陜西省西安市大聯(lián)考2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

2022-2023學(xué)年第二學(xué)期期中檢測(cè)高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘，試卷滿(mǎn)分：150分）注意事項(xiàng)：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.2.回答第Ⅰ卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.3.回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.4.考試結(jié)束后，將答題卡交回.第Ⅰ卷（選擇題共60分）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，則向量在上的投影是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由投影的概念計(jì)算即可.【詳解】在方向的投影為.故選：A.2.在中，已知是邊上一點(diǎn)，若，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量線性運(yùn)算可直接得到結(jié)果.【詳解】，.故選：A.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件思考題中平面和直線所可能的各種情況，運(yùn)用有關(guān)的定理逐項(xiàng)分析.【詳解】當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，可能有，但也有可能或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；在如圖所示的正方體中，取為，為，為平面，為平面，這時(shí)滿(mǎn)足，，，但不成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)，，時(shí)，必有，從而，故選項(xiàng)D正確；故選：D.4.在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，若三棱錐的外接球的表面積為100π，則三棱錐體積的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】分別求出外接圓，三棱錐的外接球的半徑，再由平面時(shí)，三棱錐體積取最大值，從而由公式得出體積.【詳解】設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐的外接球的半徑為.因?yàn)槿忮F的外接球的表面積為100π，所以，三角形ABC的外接圓半徑為，三棱錐體積取最大值時(shí)，平面，此時(shí)，最大值為：.故選：B5.已知復(fù)數(shù)，則的值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式可求得.【詳解】，因此，.故選：D.6.下列說(shuō)法正確的有（）A.已知，，若與共線，則B.若，，則C.若，，為銳角，則實(shí)數(shù)的范圍是D.若，則一定不與共線【答案】C【解析】【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示可判斷A選項(xiàng)；取可判斷B選項(xiàng)；分析可知，且與不共線，求出實(shí)數(shù)的取值范圍，可判斷C選項(xiàng)；取，，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，，與共線，則，解得，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，，而向量與可以不共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，，為銳角，則，且與不共線，即且，解得，C正確；對(duì)于D，若，，滿(mǎn)足，而與共線，D錯(cuò)誤.故選：C.7.所有棱長(zhǎng)均相等的三棱錐構(gòu)成一個(gè)正四面體，則該正四面體的內(nèi)切球與外接球的體積之比為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，結(jié)合勾股定理可求兩球的半徑，從而可得它們的體積之比．【詳解】如圖，設(shè)為正三角形的中心，連接，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知正四面體的內(nèi)切球和外接球共球心且球心在線段上，連接，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則，故．設(shè)外接球的半徑為，則，故，解得，故內(nèi)切球的半徑為，所以，故內(nèi)切球與外接球的體積之比為，故選：A．8.已知非零平面向量，，滿(mǎn)足，，若與的夾角為，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解法一利用絕對(duì)值三角不等式得到，然后求的最小值即可；解法二設(shè)，，，易得，則的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，連接，然后又，，三點(diǎn)共線且在，中間時(shí)，取得最小值求解.【詳解】解法一由題可得，，所以要求的最小值，需求的最小值.因?yàn)?，與的夾角為，所以的最小值為，所以，即的最小值為，解法二如圖，設(shè)，，，則，.由，知，點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，連接，結(jié)合圖形可知，當(dāng)，，三點(diǎn)共線且在，中間時(shí)，取得最小值.由正弦定理得：，所以，故的最小值為.