食堂擁擠問題數(shù)學(xué)建模

./2016年XX市高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了XX市高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽的競(jìng)賽規(guī)則。我們完全明白,在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式〔包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等與本隊(duì)以外的任何人〔包括指導(dǎo)教師研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道,抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其它公開的資料〔包括網(wǎng)上查到的資料,必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾,嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則,以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為,我們?cè)敢獬袚?dān)由此引起的一切后果。 我們參賽選擇的題號(hào)為〔從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫：A我們的報(bào)名參賽隊(duì)號(hào)為：參賽組別〔本科或?qū)？疲罕究扑鶎賹W(xué)校〔請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜鸛X學(xué)院參賽隊(duì)員<打印并簽名>：姓名專業(yè)簽名1.數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)2.數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)3.數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)日期：年月日

2016年XX市高校數(shù)學(xué)建模聯(lián)賽編號(hào)專用頁競(jìng)賽評(píng)閱編號(hào)〔由競(jìng)賽評(píng)委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)：評(píng)閱記錄評(píng)閱人評(píng)分備注裁剪線裁剪線裁剪線競(jìng)賽評(píng)閱編號(hào)〔由競(jìng)賽評(píng)委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)：參賽隊(duì)伍的參賽號(hào)碼：〔請(qǐng)各參賽隊(duì)提前填寫好：.A題擁擠的食堂摘要本文根據(jù)題目要求研究我校第一食堂入口擁擠問題,通過5月15至5月20日5天用餐時(shí)間內(nèi)對(duì)我校食堂調(diào)查,通過對(duì)數(shù)據(jù)的分析建立了以分析隊(duì)列長(zhǎng)度的變化的概率統(tǒng)計(jì)分布模型,并且得到了初步的結(jié)果。對(duì)于問題一,通過連續(xù)5天同一時(shí)間同一地點(diǎn)得到了與實(shí)際情況大致相符的所需數(shù)據(jù)。對(duì)于問題二,根據(jù)問題一調(diào)查所得到的結(jié)果,對(duì)問題二進(jìn)行假設(shè)分析,建立以分析隊(duì)列長(zhǎng)度的變化的概率統(tǒng)計(jì)分布模型。對(duì)于問題三,根據(jù)自己的親身經(jīng)歷和觀察,進(jìn)行數(shù)據(jù)調(diào)查建立排隊(duì)理論模型,分析解決問題關(guān)鍵詞：學(xué)生食堂擁擠排隊(duì)論M/M/s模型一問題重述在大學(xué)校園里,每到放學(xué)吃飯的時(shí)候,總是讓同學(xué)們進(jìn)食堂吃飯比較困難,因?yàn)檫M(jìn)門特別擁擠。這是一個(gè)多數(shù)大學(xué)都存在的問題,XX市各高校的食堂也是如此。請(qǐng)建模說明下列問題〔請(qǐng)選自己學(xué)校一個(gè)典型餐廳為例,但在文中不要顯示具體學(xué)校和餐廳的名字問題一：中午放學(xué)的時(shí)候,食堂門口來流人數(shù)達(dá)到每分鐘多少人時(shí),會(huì)發(fā)生擁擠。問題二：如果把中午放學(xué)時(shí),食堂對(duì)著教學(xué)區(qū)開的門適當(dāng)擴(kuò)大50%,對(duì)進(jìn)門擁擠能否有所改善。問題三：如果把食堂對(duì)著教學(xué)區(qū)的門口裝置上隔離欄〔隔離欄：和風(fēng)景區(qū)進(jìn)門檢票、火車站排隊(duì)買票那種形式一樣,達(dá)到把人隔成單一人流的目的,起到強(qiáng)制排隊(duì)的作用,食堂門口來流人數(shù)達(dá)到每分鐘多少人時(shí)會(huì)發(fā)生擁擠。