矩陣理論講義第四章內(nèi)積空間

矩陣理論講義第四章內(nèi)積空間第1頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4.1實內(nèi)積空間定義.設V是一個實線性空間，R為實數(shù)域，2若

a,b

V,存在唯一的r

R與之對應，記作(a,b

)=r,并且滿足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0

a

=0則稱(a,b)為a與b的內(nèi)積，V為實內(nèi)積空間。實內(nèi)積空間也稱歐幾里得(Euclid)空間。對稱性線性性非負性第2頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月3定義內(nèi)積(內(nèi)積的離散形式)例.線性空間稱為內(nèi)積空間的標準內(nèi)積。第3頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4定義內(nèi)積（內(nèi)積一般形式）A為

n階實正定矩陣，例.線性空間第4頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月5定義內(nèi)積（內(nèi)積的連續(xù)形式）例.線性空間C[a,b]，f,g∈C[a,b]第5頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月6由定義知（關于第二個元素的線性性質(zhì)）(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)第6頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月向量長度,Cauchy-Schwarz不等式定義.

設V為實內(nèi)積空間，稱為向量a的長度，記作||a||。定理.

設V是實內(nèi)積空間，a,b

V,k

R，則等號成立當且僅當a,b線性相關；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齊次性第7頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月11例：利用Cauchy-Schwaz不等式證明第11頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的夾角由Cauchy-Schwaz不等式可知第12頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的正交定義.

設V是實內(nèi)積空間，a,b

V,若(a,b)=0

,則稱a與b正交，記作a

b。a與b正交這就是實內(nèi)積空間中的勾股定理。第13頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月15向量a與b在該基下的坐標為第15頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月16第16頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月度量矩陣矩陣

A

稱為基的度量矩陣。即

A

為實對稱矩陣。即

A

為實正定矩陣。第17頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定理：設內(nèi)積空間V的兩個基是：它們的度量矩陣分別為A與B，則A與B是合同的，即存在可逆矩陣P，使得其中可逆矩陣P是由前組基到后組基的過渡矩陣。第18頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4.2標準正交基若它們兩兩正交，則稱其為一個正交向量組。定理：正交向量組必是線性無關的。第19頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月20且其中每個向量的長度都是1，注意：(1)

標準正交基的度量矩陣是單位矩陣，即(2)

向量在標準正交基下的坐標是該向量在對應的基向量上的正投影，即第20頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月Gram-Schmidt正交化過程Gram-Schmidt正交化過程：設是內(nèi)積空間V中線性無關的向量組，，使得則V中存在正交向量組第21頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月Gram-Schmidt正交化過程

圖解第22頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月23令是正交向量組，并且則第23頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月記第24頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月或注意到K是可逆矩陣，因此第25頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月是正交向量組下面用歸納法說明由歸納法假設可知是正交向量組。即第26頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月矩陣A的QR分解推論1：n

維實內(nèi)積空間V必存在標準正交基。推論2：n

維實內(nèi)積空間V中任一正交向量組都可擴充成V

的一個正交基。推論3:設A為可逆陣，則存在正交陣Q和可逆上三角陣R使得A=QR

，稱為矩陣A的QR分解。第27頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月28設A為n階可逆陣，則利用Gram-Schmidt正交化過程，第28頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月30例:求矩陣A的QR分解，第30頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4.3正交子空間定義:設W,U是實內(nèi)積空間V的子空間，(1)a

V,若

b

W,都有(a,b)=0,則稱a與W正交，記作a

W;(2)若a

W,

b

U,都有(a,b)=0,則稱W

與U正交，記作W

U;(3)若W

U，并且W

+U=V,則稱U

為W的正交補。注意：若W

U，則W與U

的和必是直和。第35頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月正交補的存在唯一性定理:設W是實內(nèi)積空間V的子空間，則W的正交補存在且唯一，記該正交補為，并且第36頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的正投影定義:設W是實內(nèi)積空間V的子空間，則稱向量b為向量a在W上的正投影，稱向量長度||g||為向量a到W的距離。WdbOag第37頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月垂線最短定理定理:設W是實內(nèi)積空間V的子空間，a

V,b為a在W上的正投影，則

d

W,有并且等號成立當且僅當b=d。Wdba第38頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘法問題提出:實系數(shù)線性方程組（1）

即任意都可能使

（2）

不等于零．可能無解，第39頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月設法找實數(shù)組使（2）最小,

這樣的為方程組（1）的最小二乘解，

此問題叫最小二乘法問題.最小二乘法的表示:設

（3）

第40頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月用距離的概念，（2）就是

由（3）,

設則要找使（2）最小，等價于找子空間

中向量使到它的距離比到

中其它向量的距離都短.

第41頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月設這等價于

（4）

即

這樣（4）等價于（5）

為此必或這就是最小二乘解所滿足的代數(shù)方程.

第42頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月已知某種材料在生產(chǎn)過程中的廢品率與某種化學成份有關．下列表中記載了某工廠生產(chǎn)中與相應的的幾次數(shù)值：找出對的一個近似公式.例題第43頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月把表中數(shù)值畫出圖來看，發(fā)現(xiàn)它的變化趨勢近于一條直線．因此我們決定選取的一次式

來表達．當然最好能選到適當?shù)氖沟孟旅娴牡仁浇猓憾汲闪?第44頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月實際上是不可能的．任何代入上面各式都發(fā)生

些誤差.于是想找到使得上面各式的誤差的平方和最小，即找使

最小.易知

第45頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月最小二乘解所滿足的方程就是

第46頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月解得（取三位有效數(shù)字）.即為

第47頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4.4正交變換定義:設T是實內(nèi)積空間V的線性變換，若

a

V有則稱T為V的正交變換。第48頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月正交變換的特征刻畫定理:設T是實內(nèi)積空間V的線性變換，a,b

V，則下列命題等價，第49頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月50推論：(1)兩個正交變換的積仍是正交變換；(2)正交變換的逆變換仍是正交變換。第50頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月Householder變換構造的正交變換討論正交變換H的幾何意義。第51頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月故H(a)是a關于子空間的反射，dagbwO-g矩陣H稱為Householder矩陣，變換H稱為Householder變換，變換H也稱初等反射變換。第52頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月53求一個初等反射變換H，使H(a)=b。只需求一個w使得b是a關于子空間的反射，于是w與a-b平行，故可取第53頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月4.5復內(nèi)積空間定義.設V是一個復線性空間，C為復數(shù)域，54若

a,b

V,存在唯一的c

C與之對應，記作(a,b

)=

c,并且滿足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=

k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=

0

a

=

0則稱(a,b)為a與b的內(nèi)積，V為復內(nèi)積空間。復內(nèi)積空間也稱酉空間。對稱性線性性非負性(1)(a,b)=(b,a)第54頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月55定義內(nèi)積例.線性空間稱為復內(nèi)積空間的標準內(nèi)積。第55頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月56在復內(nèi)積空間中還有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)(8)Cauchy-Schwaz不等式且(a,b)=0

a與b正交(10)Schmidt正交化過程把線性無關的向量組變成正交組第56頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月57向量a與b在該基下的坐標為第57頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月58第58頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月度量矩陣矩陣

A

稱為基的度量矩陣。，即

A

為復正定矩陣。，則稱

A

為Hermite矩陣。，即A

為Hermite矩陣。稱

A

為復正定矩陣。第59頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月設T是復內(nèi)積空間V的線性變換，若

a

V有則稱T為V的酉變換。第60頁，課件共63頁，創(chuàng)作于2023年2月定理:設T是復內(nèi)積空間V