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是根據(jù)與的夾角為，由的最小值為而得解.9.在復(fù)平面內(nèi)，下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C.若，則 D.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則實(shí)數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算即可判斷AB，根據(jù)虛數(shù)的性質(zhì)即可判斷C，利用待定系數(shù)法，結(jié)合復(fù)數(shù)的分類(lèi)即可求解D.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，設(shè)，則，，則，解得，故是虛數(shù)，故D錯(cuò)誤；故選：B10.如圖，在長(zhǎng)方體中，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.B.與異面C.平面D.平面平面【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題目信息和相似比可知，不可能平行于，與異面，可得A錯(cuò)誤，B正確；再利用線面平行和面面平行的判定定理即可證明CD正確.【詳解】如下圖所示，連接，根據(jù)題意，由可得，，且；同理可得，且；由，而，所以不可能平行于，即A錯(cuò)誤；易知與不平行，且不相交，由異面直線定義可知，與異面，即B正確；在長(zhǎng)方體中，所以，即四邊形為平行四邊形；所以，又，所以；平面，平面，所以平面，即C正確；由，平面，平面，所以平面；又，平面，平面，所以平面；又，且平面，所以平面平面，即D正確.故選：A11.已知矩形的頂點(diǎn)都在半徑為4的球的球面上，且，，則棱錐的體積為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合球的性質(zhì)、勾股定理、棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)槭蔷匦?，，，所以，因此矩形的外接圓的直徑為，半徑為，設(shè)棱錐的高為，根據(jù)勾股定理可得：，棱錐的體積為：，故選：B12.設(shè)為向量,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】【詳解】為向量,,向量的夾角為或則“”是”的充分必要條件.此類(lèi)問(wèn)題解答要注意掌握好命題條件和向量共線的基本知識(shí).【考點(diǎn)定位】本題考查向量的數(shù)量積、向量夾角、向量模長(zhǎng)和充要條件等知識(shí).屬于容易題.第Ⅱ卷（非選擇題共90分）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知與互相垂直，與互相垂直，則與的夾角為_(kāi)_____．【答案】0【解析】【分析】由得，由得；由此組成方程組求出與、的關(guān)系，再求向量與的夾角即可．【詳解】，，①，又，，②；由①②組成方程組，解得，，向量與的夾角的余弦值為．所以向量與的夾角為0故答案為：014.如圖，在梯形中，，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)____________．【答案】【解析】【詳解】如圖，過(guò)N,C作AB的垂線，垂足分別為M,E.由平面向量數(shù)量積知識(shí)得:,當(dāng)N與C重合時(shí)取等號(hào)，的最大值為8，故答案為：8.考點(diǎn)：1.平面向量數(shù)量積的概念.15.已知復(fù)數(shù)的虛部減去它的實(shí)部所得的差為，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)題意，計(jì)算復(fù)數(shù)，再結(jié)合題目列方程求解即可.【詳解】因，所以，所以，解得或，所以或，所以或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法，以及實(shí)部和虛部的辨識(shí)，涉及復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算.16.已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是________.【答案】【解析】【詳解】試題分析：正四棱柱的高是4，體積是16，則底面邊長(zhǎng)為2，底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)度為，所以正四棱柱體對(duì)角線的長(zhǎng)度為，四棱柱體對(duì)角線為外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為．考點(diǎn)：正四棱柱外接球表面積．三、解答題（本大題共5小題，共70分）17.已知向量，（1）若，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若可以構(gòu)成平面上的一個(gè)基底，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）或2（2）且【解析】【分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程求解；（2）根據(jù)基底的定義，利用向量共線的坐標(biāo)表示求解.【小問(wèn)1詳解】得到或2【小問(wèn)2詳解】由已知得不平行，得到，所以且.18.如圖，在中，，，為線段的垂直平分線，與交與點(diǎn)為上異于的任意一點(diǎn).求的值；判斷的值是否為一個(gè)常數(shù)，并說(shuō)明理由．