高中數(shù)學必修2知識點

高中數(shù)學必修2知識點第一章空間幾何體1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征空間幾何體是由不同的幾何圖形組成的，包括柱、錐、臺和球。它們具有不同的結(jié)構(gòu)特征。1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖在學習空間幾何體時，我們需要掌握它們的三視圖和直觀圖。三視圖包括正視圖、側(cè)視圖和俯視圖，直觀圖則使用斜二測畫法。畫三視圖的原則是：長對齊、高對齊、寬相等。斜二測畫法的步驟是：（1）平行于坐標軸的線依然平行于坐標軸；（2）平行于y軸的線長度變半，平行于x、z軸的線長度不變；（3）畫法要寫好。要畫出長方體的斜二測圖，需要按照以下步驟進行：（1）畫軸；（2）畫底面；（3）畫側(cè)棱；（4）成圖。1.3空間幾何體的表面積與體積空間幾何體的表面積和體積是我們需要了解的重要內(nèi)容。棱柱和棱錐的表面積是各個面的面積之和。圓柱的表面積公式為S=2πrl+2πr^2，圓錐的表面積公式為S=πrl+πr，圓臺的表面積公式為S=πrl+πr+πRl+πR，球的表面積公式為S=4πR。柱體的體積公式為V=S底×h，臺體的體積公式為V=(S上+S下+√S上S下)×h/3，球體的體積公式為V=4/3πR^3，錐體的體積公式為V=1/3S底×h。第二章直線與平面的位置關系2.1空間點、直線、平面之間的位置關系空間中的點、直線和平面之間有著不同的位置關系。平面是無限延展的，我們可以使用平面的畫法和表示來描述它們的位置關系。平面的畫法是水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，DC銳角畫成45度，且橫邊畫成鄰邊的2倍長。平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點或者相對AB的兩個頂點的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。我們需要掌握三個公理來描述空間點、直線和平面之間的位置關系。公理1表示如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)，公理2表示過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面，公理3表示如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系空間中的兩條直線有如下三種關系：共面且相交、共面且平行、不共面。在同一平面內(nèi)，直線有不同的位置關系。相交直線是指在同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點的直線。共面直線是指在同一平面內(nèi)，有無數(shù)個公共點的直線。平行直線是指在同一平面內(nèi)，沒有公共點的直線。異面直線是指不在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點的直線。公理4規(guī)定了平行直線的傳遞性，即如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線互相平行。這個公理適用于平面和空間，可以用來判斷空間中兩條直線是否平行。等角定理指出，如果空間中兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。注意點包括：a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關；兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。直線與平面有三種位置關系：直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點；直線與平面相交有且只有一個公共點；直線在平面平行沒有公共點。直線在平面外的情況可以用aα來表示。判定定理規(guī)定了直線與平面平行的判定方法。如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。對于平面與平面的平行判定，一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。判斷兩平面平行的方法有三種：用定義、判定定理、垂直于同一條直線的兩個平面平行。定理指出，一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。利用該定理可解決直線間的平行問題。另一個定理規(guī)定，如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示為α∥β。2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時，它們唯一公共點P叫做垂足。判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。需要注意的是，定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視。此定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形。二面角的記法為α-l-β或α-AB-β。判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.3-2.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。3.1直線的傾斜角和斜率3.1.1直線的傾斜角的概念當直線L與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸正向與直線L向上方向之間所成的角α叫做直線L的傾斜角。特別地，當直線L與x軸平行或重合時，規(guī)定α=0°。傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°。當直線L與x軸垂直時，α=90°。3.1.3直線的斜率一條直線的傾斜角α（α≠90°）的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k=tanα。當直線L與x軸平行或重合時，α=0°，k=tan0°=0；當直線L與x軸垂直時，α=90°，k不存在。由此可知，一條直線L的傾斜角α一定存在，但是斜率k不一定存在。3.1.4直線的斜率公式給定兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，x1≠x2，用兩點的坐標來表示直線P1P2的斜率：斜率公式：3.1.2兩條直線的平行與垂直暫無明顯問題，無需修改。1.如果點M在圓上，則有(x-a)^2+(y-b)^2=r^2；2.如果點M在圓內(nèi)，則有(x-a)^2+(y-b)^2<r^2；3.如果點M在圓外，則有(x-a)^2+(y-b)^2>r^2。2、如果兩條直線互相垂直，那么它們的斜率互為負倒數(shù)。反之，如果它們的斜率互為負倒數(shù)，那么它們互相垂直。注意：上述結(jié)論僅在兩條直線存在且不重合的前提下成立。3、直線的點斜式方程為：直線l經(jīng)過點P(x,y)，且斜率為k，則方程為y-y1=k(x-x1)。斜截式方程為：已知直線l的斜率為k，且與y軸的交點為(0,b)，則方程為y=kx+b。兩點式方程為：已知兩點P1(x1,y1)和P2(x2,y2)，則直線的方程為(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)。4、直線的一般式方程為Ax+By+C=0。斜率為-k的直線的一般式方程為kx+y+b=0。5、兩條直線的交點坐標可以通過解方程組來求解。兩點間的距離公式為：sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)。點到直線的距離公式為：d=|Ax+By+C|/sqrt(A^2+B^2)。6、圓的標準方程為(x-a)^2+(y-b)^2=r^2，其中圓心為A(a,b)，半徑為r。點M(x,y)與圓的關系可以通過比較點到圓心的距離和半徑的大小來判斷。圓的方程可以用一般方程表示為x2+y2+Dx+Ey+F=0。其中，x2和y2的系數(shù)相同且不等于0，沒有xy這樣的二次項。圓的一般方程中有三個特定的系數(shù)D、E、F，只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了。與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯。要判斷直線與圓的位置關系，可以用點到直線的距離來判斷。設直線l的方程為ax+by+c=0，圓C的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，圓的半徑為r，圓心坐標為(-D/2,-E/2)，則圓心到直線的距離為d=|a*(-D/2)+b*(-E/2)+c|/sqrt(a^2+b^2)。根據(jù)d與r的大小關系，可以判斷直線與圓的位置關系：當d>r時，直線與圓相離；當d=r時，直線與圓相切；當d<r時，直線與圓相交。兩個圓的位置關系可以用它們的連心線長來判斷。設兩圓的半徑分別為r1和r2，圓心距離為l，則連心線長為l=sqrt((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中(x1,y1)和(x2,y2)分別是兩個圓的圓心坐標。根據(jù)l與r1、r2的大小關系，可以判斷兩個圓的位置關系：當l>r1+r2時，兩圓相離；當l=r1+r2時，兩圓外切；當|r1-r2|<l<r1+r2時，兩圓相交；當l=|r1-r2|時，兩圓內(nèi)切；當l<|r1-r2|時，一個圓包含另一個圓。在解決直線與圓的位置關系問題時，可以利用平面直角坐標系。首先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担米鴺撕头匠瘫硎締栴}中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。然后通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題。最后將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論。在空間直角坐標系中，點M對應著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、z軸上的坐標。有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)對應著空間直角坐標系中的一點。)2在三維空間中，我們可以使用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示任意一點M的坐標，這個數(shù)組被稱為點M在此空間直角坐標系中的坐標，記為M(x,y,z)。其中，x代表點M的橫坐標，y代表