【解析】初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)2.7 探索勾股定理（2）同步練習(xí)

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初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)2.7探索勾股定理（2）同步練習(xí)

一、單選題

1．（2023八下·太原期中）判斷以下各組線段為邊作三角形，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25

2．（2023八下·哈爾濱期中）下列說法不能得到直角三角形的（）

A．三個(gè)角度之比為1：2：3的三角形

B．三個(gè)邊長(zhǎng)之比為3：4：5的三角形

C．三個(gè)邊長(zhǎng)之比為8：16：17的三角形

D．三個(gè)角度之比為1：1：2的三角形

3．（2023八下·南昌期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（）

A．△ABC中,∠A=∠B-∠C

B．△ABC中,a:b:c=1:2:3

C．△ABC中,a2=c2-b2

D．△ABC中,三邊的長(zhǎng)分別為m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0)

4．（2023八下·海原月考）將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定

5．（2023八下·涼州月考）已知三角形三邊的長(zhǎng)分別為3、2、，則該三角形的形狀是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定

6．（2023八下·太原期中）如圖，已知中，的垂直平分線分別交于連接，則的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

7．（2023八下·鄂城期中）的三邊分別為a，b，c，下列條件：①；②；③.其中能判斷是直角三角形的條件個(gè)數(shù)有

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

8．（2023八下·新鄉(xiāng)期中）在四邊形中，，若，則的大小為（）

A．B．C．D．

9．（2023八上·淮陽期末）的三邊，且，下列結(jié)論正確的是（）

A．是等腰直角三角形且

B．是直角三角形或等腰三角形

C．是直角三角形，且

D．是直角三角形，且

10．（2023八上·寶豐月考）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載著這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題的大意是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里；12里；13里，問這塊沙田面積有多大？題中的1里=0.5千米，則該沙田的面積為（）

A．3平方千米B．7.5平方千米C．15平方千米D．30平方千米

二、填空題

11．（2023八下·哈爾濱期中）已知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式||=0，則△ABC的形狀是．

12．（2023八下·潮南月考）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)的比為3：4：5，且其周長(zhǎng)為60cm，則其面積為．

13．（2023八下·北京期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則（點(diǎn)、、、、是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．

14．（2023八下·哈爾濱期中）在△ABC中，若，則最長(zhǎng)邊上的高為．

15．（2023八下·廣州期中）已知a，b，c為三角形的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，那么它的形狀是．

三、解答題

16．（2023八下·江門月考）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，求的長(zhǎng)．

17．（2023八下·惠州月考）如圖，四邊形中，，，，，且，求四邊形的面積．

18．（2023八下·鐵東期中）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A,B,其中，由于某種原因，由C到B的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)D(A、D、B)在同一條直線上)，并新修一條路CD，測(cè)得千米，千米，千米.

（1）問CD是否為從村莊C到河邊最近的路？請(qǐng)通過計(jì)算加以說明：

（2）求原來的路線的長(zhǎng).

19．（2023八上·余杭月考）在如圖所示的網(wǎng)格中有四條線段AB、CD、EF、GH（線段端點(diǎn)在格點(diǎn)上），

（1）選取其中三條線段，使得這三條線段能圍成一個(gè)直角三角形.

答：選取的三條線段為.

（2）只變動(dòng)其中兩條線段的位置，在原圖中畫出一個(gè)滿足上題的直角三角形（頂點(diǎn)仍在格點(diǎn)，并標(biāo)上必要的字母）.

答：畫出的直角三角形為△.

（3）所畫直角三角形的面積為.

答案解析部分

1．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.因?yàn)?2＋152≠172,所以以6，15，17為邊的三角形不是直角三角形,故A不符合題意;

B.因?yàn)?2＋122≠152,所以以7，12，15為邊的三角形不是直角三角形,故B不符合題意;

C.因?yàn)?32＋152≠202,所以以13，15，20為邊的三角形不是直角三角形,故C不符合題意

D.因?yàn)?2＋242＝252,所以以7，24，25為邊的三角形是直角三角形,故D符合題意;

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐一判斷即可.