【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由題意及圖形，可把向量用兩個(gè)向量的表示出來(lái)，再利用數(shù)量積的公式求出數(shù)量積；將向量用與表示出來(lái)，再由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積，根據(jù)其值的情況確定是否是一個(gè)常數(shù)；法二：由題意可以以BC所在直線為x軸，DE所在直線為y軸建立坐標(biāo)系，得出各點(diǎn)的坐標(biāo)，由向量坐標(biāo)的定義式求出的坐標(biāo)表示，由向量的數(shù)量積公式求數(shù)量積；設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，表示出向量的坐標(biāo)再由向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示公式求數(shù)量積即可.【詳解】法1：由已知可得，，,的值為一個(gè)常數(shù)為線段BC的垂直平分線，L與BC交與點(diǎn)D，E為L(zhǎng)上異于D的任意一點(diǎn)，，故：解法2：以D點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，L所在直線為y軸建立直角坐標(biāo)系，可求，此時(shí)，，設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為，，常數(shù)．【點(diǎn)睛】本題考查向量在幾何中的應(yīng)用，本題采用了二種解法，一是基向量法，一是向量的坐標(biāo)表示，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系與設(shè)定其向量.19.如圖，三棱柱ABC–A1B1C1中，側(cè)面AA1C1C⊥側(cè)面ABB1A1，AC=AA1=AB，∠AA1C1=60°，AB⊥AA1，H為棱CC1的中點(diǎn)，D為BB1的中點(diǎn)．（1）求證：A1D⊥平面AB1H；（2）若AB=，求三棱柱ABC–A1B1C1的體積．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到AH⊥A1D，再由條件得到A1D⊥AB1，于是根據(jù)線面垂直的判定得到結(jié)論成立；（2）方法一：取A1C1的中點(diǎn)G，連接AG，證明AG為三棱柱ABC–A1B1C1的高，然后根據(jù)體積公式求出結(jié)果．方法二：先求出，然后根據(jù)三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=3求解．【詳解】（1）如圖，連接AC1，因?yàn)闉檎切危琀為棱CC1的中點(diǎn)，所以AH⊥CC1，從而AH⊥AA1，又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，AH?平面AA1C1C，所以AH⊥平面ABB1A1，又A1D?平面ABB1A1，所以AH⊥A1D．①設(shè)AB=a，因?yàn)锳C=AA1=AB，所以AC=AA1=2a，DB1=a，．因AB⊥AA1，所以平行四邊形ABB1A1為矩形，所以∠DB1A1=∠B1A1A=90°，所以，所以∠B1AA1=∠DA1B1，又∠DA1B1+∠AA1D=90°，所以∠B1AA1+∠AA1D=90°，故A1D⊥AB1．②由①②及AB1∩AH=A，可得A1D⊥平面AB1H．（2）方法一：如圖，取A1C1的中點(diǎn)G，連接AG，因?yàn)闉檎切?，所以AG⊥A1C1，因?yàn)槠矫鍭A1C1C⊥平面ABB1A1，平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1，A1B1?平面ABB1A1，A1B1⊥AA1，所以A1B1⊥平面AA1C1C，又AG?平面AA1C1C，所以A1B1⊥AG，又A1C1∩A1B1=A1，所以AG⊥平面A1B1C1，所以AG為三棱柱ABC–A1B1C1的高，經(jīng)計(jì)算AG=，A1B1·A1C1=×2=，所以三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=·AG=．方法二：如圖，取AA1的中點(diǎn)M，連接C1M，則C1M∥AH，所以C1M⊥平面ABB1A1．因?yàn)锳B=，所以AC=AA1=2，C1M=A1C1sin60°=2×，所以·C1M=×2×，所以三棱柱ABC–A1B1C1的體積V=3．【點(diǎn)睛】（1）解決空間垂直問(wèn)題的關(guān)鍵在于熟練把握空間垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)，注意平面圖形中的一些線線垂直關(guān)系的利用，這是證明空間垂直關(guān)系的基礎(chǔ)．另外要熟練運(yùn)用“線線垂直”、“線面垂直”、“面面垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化．（2）求空間幾何體的體積的方法有兩個(gè)：一是根據(jù)幾何體的特征直接根據(jù)體積公式求解；二是將幾何體分割成幾個(gè)便于求體積的幾何體后再進(jìn)行求解．20.如圖，直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若，，證明：平面平面．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】【分析】（1）連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，易知，根據(jù)線面平行的判定可證平面；（2）由題設(shè)得平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)及判定有，由已知線段的長(zhǎng)度求、、，再由勾股定理知，最后根據(jù)線面、面面垂直的判定可證平面平面．【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，則為中點(diǎn)，連接，又中點(diǎn)，∴，