河南省濮陽市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題（含答案）

第第頁河南省濮陽市2022-2023學年高二下學期期中數(shù)學試題（含答案）2023級高二下學期期中質(zhì)量檢測

數(shù)學試題

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的．

1．在數(shù)列中，，，則（）

A．-2B．-1C．D．2

2．直線ax+y+3a-1=0恒過定點M，過點M，且與直線x+2y+2=0垂直的直線方程為（）

A．2x-y+7=0B．2x-y+1=0C．x+2y+1=0D．x-2y+7=0

3．已知，則曲線在點處的切線方程為（）

A．y=xB．y=3xC．y=2xD．y=4x

4．已知四棱柱的底面為平行四邊形，M為與的交點．若，，，則下列向量中與相等的向量是（）

A．B．C．D．

5．為有效防范新冠病毒蔓延，國內(nèi)將有新型冠狀肺炎確診病例地區(qū)及其周邊劃分為封控區(qū)、管控區(qū)、防范區(qū)．為支持某地新冠肺炎病毒查控，某院派出醫(yī)護人員共5人，分別派往三個區(qū)，每區(qū)至少一人，甲、乙主動申請前往封控區(qū)或管控區(qū)，且甲、乙恰好分在同一個區(qū)，則不同的安排方法有（）

A．12種B．18種C．24種D．30種

6．將自然數(shù)1，2，3，4，5，…按照下圖排列，我們將2，4，7，11，16，…都稱為“拐角數(shù)”，則第100個“拐角數(shù)”為（）

A．5050B．5051C．10100D．10101

7．阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓若平面內(nèi)兩定點A、B間的距離為2，動點P滿足，則的最小值為（）

A．B．C．D．

8．若，則（）

A．B．

C．D．

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，有錯選的得0分，部分選對的得2分．

9．已知點，，斜率為k的直線l過點，則下列滿足直線l與線段AB相交的斜率k取值范圍是（）

A．B．C．D．

10．在新高考方案中，選擇性考試科目有：物理、化學、生物、政治、歷史、地理6門．學生根據(jù)高校的要求，結(jié)合自身特長興趣，首先在物理、歷史2門科目中選擇1門，再從政治、地理、化學、生物4門科目中選擇2門，考試成績計入考生總分，作為統(tǒng)一高考招生錄取的依據(jù)．某學生想在物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6門課程中選三門作為選考科目，下列說法正確的是（）

A．若任意選科，選法總數(shù)為

B．若化學必選，選法總數(shù)為

C．若政治和地理至多選一門，選法總數(shù)為

D．若物理必選，化學、生物至少選一門，選法總數(shù)為

11．如圖，在棱長為1的正方體中，P為棱的中點，Q為正方形內(nèi)一動點（含邊界），則下列說法正確的是（）

A．三棱錐的體積為定值

B．若平面，則動點Q的軌跡是一條線段

C．存在Q點，使得平面

D．若直線與平面所成角的正切值為，那么Q點的軌跡長度為

12．設雙曲線焦距為2c，離心率為e，且a，c，a+c成等比數(shù)列，A是E的一個頂點，F(xiàn)是與A不在y軸同側(cè)的焦點，B是E的虛軸的一個端點，PQ為E的任意一條不過原點且斜率為的弦，M為PQ中點，O為坐標原點，則下列判斷正確的是（）

A．E的一條漸近線的斜率為B．

C．D．若，則恒成立

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13．若，則______．

14．袋中裝有9個形狀大小均相同的小球，其中4個紅球，3個黑球，2個白球，從中一次取出2個球，記事件A=“兩球是同一顏色”，事件B=“兩球均為紅球”，則______．

15．已知拋物線的焦點為F，過點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，與準線交于C點，F(xiàn)為AC的中點，且，則p=______．

16．已知直線y=ax+b與曲線相切，則a+b的最小值是______．

四、解答題：共70分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．

17．（本小題滿分10分）2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”，冬殘奧會吉祥物“雪容融”，它們的設計充分體現(xiàn)了中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化和奧運精神的融合．如下圖，某老師為了增加吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”在班級學生中的印象，進行了拼詞游戲．請同學在大小相同的6個乒乓球上分別寫上“冰”、“墩”、“墩”、“雪”、“容”、“融”，再請其他同學從6個乒乓球中一次取出3個，進行拼詞游戲．

