湖北省宜昌市長(zhǎng)陽(yáng)自治縣民族高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

湖北省宜昌市長(zhǎng)陽(yáng)自治縣民族高級(jí)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值是

（

）

A．27

B．63

C．15

D．31

參考答案：D略2.已知是虛數(shù)單位，則等于（

） A． B． C． D．參考答案：A3.已知向量，滿足，且關(guān)于x的函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，則向量，的夾角的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】求導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，可得判別式小于等于0在R上恒成立，再利用，利用向量的數(shù)量積，即可得到結(jié)論．【解答】解：求導(dǎo)數(shù)可得f′（x）=6x2+6||x+6，則由函數(shù)f（x）=2x3+3|a|x2+6a?bx+7在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，可得f′（x）=6x2+6||x+6≥0恒成立，即x2+||x+≥0恒成立，故判別式△=2﹣4≤0恒成立，再由，可得8||2≤8||2cos＜，＞，∴cos＜，＞≥，∴＜，＞∈[0，]，故選：C．4.已知方程在（0，+∞）有兩個(gè)不同的解α，β（α＜β），則下面結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】利用x的范圍化簡(jiǎn)方程，通過(guò)方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，利用相切求出β的正切值，通過(guò)兩角和的正切函數(shù)求解即可．【解答】解：，要使方程在（0，+∞）有兩個(gè)不同的解，則y=|sinx|的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以直線y=kx與y=|sinx|在內(nèi)相切，且切于點(diǎn)（β，﹣sinβ），由，，故選C．5.設(shè)直線x﹣3y+m=0（m≠0）與雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是(

)A． B． C． D．+1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先求出A，B的坐標(biāo)，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），利用點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，可得=﹣3，從而可求雙曲線的離心率．【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為y=±x，分別與x﹣3y+m=0（m≠0）聯(lián)立，解得A（﹣，﹣），B（﹣，），∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），∵點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，∴=﹣3，∴a=2b，∴c=b，∴e==．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．6.已知集合的充要條件是

（

）

A． B．

C． D．參考答案：答案：C7.已知雙曲線，過(guò)其右焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為 （）A．

B．

C． D．參考答案：D8.若x，y滿足約束條件，則的取值范圍是A.(－∞,2]

B.[2,3]

C.[3,+∞)

D.[2,+∞)參考答案：D9.一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示（單位：cm），則這個(gè)幾何的表面積是（

）

A．

B．12

C．15

D．24參考答案：D略10.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如下，則多面體A－CDEF外接球的表面積是A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)的虛部是______.參考答案：212.如圖，已知過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)A(－a,0)作直線1交y軸于點(diǎn)P，交橢圓于點(diǎn)Q.，若△AOP是等腰三角形，且，則橢圓的離心率為＿＿＿＿參考答案：略13.設(shè)f（x）=，若f（f（4））=，則a=．參考答案：2【考點(diǎn)】5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】利用分段函數(shù)化簡(jiǎn)，由里及外列出方程求解即可．【解答】解：f（x）=，f（4）=0，f（f（4））=f（0）=1+=，解得a=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)值的求解，考查計(jì)算能力．14.

(－)6的展開式中的常數(shù)項(xiàng)是

(用數(shù)字作答).參考答案：6015.關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：

①存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；

②存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；

③存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；

④存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有6個(gè)不同的實(shí)根;

⑤存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根．

其中真命題的序號(hào)是

（寫出所有真命題的序號(hào)）.

