加清晰暢通，由此更快地得到求解或者求證的目標[7]。例6.已知數(shù)列。記。求證：當時，（1）；（2）；（3）。解：（1）由題，猜想：。用數(shù)學(xué)歸納法證明：當時，，結(jié)論成立；假設(shè)當時，，則有，，從而，故，綜上所述，故，得證。由，則，相加后可以得到：，故，得證。由，從而，即，故有，補齊得到，則，故,綜上所述得證。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，往往需要我們對題目進行細致靈活的分析。加強命題法是數(shù)學(xué)解題方法中一種技術(shù)性偏高的方法，加上題目的復(fù)雜性，運用這個方法就要求我們具有較高的知識儲備以及敏銳的思維，對我們的能力要求較高，但只要不斷探索練習(xí)，總是可以掌握的。3.2形與形之間的轉(zhuǎn)化立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中比重相當大的一個部分，它蘊含了許多的數(shù)學(xué)思想方法，其中最為典型的就是化歸思想。在中學(xué)立體幾何的學(xué)習(xí)和運用中，化歸思想貫穿了始終，例如運用圖像變換當中的分割、折疊、展開、輔助線以及輔助面等手段處理空間圖形或平面圖形。形與形之間的化歸轉(zhuǎn)化主要包括以下兩種化歸方法：3.2.1降維法降維法就是由三維空間向二維空間轉(zhuǎn)化，目的在于把空間的基本元素化歸到某一個平面上去，然后利用我們熟悉的平面幾何知識來解決問題。降維法是研究和解決立體幾何問題的重要數(shù)學(xué)方法之一，無論是在中學(xué)還是高等教育中，降維法都經(jīng)常被運用到解題當中，可見它在數(shù)學(xué)上的重要性。例9.如圖3，在直四棱柱中，，底面是直角梯形，且是直角，，求異面直線與所成角的大小。（要求答案用反三角函數(shù)來表示）解：由題意可知：是異面直線與所成的角，因此我們應(yīng)把異面直線化歸到一個平面，即求與所成角的大小。連接與，在中，可得，又在中，可得。在梯形中，過點作交于，可得，，，故得到。又在中，可得。則在中，有，故有，即為異面直線BC1圖3例10.如圖4，在側(cè)棱的正三棱錐中，，點分別是上的點，過點作截面，求周長的最小值是多少。解：根據(jù)假設(shè)，則，則,，即，故周長為。此函數(shù)無論是運用換元法，還是求導(dǎo)法，都無法求得最小值，因此我們考慮將例題圖形展開為平面圖形，那么解題思路豁然開朗。如圖4，的周長最小值是，可以看出是一條線段，而又是等腰三角形，則，即利用余弦定理，可得到：，故即為的周長最小值。圖4降維法可以有效的解決一系列復(fù)雜的立體幾何問題，在降維過程中，我們應(yīng)注意抓住求解的關(guān)鍵，構(gòu)造合適的輔助平面進行求解。3.2.2等積法等積法就是選擇從一個棱錐不同的底面和高分別計算棱錐的體積，且體積相同來建立相應(yīng)元素之間的關(guān)系，利用這一思想進行化歸，常?？梢宰龅交y為易，化繁為簡。例11.斜三棱錐的底面是等邊三角形，且邊長為，求側(cè)棱到側(cè)面的距離。解：如圖5，過點作底面的垂線，則有，易證垂足點必在的平分線上。作交于，連接，則，又因為為正三角形，故有，于是有即為矩形。設(shè)側(cè)棱長為，易知，，則，故，則，又由可得：，由，可得，故，即側(cè)棱與側(cè)面的距離為。圖5在中學(xué)數(shù)學(xué)的幾何學(xué)中，等積法是一種特別實用和有效的求解立體幾何問題的方法與技巧。立體幾何中“等積轉(zhuǎn)換”的實質(zhì)就是以面積或者體積來作為媒介，從而我們可以找出相關(guān)元素之間的聯(lián)系，由此得出關(guān)系式，最后解決問題。4.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)原則4.1由未知到已知數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程就是一個個問題解決過程，在問題解決的過程中難免會遇到一些無法解決的問題，若選擇就此止步，那么人無法進步，數(shù)學(xué)也無法得到更好的發(fā)展與繁榮。顯然這不是一種正確的選擇。那么該如何去解決遇到的難題呢？轉(zhuǎn)換看問題的角度，化未知為已知，充分發(fā)揮自身擁有知識的價值，實現(xiàn)新知的認識。在教學(xué)過程中教師可以利用語言或者肢體動作對學(xué)生進行提示，將知識點的來龍去脈講解清楚，讓學(xué)生理解其中的關(guān)鍵以及存在的價值。從已有的知識結(jié)構(gòu)中找到與其熟悉或相似的問題，實現(xiàn)未知與已知之間的轉(zhuǎn)化。在解題過程中學(xué)生的劃歸能力能得到很好的提高，但數(shù)學(xué)問題的表述方式千變?nèi)f化，一些由多個知識點組合而成的問題解決起來會比較困難。因此，能夠快速找到正確有效的解題辦法極為重要，方法的傳授遠比知識更重要。教師應(yīng)將化未知為已知的方法貫穿于數(shù)學(xué)問題解決的始終，同時在每次問題解決之后讓學(xué)生試著去總結(jié)解題的過程與方法，通過一次次的總結(jié)最終將化歸思想深化且內(nèi)化?；粗獮橐阎鋵嵰彩且粋€化陌生為熟悉的過程。