矩陣的初等變換與線性方程組

矩陣的初等變換與線性方程組第1頁共92頁第1頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第2頁共92頁一、消元法解線性方程組二、矩陣的初等變換第一節(jié)矩陣的初等變換第2頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第3頁共92頁1、引例求解線性方程組：一、消元法解線性方程組第3頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第4頁共92頁解：1)消元第4頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第5頁共92頁2)回代（4個(gè)未知數(shù)3個(gè)方程，無窮解?？扇∶恳恍械牡谝粋€(gè)未知數(shù)為非自由未知數(shù)，進(jìn)行回代）(B4)第5頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第6頁共92頁則（2）解得第6頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第7頁共92頁方程組的同解變換(消元過程)：1）對(duì)換兩個(gè)方程3）2）對(duì)增廣矩陣B=(A|b)進(jìn)行相應(yīng)的三種初等行變換第7頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第8頁共92頁(B4)(B1)行階梯形：第8頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第9頁共92頁(B4)(B5)行最簡(jiǎn)形第9頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第10頁共92頁對(duì)增廣矩陣（A|b）施行初等行變換，變成行最簡(jiǎn)形。方程組的求解注意：初等列變換不能求解方程組，因?yàn)榱凶儞Q是對(duì)變?cè)M(jìn)行變換，并不是方程的同解變換。第10頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第11頁共92頁1）2）3）jikrr+初等變換的逆變換第11頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁共92頁行等價(jià)：列等價(jià)：等價(jià)：性質(zhì)：矩陣的等價(jià)關(guān)系A(chǔ)～B反身性、對(duì)稱性、傳遞性第12頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第13頁共92頁標(biāo)準(zhǔn)形：第13頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第14頁共92頁如：第14頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第15頁共92頁初等矩陣的概念單位矩陣經(jīng)一次初等變換得到的矩陣1、定義2、三種初等矩陣三種初等變換三種初等方陣第15頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第16頁共92頁jirr?1)|第16頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁共92頁第17頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第18頁共92頁第18頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第19頁共92頁1(k0)2)|第19頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第20頁共92頁第20頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第21頁共92頁3）|第21頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁共92頁第22頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第23頁共92頁第23頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第24頁共92頁))((nkjiAE第24頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第25頁共92頁定理11）行變換，A’為A左乘相應(yīng)的m階初等矩陣2）列變換，A’為A右乘相應(yīng)的n階初等矩陣第25頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第26頁共92頁初等矩陣均可逆，且逆都是同類的初等矩陣：初等矩陣的轉(zhuǎn)置仍為初等矩陣；第26頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第27頁共92頁解：記B＝第27頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第28頁共92頁定理2證:A可逆存在有限個(gè)初等矩陣(充分性)(必要性)顯然.第28頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第29頁共92頁證明：推論1A可逆A經(jīng)有限次初等行變換E可逆矩陣的行最簡(jiǎn)型為E第29頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第30頁共92頁初等行變換同理，對(duì)方程組▲若A可逆第30頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第31頁共92頁（作業(yè)）推論2第31頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第32頁共92頁解例2第32頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第33頁共92頁第33頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第34頁共92頁例3解：……第34頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第35頁共92頁第35頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第36頁共92頁小結(jié)1.單位矩陣初等矩陣.一次初等變換2.利用初等變換求逆陣的步驟是:第36頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第37頁共92頁一、矩陣秩的概念二、矩陣秩的求法三、矩陣秩的一些結(jié)論第三節(jié)矩陣的秩第37頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第38頁共92頁矩陣的秩一、矩陣秩的概念第38頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第39頁共92頁1.矩陣的子式k階子式(k≤{m,n})：任取k行、k列交叉得到的矩陣的行列式相應(yīng)的位置保持不變第39頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁共92頁2.最高階非零子式和秩A的秩＝A的最高階非0子式的階＝R(A)或r(A)第40頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁共92頁第41頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第42頁共92頁例1解第42頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第43頁共92頁例2解第43頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁共92頁問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？二、矩陣秩的求法第44頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第45頁共92頁1、初等變換求矩陣秩的方法：

把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.2、第45頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁共92頁顯然，非零行的行數(shù)為2，第46頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁共92頁例4解第47頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁共92頁A……得第48頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第49頁共92頁取行階梯形中的1、2、4列及1、2、3行對(duì)應(yīng)于原矩陣中的行和列，即可得到A的一個(gè)最高階非0子式注：求解最高階非0子式時(shí)，應(yīng)注意初等變換過程中行、列的對(duì)換情況。第49頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第50頁共92頁例5解分析：第50頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第51頁共92頁……第51頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第52頁共92頁1、n階方陣A可逆2三、矩陣秩的一些結(jié)論第52頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁共92頁3、4、5、Sylverster不等式:第53頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第54頁共92頁例1例2例3第54頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第55頁共92頁矩陣的秩的性質(zhì)1.2.3.～4.5.6.7.(見下節(jié))8.(見下節(jié))第55頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第56頁共92頁一、線性方程組有解的判定條件二、線性方程組的解法第四節(jié)線性方程組的解第56頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第57頁共92頁線性方程組系數(shù)矩陣為線性方程組可記為：相容線性方程組。（不）一、線性方程組有解的判定條件第57頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第58頁共92頁1)m=n時(shí),A是n階方陣,若|A|則可用克萊默法則求解,或用A的逆矩陣表示解.0,2)對(duì)一般的情況如何判定有沒有解?有解時(shí)如何求解?問題：第58頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第59頁共92頁1、非齊次線性方程組推：若方程組的個(gè)數(shù)小于變?cè)膫€(gè)數(shù)，則不可能有唯一解。則方程組：1）無解2）唯一解3）無窮解第59頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第60頁共92頁證：（充分性）…第60頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第61頁共92頁第61頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第62頁共92頁Onn個(gè)m-n個(gè)第62頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第63頁共92頁第63頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第64頁共92頁第64頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第65頁共92頁方程組的通解，自由度為n-r，r越小，解的自由度越大第65頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第66頁共92頁2、齊次方程方程組第66頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第67頁共92頁齊次線性方程組：系數(shù)矩陣化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；非齊次線性方程組：增廣矩陣化成行階梯形矩陣，便可判斷其是否有解．若有解，化成行最簡(jiǎn)形矩陣，便可寫出其通解；3、求解線性方程組步驟:第67頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第68頁共92頁例1求解齊次線性方程組解二、線性方程組的解法第68頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第69頁共92頁第69頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第70頁共92頁例２求解非齊次線性方程組解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換，故方程組無解．第70頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第71頁共92頁例３求解非齊次方程組的通解解對(duì)增廣矩陣B進(jìn)行初等變換第71頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第72頁共92頁故方程組有解，且有無窮解第72頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第73頁共92頁例４

第73頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第74頁共92頁例５設(shè)有線性方程組解第74頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第75頁共92頁第75頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第76頁共92頁其通解為第76頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第77頁共92頁這時(shí)又分兩種情形：第77頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第78頁共92頁第78頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第79頁共92頁解二:由于方程個(gè)數(shù)等于未知數(shù)個(gè)數(shù)可考慮用下面的方法:第79頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第80頁共92頁第80頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第81頁共92頁第81頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第82頁共92頁第82頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第83頁共92頁三、推廣到矩陣方程Th7

AX=B有解R(A)=R(A,B).證：將X，B按列分塊，得第83頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第84頁共92頁（充分性）R(A)=R(A,B)第84頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第85頁共92頁（必要性）AX＝B有解第85頁，課件共90頁，創(chuàng)作于2023年2月第86頁共92頁Th9第86頁