參考答案：①②③⑤16.計(jì)算復(fù)數(shù)(1－i)2－＝____________參考答案：－4i17.若函數(shù)f（x）=x2+ln（x+a）與g（x）=x2+ex﹣（x＜0）的圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，）【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象．【專題】綜合題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】由題意可得，存在x＜0使f（﹣x）﹣g（x）=0，即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，從而化為函數(shù)m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零點(diǎn)，從而求解．【解答】解：若函數(shù)f（x）=x2+ln（x+a）與g（x）=x2+ex﹣（x＜0）圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則等價(jià)為g（x）=f（﹣x），在x＜0時(shí)，方程有解，即x2+ex﹣=x2+ln（﹣x+a），即ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a），則m（x）=ex﹣﹣ln（﹣x+a）在其定義域上是增函數(shù)，且x→﹣∞時(shí)，m（x）＜0，若a≤0時(shí)，x→a時(shí)，m（x）＞0，故ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0時(shí)，則ex﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化為：e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．綜上所述，a∈（﹣∞，）．故答案為：（﹣∞，）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)函數(shù)的圖象與方程的根及函數(shù)的零點(diǎn)之間的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)，難度較大．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），。（Ⅰ）若直線y＝x－1是函數(shù)f(x)圖像的一條切線，求a的值；（Ⅱ）對(duì)于任意，f(x)>g(x)恒成立，求a的取值范圍。參考答案：19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若在中，角的對(duì)邊分別為，，為銳角，且，求面積的最大值．參考答案：略20.如圖所示多面體中，⊥平面，為平行四邊形，分別為的中點(diǎn)，，，.（1）求證：∥平面；（2）若∠＝90°，求證;（3）若∠＝120°，求該多面體的體積.參考答案：（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)為O，連FO，DO，可證FO∥ED，且FO=ED，所以四邊形EFOD是平行四邊形，從而可得EF∥DO，利用線面平行的判定，可得EF∥平面PDC；（Ⅱ）先證明PD⊥平面ABCD，再證明BE⊥DP；（Ⅲ）連接AC，由ABCD為平行四邊形可知△ABC與△ADC面積相等，所以三棱錐P-ADC與三棱錐P-ABC體積相等，即五面體的體積為三棱錐P-ADC體積的二倍．（Ⅰ）取PC的中點(diǎn)為O，連FO,DO，∵F,O分別為BP，PC的中點(diǎn)，∴∥BC，且,又ABCD為平行四邊形,∥BC，且,∴∥ED，且∴四邊形EFOD是平行四邊形

--------------------------------2分即EF∥DO

又EF平面PDC

∴EF∥平面PDC．

----------------------4分（Ⅱ）若∠CDP＝90°,則PD⊥DC，又AD⊥平面PDC

∴AD⊥DP,∴PD⊥平面ABCD,

-------------6分

∵BE平面ABCD，∴BE⊥DP

------------8分（Ⅲ）連結(jié)AC,由ABCD為平行四邊形可知與面積相等，所以三棱錐與三棱錐體積相等，即五面體的體積為三棱錐體積的二倍.∵AD⊥平面PDC，∴AD⊥DP,由AD=3，AP=5，可得DP=4又∠CDP＝120°PC=2，由余弦定理并整理得,

解得DC=2

-------------------10分∴三棱錐的體積∴該五面體的體積為

--------------------12分21.

已知橢圓：的右頂點(diǎn)為，過(guò)的焦點(diǎn)且垂直長(zhǎng)軸的弦長(zhǎng)為．

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)拋物線：的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線與兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓上，求面積的最值，并求出取得最值時(shí)的拋物線的方程

參考答案：解析：（I）由題意得所求的橢圓方程為…….6分（II）令

則拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為所以切線AQ方程為:同理可得BQ方程為:聯(lián)立解得Q點(diǎn)為…8分焦點(diǎn)F坐標(biāo)為(0,),令l方程為:代入：得:

由韋達(dá)定理有：所以Q點(diǎn)為…..10分過(guò)Q做y軸平行線交AB于M點(diǎn)，則M點(diǎn)為,

,……..12分而Q點(diǎn)在橢圓上,…..15分

略22.如圖，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求證：平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）若AB=1，求四棱錐C﹣ABED的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何．【分析】（Ⅰ）取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG，欲證AF∥平面BCE，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AF與平面BCE內(nèi)一直線平行即可，而AF∥BG，滿足定理；（Ⅱ）證明AF⊥平面CDE，利用BG∥AF，可得BG⊥平面CDE，即可證明平面BCE⊥平面CDE；（Ⅲ）取AD中點(diǎn)M，連接CM，而CM⊥平面ABED，則CM為四棱錐C﹣ADEB的高，根據(jù)體積公式V=CM?SABED求解即可．【解答】（Ⅰ）證明：取CE的中點(diǎn)G，連FG、BG．∵F為CD的中點(diǎn)，∴GF∥DE且GF=DE．∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，∴GF∥AB．又AB=DE，∴GF=AB．∴四邊形GFAB為平行四邊形，則AF∥BG．∵AF?平面BCE，BG?平面BCE，∴AF∥平面BCE；（Ⅱ）證明：∵△ACD為等邊三角形，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴AF⊥CD

∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF．

又CD∩DE=D，故AF⊥平面CDE．