2．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A.三個(gè)角之比為1:2:3，則這三個(gè)角分別為：30°、60°、90°，是直角三角形；

B.三邊之比為3:4:5，設(shè)這三條邊長(zhǎng)為：3x、4x、5x，滿足：，是直角三角形；

C.三邊之比為8:16:17，設(shè)這三條邊長(zhǎng)為：8x、16x、17x，，不滿足勾股定理逆定理，不是直角三角形

D.三個(gè)角之比為1:1:2，則這三個(gè)角分別為：45°、45°、90°，是直角三角形；

故答案為：C

【分析】三角形內(nèi)角和180°，根據(jù)比例判斷A、D選項(xiàng)中是否有90°的角，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷B、C選項(xiàng)中邊長(zhǎng)是否符合直角三角形的關(guān)系.

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∠A+∠C=∠B，則∠B=90°，則為直角三角形；

B、當(dāng)三邊比值為1:2:3時(shí)，則無法構(gòu)成三角形；

C、根據(jù)題意可知：，滿足勾股定理的逆定理，則這個(gè)三角形就是直角三角形；D、根據(jù)題意可知，滿足勾股定理的逆定理，則這個(gè)三角形就是直角三角形.

故答案為：B．

【分析】對(duì)于直角三角形的判定我們可以從角的方面去判斷，也可以利用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷.

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】設(shè)原來的直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，

∴，

直角三角形各邊長(zhǎng)都縮小或擴(kuò)大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0），

∴，

即以ka，kb，kc為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

故答案為：B.

【分析】設(shè)原來的直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，由勾股定理得，再根據(jù)條件和勾股定理的逆定理，即可得到結(jié)論.

5．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：，

該三角形是直角三角形，

故答案為：.

【分析】?jī)尚∵叺钠椒胶偷扔谧铋L(zhǎng)邊的平方，即可由勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形.

6．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴,

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

在Rt△BCD中，,

∴,

解得CD=，

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證得AD=BD，由此根據(jù)勾股定理求出CD.

7．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，

∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；

②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，

∴△BAC是直角三角形；

③∵a：b：c＝3：4：5，

∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，

∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC是直角三角形；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷①，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②和③，由此即得答案.

8．【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：連接AC，

∵AB=BC=1，∠B=90°

∴AC=，

又∵AD=2，DC=，

∴()2=22+()2，

即CD2=AD2+AC2，

∴∠DAC=90°，

∵，

∴∠ACD=90°-α，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BCD=90°-α+45°=135°-α.

故答案為：C.

【分析】連接AC，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD為直角三角形，且∠DAC=90°，進(jìn)而可求出∠BCD的度數(shù).

9．【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵

∴

∴是直角三角形，且

故答案為：D

【分析】將進(jìn)行化簡(jiǎn)后，根據(jù)勾股逆定理進(jìn)行判斷即可

10．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】因?yàn)?，所以該三角形為直角三角?

則兩直角邊為較短的兩邊，即為5和12，即為2.5千米和6千米.

所以三角形的面積為：2.5×6÷2=7.5（平方千米）

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得該三角形為直角三角形，兩直角邊為5和12，由1里=0.5千米，可得兩直角邊分別為2.5千米和6千米，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.

11．【答案】等腰直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理；算數(shù)平方根的非負(fù)性；絕對(duì)值的非負(fù)性

【解析】【解答】解：∵||=0，

∴，||=0，

∴且c=a

∴△ABC為等腰直角三角形

故答案為：等腰直角三角形．

【分析】利用二次根式被開方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性求得，||=0，從而得到且c=a，從而進(jìn)行判斷．

12．【答案】150cm2

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】由題意，設(shè)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

由其周長(zhǎng)得：

解得

則這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

這個(gè)三角形是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為

則其面積為

故答案為：．

【分析】先求出三角形的三邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出這個(gè)三角形是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．

13．【答案】45

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如圖所示作輔助線，點(diǎn)F、H均在格點(diǎn)上，設(shè)一小格為1，

由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝，AC＝，

∴AH2＋CH2＝AC2，

∴△AHC是等腰直角三角形，∠HAC＝45°，

又∵AF＝CD＝2，F(xiàn)H＝DE＝1，

∴△AFH≌△CDE，

∴∠FAH＝∠DCE，

∵AF∥BC，

∴∠FAC＝∠ACB，

∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，

故答案為：45．

【分析】如圖作輔助線，證明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠FAC＝∠ACB，將∠ACB－∠DCE轉(zhuǎn)化為∠FAC－∠FAH＝∠HAC進(jìn)行計(jì)算即可．

14．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵，

將兩個(gè)方程相加得：，

∵a＞0，

∴a=4

代入得：，

∵b＞0，

∴b=3，

∵a=3，b=4，c=5滿足勾股定理逆定理，

∴△ABC是直角三角形，

如下圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，

，

即：，

解得：CD=，

故答案為：.

