數(shù)學(xué)人教A版高中選擇性必修一（2019新編）3-3-1拋物線的方程與性質(zhì)（教案）

拋物線的方程與性質(zhì)【要點梳理】要點一、拋物線的定義定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不經(jīng)過點）的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線．要點二、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)如圖，以過F且垂直于l的直線為x軸,垂足為K.以F,K的中點O為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系xoy.設(shè)|KF|=p(p＞0)，那么焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線l的方程為.設(shè)點M（x,y）是拋物線上任意一點，點M到l的距離為d.由拋物線的定義，拋物線就是集合.將上式兩邊平方并化簡，得①方程①叫拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是它的準(zhǔn)線方程是.拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式：根據(jù)拋物線焦點所在半軸的不同可得拋物線方程的的四種形式，，，要點三、拋物線的簡單幾何性質(zhì)：拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的幾何性質(zhì)范圍：，，拋物線y2=2px（p＞0）在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點M的坐標(biāo)（x，y）的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x的值增大時，|y|也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.對稱性：關(guān)于x軸對稱拋物線y2=2px（p＞0）關(guān)于x軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.拋物線只有一條對稱軸頂點：坐標(biāo)原點拋物線y2=2px（p＞0）和它的軸的交點叫做拋物線的頂點。拋物線的頂點坐標(biāo)是（0，0）離心率：.拋物線y2=2px（p＞0）上的點M到焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率。用e表示，e=1。拋物線的通徑通過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的直線被拋物線所截得的線段叫做拋物線的通徑。因為通過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點而垂直于x軸的直線與拋物線兩交點的坐標(biāo)分別為，，所以拋物線的通徑長為2p；這就是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中2p的一種幾何意義。另一方面，由通徑的定義我們還可以看出，P刻畫了拋物線開口的大小，P值越大，開口越寬；P值越小，開口越窄．拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程幾何性質(zhì)的對比圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p＞0）y2=－2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=－2py（p＞0）頂點O（0，0）范圍x≥0，x≤0，y≥0，y≤0，對稱軸x軸y軸焦點離心率e=1準(zhǔn)線方程焦半徑【典型例題】類型一：拋物線的定義例1.已知拋物線的焦點為（3，3），準(zhǔn)線為x軸，求拋物線的方程?！窘馕觥吭O(shè)M（x，y）為拋物線上的任意一點，則由拋物線的定義，得兩邊平方，整理得∴所求拋物線的方程為舉一反三：【變式】求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）過點(-2，3)；設(shè)y2=2px，以(-2，3)代入，得，∴；設(shè)x2=2py，以(-2，3)代入，得，∴。（2）焦點在直線3x-4y-12=0上；【答案】：若焦點為（4，0），則y2=16x若焦點為（0，-3），則x2=-12y（3）準(zhǔn)線過點(2，3)；【答案】：準(zhǔn)線為x=2，則y2=-8x準(zhǔn)線為y=3，則x2=-12y（4）焦點在y軸上，拋物線上一點到焦點的距離等于5?！敬鸢浮浚涸O(shè)拋物線方程為x2=-2py（p>0），則點M(m,-3)到準(zhǔn)線的距離為5，即，∴p=4，x2=-8y舉一反三：【變式1】根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（1）拋物線的焦點是雙曲線的左頂點；（2）經(jīng)過點A（2，－3）；（3）焦點在直線x-2y-4=0上；（4）拋物線焦點在x軸上，直線y=-3與拋物線交于點A，︱AF︱=5.1.解：（1）雙曲線方程可化為，左頂點是（-3，0）由題意設(shè)拋物線方程為且，∴p=6.∴方程為（2）解法一：經(jīng)過點A（2，－3）的拋物線可能有兩種標(biāo)準(zhǔn)形式：y2＝2px或x2＝－2py．