（1）若某同學一次抽取三個乒乓球進行拼詞游戲，求能拼成吉祥物名稱的概率；

（2）若某位同學抽取的三個乒乓球中，至少抽到一個“墩”的概率．

18．（本小題滿分12分）

記為正項數(shù)列的前n項和，已知，．

（1）求數(shù)列的前n項和；

（2）若，求數(shù)列的前n項和．

19．（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，平面ABCD，E是棱PC的中點．

（1）證明：平面BDE；

（2）若PD=AD=BD=1，，且F為棱PB上一點，DF與平面BDE所成角的大小為，求的值．

20．（本小題滿分12分）某商店欲購進某種食品（保質(zhì)期為兩天），且該商店每兩天購進該食品一次（購進時，該食品是剛生產(chǎn)的）．根據(jù)市場調(diào)查，該食品每份進價8元，售價12元，如果兩天內(nèi)無法售出，則食品過期作廢，且兩天內(nèi)的銷售情況互不影響。為了解市場的需求情況，現(xiàn)統(tǒng)計該食品在本地區(qū)100天的銷售量，如下表：

銷售量（份）15161718

天數(shù)20304010

（1）根據(jù)該食品在本地區(qū)100天的銷售量統(tǒng)計表，記兩天一共銷售該食品的份數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望：（視樣本頻率為概率）

（2）以兩天內(nèi)該食品所獲得的利潤的數(shù)學期望為決策依據(jù)，若該商店計劃-次性購進32份或33份該食品，試判斷哪一種獲得的利潤更高．

21．（本小題滿分12分）已知橢圓，A為橢圓與y軸交點，，為橢圓左、右焦點，為等腰直角三角形，且橢圓上的點到焦點的最短距離為．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓C交于M，N兩點，點，記直線PM的斜率為，直線PN的斜率為，當時，求證直線l恒過一定點．

22．（本小題滿分12分）已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）設函數(shù)，若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍．

2023級高二下學期期中質(zhì)量檢測

數(shù)學參考答案

一、選擇題

1．B2．A3．D4．C5．C6．B7．A8．C

二、選擇題

9．AB10．ABC11．ABD12．ABC

三、填空題

13．-114．15．16．-1

四、解答題

17．解析（1）記“能拼成吉祥物”為A事件．

基本事件總數(shù)在6個乒乓球中任取3個有種．

而滿足條件的只有2種，即“冰墩墩”和“雪容融”．

∴．

（2）記至少抽到一個“墩”為B事件，則一個“墩”也抽不到的種類數(shù)為，

則

18．解析（1）當時，因為

所以，即，

所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項為，

所以，又為正項數(shù)列，則；

（2）由（1）可知，當時，，

亦適合上式，所以，

所以，

當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，

綜上可知

19．解析（1）證明：如圖，連接AC交BD于點M，連接EM，

因為M是AC的中點，E是PC的中點，所以

又平面BDE，平面BDE，

所以平面BDE．

（2）因為PD=AD=BD=1，，所以，所以，故以D為坐標原點，DA為x軸，DB為y軸，DP為z軸建立空間直角坐標系，

則，，，，，，

，，

設平面BDE的法向量為，

則，即，

故取

設，

則，

因為直線DF與平面BDE所成角的大小為，

所以，即

解得

故此時．

20．解析（1）根據(jù)題意，兩天一共銷售該食品的份數(shù)為的取值依次為30，31，32，33，34，35，36，

，

，

，

，

，

，

，

所以的分布列為

30313233343536

P

所以

（2）當一次性購進32份時，利潤的數(shù)學期望為

，

當一次性購進33份時，利潤的數(shù)學期望為

，

由可知，當一次性購進32份該食品時，獲得的利潤更高．

21．解析（1）由題意得，解得

所以求橢圓C的方程為．

（2）由題意得知直線l的斜率不為0，

故可設，，，，

聯(lián)立得，

由得，

所以，，

，

即，

所以直線l的方程為，即，

所以證直線l恒過一定點．

22．解析（1）函數(shù)的定