4.2由困難到容易一千個人心中就會有一千個哈姆雷特，每個人都有自己看問題的角度，當面對同一問題時不同的人會有不同的解決辦法。在實際生活中問題的解決途徑并不是一成不變的，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中也是如此，我們也會遇到許多一題多解的情況，這告訴我們當遇到問題時我們可以從多個角度去進行嘗試，而不是一條路走到黑。教師在教學(xué)中無論什么問題如果都采用單一的教學(xué)模式和解決方法，這無形中制約了學(xué)生創(chuàng)造性的發(fā)展。在教學(xué)過程中教師需以激勵為主多給予學(xué)生時間與精力去對問題進行研究，探究多種解題思路，拓寬知識面，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的靈活性。例如在學(xué)習(xí)平行四邊形面積公式時，其推導(dǎo)過程中就可采用前面用過的數(shù)方格法，同時還可以通過啟發(fā)引導(dǎo)得出割補法、旋轉(zhuǎn)法等方法。多元的解題思路與思考方向不易導(dǎo)致學(xué)生的思維定勢，能夠靈活多變的去解決數(shù)學(xué)乃至生活中的問題。4.3由特殊到一般匈牙利著名數(shù)學(xué)家路沙·彼得運用生動有趣的文字，在其所著的《無窮的玩藝》中，形象地向我們闡述了數(shù)學(xué)家是怎樣使用化歸思想來解決生活中的問題的[3].書中寫了這樣一個故事：兩個人在一起閑聊時，其中一人問到：“假設(shè)，現(xiàn)在我給你提供煤氣灶、水龍頭、水壺和火柴，讓你燒開水，你會怎么做？”另一人對他提出的簡單問題感到疑惑，但還是回答到：“先把水壺接滿水后，放在煤氣灶上，再開火，等著水燒開就可以了”。接著那人又問到：“如果其他的條件都不變，現(xiàn)在我已經(jīng)把水壺裝滿了水，那你又會怎么處理？”這時，被提問者直接回答到：“當然是直接把水壺放上去，再開火.”然而在數(shù)學(xué)家的思想里，則會有更簡單的回答：“把水倒掉，自然就回到第一個問題了”。這個故事雖然有點夸張，但是它把未知化為已知，非常直觀地體現(xiàn)了化歸思想：化歸，就是把特殊轉(zhuǎn)化成一般進行求解。在總結(jié)我們處理數(shù)學(xué)問題的方法和經(jīng)驗中會發(fā)現(xiàn)，在遇到又陌生又復(fù)雜的問題時，我們往往通過化歸思想把問題進行轉(zhuǎn)化，化歸為一個對我們而言比較熟悉的、簡單的問題來進行求解。這樣就可以把我們學(xué)習(xí)過的知識、已有的經(jīng)驗和方法充分調(diào)動起來解決問題。4.4由數(shù)到形在“數(shù)與代數(shù)”中，加法運算與乘法運算、除法運算和乘法運算、分數(shù)和小數(shù)之間等等都存在著轉(zhuǎn)化，并且是層層遞進，前面的知識為后面的打基礎(chǔ)，是非常有意義的轉(zhuǎn)化。教材中，在進行長方形、三角形、平行四邊形的面積講解時可以串成一條直線，充分發(fā)揮基礎(chǔ)知識的價值，實現(xiàn)對高層次數(shù)學(xué)概念的理解，此過程也無形的滲透了劃歸思想。學(xué)生的學(xué)習(xí)過程變成一個輕松快樂的過程，在這中環(huán)境中學(xué)習(xí)學(xué)生也會掌握得更多更好。因此，該方法在學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中起到了至關(guān)重要的作用，成功掌握和運用這一方法將成為學(xué)生解決數(shù)學(xué)知識的一大法寶。5.化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)意義化歸思想方法作為最為重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，它對中學(xué)生理解數(shù)學(xué)原理及其數(shù)學(xué)內(nèi)涵有著非常重要的作用，如果在教學(xué)過程中能夠讓學(xué)生對化歸思想有著非常正確深刻的理解，那么對于學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中必定有非常大的幫助。所以，中學(xué)教師應(yīng)當將化歸思想方法充分的融入到數(shù)學(xué)教學(xué)中去，了解化歸思想方法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的教學(xué)策略，提高教學(xué)質(zhì)量。并且學(xué)習(xí)化歸思想方法能有利于學(xué)生更深入地理解和掌握其他數(shù)學(xué)思想方法,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力，增強學(xué)生對知識結(jié)構(gòu)的整理能力。同時還能讓學(xué)生把已有的知識與現(xiàn)有的問題相聯(lián)系，增加學(xué)生對解決問題和分析問題的能力。讓學(xué)生在面臨一個具體問題情境，對待解決的問題進行感知觀察時,會把待解決的問題與已有的知識經(jīng)驗相聯(lián)系，將原問題歸結(jié)為一個已經(jīng)能解決的問題，或者