【分析】解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面積轉(zhuǎn)化得到斜邊上的高.

15．【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，

∴c2（a2b2）＝（a2＋b2）（a2b2），

移項(xiàng)得：c2（a2b2）（a2＋b2）（a2b2）＝0，

因式分解得：（a2b2）[c2（a2＋b2）]＝0，

則當(dāng)a2b2＝0時(shí)，a＝b；當(dāng)a2b2≠0時(shí)，a2＋b2＝c2；

所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

故答案為：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

【分析】將等式右邊的移項(xiàng)到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)數(shù)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等式；根據(jù)等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形或等腰三角形．

16．【答案】解：連接DB，在△ACB中，

∵AB2＋AC2＝62＋82＝100，

又∵BC2＝102＝100，

∴AB2＋AC2＝BC2．

∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，

∵DE垂直平分BC，

∴DC＝DB，

設(shè)DC＝DB＝x，則AD＝8x．

在Rt△ABD中，∠A＝90，AB2＋AD2＝BD2，

即62＋（8x）2＝x2，

解得x＝，

即CD＝．

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】連接DB，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠A＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的想知道的DC＝DB，設(shè)DC＝DB＝x，則AD＝8x．根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

17．【答案】解：如下圖，連接AC

∵AB=3，BC=4，∠B=90°

∴在Rt△ABC中，AC=5

∵DC=12，AD=13

又∵

∴△ACD是直角三角形

∴

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】如下圖，連接AC，可判斷△ABC和△ACD是直角三角形，根據(jù)直角三角形面積公式求解即可得．

18．【答案】（1）解：（1）結(jié)論：CD是從村莊C到河邊最近的路.

理由：∵在中，千米，千米，千米

∴，即

∴是直角三角形

∴

∴

∴CD是從村莊C到河邊最近的路.

（2）設(shè)千米，則千米，千米

∵在中，由勾股定理得：

∴

∴

答：原來的路線BC的長(zhǎng)為8.45千米.

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件根據(jù)勾股定理的逆定理、垂直的定義、垂線段最短即可得解；（2）設(shè)千米，則千米、千米，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程求解即可.

19．【答案】（1）AB、EF、GH

（2）；MGH

（3）5

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：（1）由圖可知AB=5,CD=,EF=,GH=,

∴,即,

∴由AB,EF,GH可組成直角三角形.

（2）如圖，三角形MGH即為所示.

如圖，可畫直角三角形MGH.

（3）==5

【分析】（1）根據(jù)勾股定理及網(wǎng)格特點(diǎn)分別求出AB，CD，EF，GH的長(zhǎng)，然后利用勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷即可.

（2）利用（1）結(jié)論進(jìn)行畫圖即可.

（3）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可.

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初中數(shù)學(xué)浙教版八年級(jí)上冊(cè)2.7探索勾股定理（2）同步練習(xí)

一、單選題

1．（2023八下·太原期中）判斷以下各組線段為邊作三角形，可以構(gòu)成直角三角形的是（）

A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，25

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A.因?yàn)?2＋152≠172,所以以6，15，17為邊的三角形不是直角三角形,故A不符合題意;

B.因?yàn)?2＋122≠152,所以以7，12，15為邊的三角形不是直角三角形,故B不符合題意;

C.因?yàn)?32＋152≠202,所以以13，15，20為邊的三角形不是直角三角形,故C不符合題意

D.因?yàn)?2＋242＝252,所以以7，24，25為邊的三角形是直角三角形,故D符合題意;

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理逐一判斷即可.

