數(shù)學(xué)人教A版高中選擇性必修一（2019新編）3-1-2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（教案）

橢圓的性質(zhì)要點一、橢圓兩個標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的比較橢圓與的區(qū)別和聯(lián)系：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點，，焦距范圍，，對稱性關(guān)于軸、軸和原點對稱頂點，，軸長長軸長=，短軸長=離心率準(zhǔn)線方程左右焦半徑，，要點詮釋：橢圓，（a＞b＞0）的相同點為形狀、大小都相同，參數(shù)間的關(guān)系都有a＞b＞0和，a2=b2+c2；橢圓的焦點總在長軸上，因此已知標(biāo)準(zhǔn)方程，判斷焦點位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪個分母大，焦點就在哪個坐標(biāo)軸上。要點二、橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的離心率離心率：橢圓焦距與長軸長之比：.（）當(dāng)越接近1時，c越接近a，橢圓越扁；當(dāng)越接近0時，c越接近0，橢圓越接近圓；當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，圖形為圓，方程為如圖，O為橢圓的中心，F(xiàn)為焦點，A為頂點，準(zhǔn)線L交OA于B，P、Q在橢圓上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F，設(shè)橢圓的離心率為e，則①e=EQ\f(｜PF｜,｜PD｜)；②e=EQ\f(｜QF｜,｜BF｜)；③e=EQ\f(｜AO｜,｜BO｜)；④e=EQ\f(｜AF｜,｜BA｜)；⑤e=EQ\f(｜FO｜,｜AO｜)評：AQP為橢圓上的點，根據(jù)橢圓的第二定義得，①②④∵｜AO｜=a，｜OF｜=c，∴有⑤；∵｜AO｜=a，｜BO｜=EQ\f(a2,c)，∴有③

要點詮釋：1.橢圓焦半徑：橢圓焦點在x軸上的焦半徑：（左焦半徑），（右焦半徑），是離心率焦點在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（其中分別是橢圓的下上焦點）2.與橢圓共焦點的橢圓方程可設(shè)為：3.有相同離心率：（，焦點在x軸上）或（，焦點在x軸上）4.橢圓的圖象中線段的幾何特征（如下圖）：（1），，；（2），，；（3）,，；要點三、直線與橢圓的位置關(guān)系直線與橢圓的位置關(guān)系將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立成方程組，消元轉(zhuǎn)化為關(guān)于x或y的一元二次方程，其判別式為Δ.①Δ＞0直線和橢圓相交直線和橢圓有兩個交點(或兩個公共點）；②Δ＝0直線和橢圓相切直線和橢圓有一個切點(或一個公共點)；③Δ＜0直線和橢圓相離直線和橢圓無公共點．直線與橢圓的相交弦直線與橢圓問題（韋達(dá)定理的運用）（1）弦長公式：若直線與圓錐曲線相交與、兩點，則：弦長弦長這里的求法通常使用韋達(dá)定理，需作以下變形：；（2）結(jié)論1：已知弦AB是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一條弦，中點M坐標(biāo)為(x0，y0)，則AB的斜率為－eq\f(b2x0,a2y0)運用點差法求AB的斜率，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)；A、B都在橢圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(1,2),a2)＋\f(y\o\al(1,2),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，))兩式相減得：eq\f(x\o\al(1,2)－x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(1,2)－y\o\al(2,2),b2)＝0，∴eq\f(x1－x2x1＋x2,a2)＋eq\f(y1－y2y1＋y2,b2)＝0，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2)＝－eq\f(b2x0,a2y0)，故kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0)結(jié)論2：弦AB的斜率與弦中心M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值：結(jié)論3：若C、D是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右頂點，P為橢圓上不同于C、D的點，則（3）橢圓切線的求法1）切點（）已知時，切線切線2）切線斜率k已知時，切線切線（4）.已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，．求：的面積（用、、表示）．解：設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·①由橢圓定義知：②，則得故【典型例題】類型一：橢圓的簡單幾何性質(zhì)例1.已知橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是一個焦點，A是一個頂點，若橢圓的長軸長是6，且，求橢圓的方程?！窘馕觥繖E圓的長軸長為6，，所以點A不是長軸的頂點，是短軸的頂點，所以|OF|=c，，，所以c=2，b2=32－22=5，故橢圓的方程為或。舉一反三：【變式1】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點在x軸上，離心率為．過點的直線l交C于A，B兩點，且的周長為16，那么C的方程為______【答案】。類型二：求橢圓的離心率或離心率的取值范圍例2.（1）已知橢圓的一個焦點將長軸分成長為的兩段，求其離心率；（2）已知橢圓的一個焦點到長軸兩端點的距離分別為10和4，求其離心率?！窘馕觥浚?）由題意得，即，解得。（2）由題意得，解得，故離心率。舉一反三：【變式1】橢圓的一個頂點與兩焦點構(gòu)成等邊三角形，則此橢圓的離心率是（）【答案】D【變式2】橢圓上一點到兩焦點的距離分別為，焦距為，若成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為【答案】例3.設(shè)M為橢圓上一點，F(xiàn)1、F2為橢圓的焦點，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求橢圓的離心率?！窘馕觥吭凇鱉F1F2中，由正弦定理得：，即，∴，∴。舉一反三：【變式1】以橢圓兩焦點為直徑的圓交橢圓于四個不同點，順次連結(jié)這四個點和兩個焦點，恰好圍成一個正六邊形，則這個橢圓的離心率等于【答案】【變式2】已知橢圓C：的左焦點為F，C與過原點的直線相交于A,B兩點，連接AF，BF，若|AB|=10，|BF|=8，則C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】如圖所示，在ΔAFB中，|AB|=10，|BF|=8，由余弦定理得：，設(shè)為橢圓的右焦點，連接根據(jù)對稱性可得四邊形是矩形，，，解得a=7,c=5.例4．已知一橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸且與橢圓有相同的焦點，并且經(jīng)過點（3，－2），求此橢圓的方程?！敬鸢浮?/p>