點A（2，－3）坐標(biāo)代入，即9＝4p，得2p＝點A（2，－3）坐標(biāo)代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝x或x2＝－y解法二：由于A（2，-3）在第四象限且對稱軸為坐標(biāo)軸，可設(shè)方程為或，代入A點坐標(biāo)求得m=，n=-，∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝x或x2＝－y（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴直線x-2y-4=0與坐標(biāo)軸的交點為（0，-2），（4，0）?！嘟裹c為（0，-2），（4，0）?！鄴佄锞€方程為或。（4）設(shè)所求焦點在x軸上的拋物線方程為，A（m，-3），由拋物線定義得：，又，∴或，故所求拋物線方程為或。例2.平面上動點P到定點F（1，0）的距離比P到y(tǒng)軸的距離大1，求動點P的軌跡方程。解法一：設(shè)P點的坐標(biāo)為（x，y），則有，兩邊平方并化簡得y2=2x+2|x|?！嗉袋cP的軌跡方程為y2=4x（x≥0）或y=0（x＜0）。解法二：由題意，動點P到定點F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離大1，由于點F（1，0）到y(tǒng)軸的距離為1，故當(dāng)x＜0時，直線y=0上的點適合條件；當(dāng)x≥0時，原命題等價于點P到點F（1，0）與到直線x=―1的距離相等，故點P在以F為焦點，x=―1為準(zhǔn)線的拋線物上，其軌跡方程為y2=4x。故所求動點P的軌跡方程為y2=4x（x≥0）或y=1（x＜0）。類型二：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例3．求過點的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程.【解析】∵點在第二象限，∴拋物線開口方向上或者向左，當(dāng)拋物線開口方向左時，設(shè)所求的拋物線方程為（），∵過點，∴，∴，∴，當(dāng)拋物線開口方向上時，設(shè)所求的拋物線方程為（），∵過點，∴，∴，∴，∴所求的拋物線的方程為或，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是，.舉一反三：【變式1】已知拋物線關(guān)于y軸對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】.【變式2】拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，拋物線上的點(－5,2eq\r(5))到焦點的距離是6，則拋物線的方程為()A．y2＝－2xB．y2＝－4xC．y2＝2xD．y2＝－4x或y2＝－36x【答案】B類型三：拋物線的幾何性質(zhì)例4.（1）寫出拋物線的焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程；（2）已知拋物線的焦點為寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）已知拋物線的焦點在x軸的正半軸上，且焦點到準(zhǔn)線的距離為3，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.【解析】（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因為2p=4，所以焦點坐標(biāo)為（0，1），準(zhǔn)線方程為.（2）因為拋物線的焦點在y軸的負(fù)半軸上，且=2，所以，從而所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（3）由已知得，所以所求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為.舉一反三：【變式】已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是，求它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程【答案】因為p=3，所以焦點坐標(biāo)是準(zhǔn)線方程是例5.求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過點（3，2）的拋物線方程；（2）焦點在直線x－2y－4=0上【解析】（1）設(shè)過點M（3,2）的拋物線方程是或若拋物線方程是，把M（3,2）代入可得，求得，可得拋物線方程是若拋物線的方程為，把M（3,2）代入可得，求得，可得拋物線方程是，故拋物線方程是或（2）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，∴拋物線的焦點為（4，0）或（0，－2）當(dāng)焦點為（4，0）時，=4，∴p=8，此時拋物線方程y2=16x；焦點為（0，－2）時，=2，∴p=4，此時拋物線方程為x2=－8y∴所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=－8y，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=－4，y=2舉一反三：【變式1】已知拋物線y2＝4x的內(nèi)接三角形OAB的一個頂點O在原點，三邊上的高都過焦點，求三角形OAB的外接圓的方程．【答案】∵△OAB的三個頂點都在拋物線上，且三條高都過焦點，∴AB⊥x軸，故A、B關(guān)于x軸對稱，設(shè)A，則B，又F(1,0)，由OA⊥BF得，解得＝20，∴A(5,2)，B(5，－2)，因外接圓過原點，且圓心在x軸上，故可設(shè)方程為：x2＋y2＋Dx＝0，把A點坐標(biāo)代入得D＝－9，故所求圓的方程為x2＋y2－9x＝0.