2．（2023八下·哈爾濱期中）下列說法不能得到直角三角形的（）

A．三個(gè)角度之比為1：2：3的三角形

B．三個(gè)邊長(zhǎng)之比為3：4：5的三角形

C．三個(gè)邊長(zhǎng)之比為8：16：17的三角形

D．三個(gè)角度之比為1：1：2的三角形

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】A.三個(gè)角之比為1:2:3，則這三個(gè)角分別為：30°、60°、90°，是直角三角形；

B.三邊之比為3:4:5，設(shè)這三條邊長(zhǎng)為：3x、4x、5x，滿足：，是直角三角形；

C.三邊之比為8:16:17，設(shè)這三條邊長(zhǎng)為：8x、16x、17x，，不滿足勾股定理逆定理，不是直角三角形

D.三個(gè)角之比為1:1:2，則這三個(gè)角分別為：45°、45°、90°，是直角三角形；

故答案為：C

【分析】三角形內(nèi)角和180°，根據(jù)比例判斷A、D選項(xiàng)中是否有90°的角，根據(jù)勾股定理的逆定理判斷B、C選項(xiàng)中邊長(zhǎng)是否符合直角三角形的關(guān)系.

3．（2023八下·南昌期中）下列三角形中，不是直角三角形的是（）

A．△ABC中,∠A=∠B-∠C

B．△ABC中,a:b:c=1:2:3

C．△ABC中,a2=c2-b2

D．△ABC中,三邊的長(zhǎng)分別為m2+n2,m2-n2,2mn(m>n>0)

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：A、∠A+∠C=∠B，則∠B=90°，則為直角三角形；

B、當(dāng)三邊比值為1:2:3時(shí)，則無法構(gòu)成三角形；

C、根據(jù)題意可知：，滿足勾股定理的逆定理，則這個(gè)三角形就是直角三角形；D、根據(jù)題意可知，滿足勾股定理的逆定理，則這個(gè)三角形就是直角三角形.

故答案為：B．

【分析】對(duì)于直角三角形的判定我們可以從角的方面去判斷，也可以利用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷.

4．（2023八下·海原月考）將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不確定

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】設(shè)原來的直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，

∴，

直角三角形各邊長(zhǎng)都縮小或擴(kuò)大k倍后得：ka，kb，kc（k≠0），

∴，

即以ka，kb，kc為邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形.

故答案為：B.

【分析】設(shè)原來的直角三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，由勾股定理得，再根據(jù)條件和勾股定理的逆定理，即可得到結(jié)論.

5．（2023八下·涼州月考）已知三角形三邊的長(zhǎng)分別為3、2、，則該三角形的形狀是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．無法確定

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：，

該三角形是直角三角形，

故答案為：.

【分析】?jī)尚∵叺钠椒胶偷扔谧铋L(zhǎng)邊的平方，即可由勾股定理的逆定理證明三角形是直角三角形.

6．（2023八下·太原期中）如圖，已知中，的垂直平分線分別交于連接，則的長(zhǎng)為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵AB=10，AC=8，BC=6，

∴,

∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，

∵DE垂直平分AB，

∴AD=BD，

在Rt△BCD中，,

∴,

解得CD=，

故答案為：C.

【分析】先根據(jù)勾股定理的逆定理證明△ABC是直角三角形，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)證得AD=BD，由此根據(jù)勾股定理求出CD.

7．（2023八下·鄂城期中）的三邊分別為a，b，c，下列條件：①；②；③.其中能判斷是直角三角形的條件個(gè)數(shù)有

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，

∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，

∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；

②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，

∴△BAC是直角三角形；

③∵a：b：c＝3：4：5，

∴設(shè)a＝3k，b＝4k，c＝5k，

∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，

∴a2+b2＝c2，

∴△ABC是直角三角形；

故答案為：D.

【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可判斷①，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷②和③，由此即得答案.

8．（2023八下·新鄉(xiāng)期中）在四邊形中，，若，則的大小為（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：連接AC，

∵AB=BC=1，∠B=90°

∴AC=，

又∵AD=2，DC=，

∴()2=22+()2，

即CD2=AD2+AC2，

∴∠DAC=90°，

∵，

∴∠ACD=90°-α，

∵AB=BC，

∴∠BAC=∠BCA=45°，

∴∠BCD=90°-α+45°=135°-α.