舉一反三：【變式1】已知橢圓，以，，為系數(shù)的關(guān)于的方程無實根，求其離心率的取值范圍?！敬鸢浮坑梢阎?，所以，即，不等式兩邊同除可得，解不等式得或.由橢圓的離心率，所以所求橢圓離心率.【變式2】已知點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，若△ABF2是銳角三角形，則該橢圓的離心率e的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】選B，∵點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于A、B兩點，∴F1（－c，0），F(xiàn)2（c，0），，，∵△ABF2是銳角三角形，∴∠AF2F1＜45°，∴tan∠AF2F1＜1，∴，整理，得b2＜2ac，∴a2－c2＜2ac，兩邊同時除以a2，并整理，得e2+2e－1＞0，解得，或，（舍），∵0＜e＜1，∴橢圓的離心率e的取值范圍是。【變式3】已知F1（-c,0）,F2（c,0）為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點且，因此橢圓離心率的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：C解析：設(shè)P（m,n）,,①，把P（m,n）代入橢圓得②，把①代入②得，，又，故.類型三：直線與橢圓的位置關(guān)系例6.已知橢圓，求過點且被平分的弦所在的直線方程．解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為．代入橢圓方程，并整理得：．由韋達(dá)定理得．∵是弦中點，∴．故得．所以所求直線方程為．解法二：設(shè)過的直線與橢圓交于、，則由題意得：，①－②得．⑤將③、④代入⑤得，即直線的斜率為．所求直線方程為．【鞏固練習(xí)】選擇題1．已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，且長軸為12，離心率為，則橢圓的方程是（）A．B．C．D．1．答案：D2．若直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，那么m的取值范圍是（）A．（0，5）B．（0，1）C．[1，5]D．[1，5）2．答案：D解析：直線y=kx+1過定點（0，1），定點在橢圓的內(nèi)部或橢圓上時直線y=kx+1與焦點在x軸上的橢圓總有公共點，∴，得m≥1，∴m的取值范圍是1≤m＜5。3．已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點，P為C上一點，且PF⊥x軸，過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E，若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為（）A．B．C．D．3．答案：A解析：由題意可設(shè)F（―c，0），A（―a，0），B（a，0），令x=―c，代入橢圓方程可得，可得，設(shè)直線AE的方程為y=k（x+a），令x=―c，可得M（―c，k（a―c）），令x=0，可得E（0，ka），設(shè)OE的中點為H，可得，由B，H，M三點共線，可得kBH=kBM，即為，化簡可得，即為a=3c，可得。4．設(shè)P，Q分別為圓x2＋(y－6)2＝2和橢圓上的點，則P，Q兩點間的最大距離是()A．B．C．D．4．答案：D解析：設(shè)Q，由題意得P、Q兩點間的最大距離等于圓心(0,6)到橢圓上Q的最大距離再加上圓的半徑，而圓心(0,6)到橢圓上Q點的距離.所以P、Q兩點間的最大距離等于二、填空題5．橢圓的離心率為，則m=________.5．（1）若0＜m＜4則a2=4，b2=m，∴，∴，得m=3（2）m＞4，則b2=4，a2=m，∴，∴，得；綜上，m=3或6．若圓x2+y2=a2（a＞0）與橢圓有公共點，則實數(shù)a的取值范圍是________.6．答案：[2，3]解析：圓的半徑要比橢圓長軸短，短軸長，因此半徑a的取值范圍為[2，3]7．已知橢圓C的焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點的距離的最大值為3，最小值為1，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為7．解析：由題設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得∴，，∴橢圓的方程為8.在橢圓上有兩個動點M、N，K（2，0）為定點，若，則的最小值為________．8.解析：M在橢圓，可設(shè)M（6cosα，3sinα）（0≤α＜2π），則，由K（2，0），可得：當(dāng)時，取得最小值三、解答題9．已知橢圓的一個焦點為（0，2）求的值.9.解析：方程變形為．因為焦點在軸上，所以，解得．又，所以，適合．故．10.橢圓(a>b>0)的兩焦點為F1（0，-c），F(xiàn)2（0，c）(c>0)，離心率e=，焦點到橢圓上點的最短距離為2-，求橢圓的方程.10．解析：∵橢圓的長軸的一個端點到焦點的距離最短，∴a-c=2-.又e==，∴a=2.故b=1.∴橢圓的方程為+x2=1.11．已知長軸為12，短軸長為6，焦點在軸上的橢圓，過它的左焦點作傾斜角為的直線交橢圓于，兩點，求弦的長．11.解析：利用直線與橢圓相交的弦長公式．因為，，所以．又因為焦點在軸上，所以橢圓方程為，左焦點，從而直線方程為：．由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：．設(shè)，為方程兩根，所以，，，從而．12．已知橢圓方程，長軸端點為，，焦點為，，是橢圓上一點，．求：的面積（用、、表示）．12.解析：如圖，設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)，由橢圓的對稱性，不妨設(shè)在第一象限．由余弦定理知：·．①由橢圓定義知：②則得：．故．13．設(shè)橢圓E的方程為，