【變式2】如圖過拋物線的焦點F的直線依次交拋物線及準(zhǔn)線于點A，B，C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=4，則拋物線的方程為（）A.B.C.D.【解析】選B，如圖分別過點A，B作準(zhǔn)線的垂線，分別交準(zhǔn)線于點E，D，設(shè)|BF|=a,則由已知得：|BC|=2a，由定義得：|BD|=2a，故，在直角三角形ACE中，，，，從而得因此拋物線的方程是。【變式3】已知拋物線C：y2=8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|=（）A．B．C．5D．2【答案】選A，設(shè)l與x軸的交點為M，過Q向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為N，∵，∴，又|MF|=p=4，∴，∵|NQ|=|QF|，∴?！眷柟叹毩?xí)】選擇題1.直線l過拋物線的焦點，且與拋物線交于A,B兩點，若線段AB的長是8，AB的中點到y(tǒng)軸的距離是2，則此拋物線方程是（）A.B.C.D.1．【答案】B；【解析】設(shè)，根據(jù)拋物線定義：，的中點到y(tǒng)軸的距離是2，，，拋物線方程為2．將拋物線繞頂點逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，所得拋物線的準(zhǔn)線方程是（）A.B.C.D.2．【答案】D；【解析】∵拋物線的焦點為，旋轉(zhuǎn)后頂點為，準(zhǔn)線為3．拋物線過點，是其焦點，又定點，那么（）A.B.C.D.3．【答案】C；【解析】將點的坐標(biāo)代入，得，∴拋物線方程為，焦點，已知，∴=4.如圖，設(shè)拋物線y2=4x的焦點為F，不經(jīng)過焦點的直線上有三個不同的點A，B，C，其中點A，B在拋物線上，點C在y軸上，則△BCF與△ACF的面積之比是（）A.B.C.D.4.【答案】A【解析】5.已知拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓(x－3)2＋y2＝16相切，則p的值為()A.B．1C．2D．45.【答案】C【解析】拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線方程是x＝，由題意知，3＋＝4，p＝2二、填空題6．拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，焦點是橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點，則此拋物線的焦點到準(zhǔn)線的距離為.6.【答案】【解析】，∴p＝.7．到點A(－1,0)和直線x＝3距離相等的點的軌跡方程是________．7．【答案】y2＝8－8x【解析】設(shè)動點坐標(biāo)為(x，y)，由題意得＝|x－3|，化簡得y2＝8－8x.8．拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，已知點A，B為拋物線上的兩個動點，且滿足∠AFB=90°，過弦AB的中點M作拋物線準(zhǔn)線的垂線MN，垂足為N，則的最大值為

8.【答案】【解析】設(shè)|AF|=a，|BF|=b，由定義得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b，由勾股定理得，|AB|2=a2+b2配方得，|AB|2=(a+b)2―2ab，又，∴，得到，∴，即的最大值為9．已知點P為拋物線y2=2x上的動點，點P在y軸上的射影為M，點A的坐標(biāo)為，則|PA|+|PM|的最小值是________．9．【答案】【解析】焦點，準(zhǔn)線，延長PM交準(zhǔn)線于H點，則由拋物線的定義可得|PF|=|PH|，∴.∴，我們只有求出|PF|+|PA|最小值即可.由三角形兩邊長大于第三邊可知，|PF|+|PA|≥|FA|，當(dāng)點P是線段FA和拋物線的交點時，|PF|+|PA|可取得最小值為|FA|，利用兩點間的距離公式求得|FA|=5，則所求為10．圓心在第一象限，且半徑為1的圓與拋物線y2＝2x的準(zhǔn)線和雙曲線的漸近線都相切，則圓心的坐標(biāo)是________．10.【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，b)，則a>0，b>0.∵y2＝2x的準(zhǔn)線為x＝－，的漸近線方程為3x±4y＝0.由題意a＋＝1，則a＝.|3a±4b|＝5，解得b＝或b＝，∴圓心坐標(biāo)為、.三、解答題11．已知點A(0，－2)，B(0,4)，動點P(x，y)滿足eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝y(tǒng)2－8.(1)求動點P的軌跡方程．(2)設(shè)(1)中所求軌跡與直線y＝x＋2交于C、D兩點．求證：OC⊥OD(O為原點)11.【解析】(1)由題意可得＝(－x，－2－y)·(－x,4－y)＝y(tǒng)2－8，化簡得x2＝2y(2)將y＝x＋2代入x2＝2y中，得x2＝2(x＋2)，整理得x2－2x－4＝0，可知Δ＝20>0設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)，x1＋x2＝2，x1·x2＝－4∵y1＝x1＋2，y2＝x2＋2，∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4∵＝x1x2＋y1y2＝0∴OC⊥OD12.如圖，已知拋物線，圓C2：x2+(y－1)2=1，過點P(t，0)（t＞0）作不過原點O的直線P