二模型假設(shè)模型一假設(shè):1、由于在周六周日的食堂就餐人數(shù)比較少,對(duì)于擁擠情況至考慮周一至周三的情況,通過對(duì)課表的研究,可以假設(shè)每天的人數(shù)是固定的,有由于長(zhǎng)期習(xí)慣作用的結(jié)果可以認(rèn)為到第一食堂就餐的人數(shù)是穩(wěn)定的。2、每個(gè)人到來的時(shí)刻、他們進(jìn)門的時(shí)間是相等且相互獨(dú)立的。3、不考慮進(jìn)入的人就餐后出門對(duì)擁擠程度的影響。4、每天食堂大門的開啟程度相同。5、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以5分鐘為一個(gè)單位。三符號(hào)說明x:時(shí)間段y1;時(shí)間段內(nèi)到達(dá)食堂的人數(shù)y2：時(shí)間段內(nèi)進(jìn)入食堂的人數(shù)四模型一的準(zhǔn)備表1模型數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)周一12:00至13:00時(shí)間段123456789101112到達(dá)人數(shù)451251602152943132802001801058345進(jìn)入人數(shù)4512516021021822021521721418514789周二12:00至13:00到達(dá)人數(shù)601051541903013212672111701019352進(jìn)入人數(shù)60105154190212223215220210193143100周三12:00至13:00到達(dá)人數(shù)55150151240305326293189175948038進(jìn)入人數(shù)55150151208214221217215211186154114注：此數(shù)據(jù)來源于本組成員周一至周三于我校食堂門口調(diào)查所得表2數(shù)據(jù)整理時(shí)間段123456789101112平均到達(dá)人數(shù)501271552153003202802001751008545平均進(jìn)入人數(shù)50127155203215221216217212188148101五模型的建立與求解1、繪制散點(diǎn)圖2、繪制擬合圖注：到達(dá)人數(shù)擬合圖注：進(jìn)入人數(shù)擬合圖利用matlab多項(xiàng)式擬合得到時(shí)間和到達(dá)人數(shù)的二次多項(xiàng)式關(guān)系式利用matlab多項(xiàng)式擬合得到時(shí)間和進(jìn)入人數(shù)的二次多項(xiàng)式關(guān)系式問題一：由以上圖形和關(guān)系式對(duì)于問題求解：將y1,y2的擬合圖進(jìn)行比較分析如下圖對(duì)于y2進(jìn)行一次求導(dǎo)當(dāng)dy2=0時(shí),求解得到x=6.8714,則由方程y1可知在〔1,6.8714上為增函數(shù),在〔6.8714,12上為減函數(shù)。則y2的最大值約為229人,則每分鐘進(jìn)入人數(shù)約為46人,此時(shí)y1的值為261人,超過y2的最大值,即在此時(shí)食堂門口的情況為擁擠。由此可知我校食堂每分鐘到達(dá)人數(shù)超過46人時(shí),門口開始擁擠。由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)、假設(shè)以及數(shù)據(jù)整理分析可知,當(dāng)適當(dāng)?shù)臄U(kuò)大食堂門時(shí),可以改善食堂門口的擁擠情況。問題二：由問題一得數(shù)據(jù)及模型進(jìn)行分析,當(dāng)食堂門口擴(kuò)大50%時(shí),在問題一求解所得到的時(shí)間段內(nèi),對(duì)問題二進(jìn)行求解,在該時(shí)間段所進(jìn)入的人數(shù)為y<6.8714>=〔1+50%*y2=343人,大于這時(shí)到達(dá)的人數(shù)261人,不會(huì)發(fā)生擁擠,情況得到改善。模型二假設(shè)1、由于在周六周日的食堂就餐人數(shù)比較少,對(duì)于擁擠情況至考慮周一至周三的情況,通過對(duì)課表的研究,可以假設(shè)每天的人數(shù)是固定的,有由于長(zhǎng)期習(xí)慣作用的結(jié)果可以認(rèn)為到第一食堂就餐的人數(shù)是穩(wěn)定的。2、每個(gè)人到達(dá)時(shí)間間隔隨即,服從負(fù)指數(shù)分布。3、不考慮進(jìn)入的人就餐后出門對(duì)擁擠程度的影響。4、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)以10秒鐘為一個(gè)單位。5、排隊(duì)遵循先到先進(jìn)原則。6、每個(gè)欄桿口對(duì)學(xué)生來說都一樣,且以并聯(lián)方式連接,學(xué)生進(jìn)入時(shí)間服從參數(shù)為μ的負(fù)指數(shù)分布。符號(hào)說明λ:學(xué)生到達(dá)強(qiáng)度μ:欄桿容許進(jìn)入的能力t:學(xué)生平