故答案為：C.

【分析】連接AC，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷出△ACD為直角三角形，且∠DAC=90°，進(jìn)而可求出∠BCD的度數(shù).

9．（2023八上·淮陽期末）的三邊，且，下列結(jié)論正確的是（）

A．是等腰直角三角形且

B．是直角三角形或等腰三角形

C．是直角三角形，且

D．是直角三角形，且

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵

∴

∴是直角三角形，且

故答案為：D

【分析】將進(jìn)行化簡(jiǎn)后，根據(jù)勾股逆定理進(jìn)行判斷即可

10．（2023八上·寶豐月考）我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載著這樣一道題：“問有沙田一塊，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知為田幾何？”這道題的大意是：有一塊三角形沙田，三條邊長(zhǎng)分別為5里；12里；13里，問這塊沙田面積有多大？題中的1里=0.5千米，則該沙田的面積為（）

A．3平方千米B．7.5平方千米C．15平方千米D．30平方千米

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】因?yàn)椋栽撊切螢橹苯侨切?

則兩直角邊為較短的兩邊，即為5和12，即為2.5千米和6千米.

所以三角形的面積為：2.5×6÷2=7.5（平方千米）

故答案為：B.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理可得該三角形為直角三角形，兩直角邊為5和12，由1里=0.5千米，可得兩直角邊分別為2.5千米和6千米，利用三角形的面積公式計(jì)算即可.

二、填空題

11．（2023八下·哈爾濱期中）已知a、b、c是△ABC三邊的長(zhǎng)，且滿足關(guān)系式||=0，則△ABC的形狀是．

【答案】等腰直角三角形

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的逆定理；算數(shù)平方根的非負(fù)性；絕對(duì)值的非負(fù)性

【解析】【解答】解：∵||=0，

∴，||=0，

∴且c=a

∴△ABC為等腰直角三角形

故答案為：等腰直角三角形．

【分析】利用二次根式被開方數(shù)和絕對(duì)值的非負(fù)性求得，||=0，從而得到且c=a，從而進(jìn)行判斷．

12．（2023八下·潮南月考）一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)的比為3：4：5，且其周長(zhǎng)為60cm，則其面積為．

【答案】150cm2

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】由題意，設(shè)這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

由其周長(zhǎng)得：

解得

則這個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為

這個(gè)三角形是直角三角形，且斜邊長(zhǎng)為

則其面積為

故答案為：．

【分析】先求出三角形的三邊長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出這個(gè)三角形是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的面積公式即可得．

13．（2023八下·北京期中）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，則（點(diǎn)、、、、是網(wǎng)格線交點(diǎn)）．

【答案】45

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：如圖所示作輔助線，點(diǎn)F、H均在格點(diǎn)上，設(shè)一小格為1，

由勾股定理得：AH＝CH＝CE＝，AC＝，

∴AH2＋CH2＝AC2，

∴△AHC是等腰直角三角形，∠HAC＝45°，

又∵AF＝CD＝2，F(xiàn)H＝DE＝1，

∴△AFH≌△CDE，

∴∠FAH＝∠DCE，

∵AF∥BC，

∴∠FAC＝∠ACB，

∴∠ACB－∠DCE＝∠FAC－∠FAH＝∠HAC＝45°，

故答案為：45．

【分析】如圖作輔助線，證明△AHC是等腰直角三角形，△AFH≌△CDE，得到∠HAC＝45°，∠FAH＝∠DCE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠FAC＝∠ACB，將∠ACB－∠DCE轉(zhuǎn)化為∠FAC－∠FAH＝∠HAC進(jìn)行計(jì)算即可．

14．（2023八下·哈爾濱期中）在△ABC中，若，則最長(zhǎng)邊上的高為．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵，

將兩個(gè)方程相加得：，

∵a＞0，

∴a=4

代入得：，

∵b＞0，

∴b=3，

∵a=3，b=4，c=5滿足勾股定理逆定理，

∴△ABC是直角三角形，

如下圖，∠ACB=90°，CD⊥AB，

，

即：，

解得：CD=，

故答案為：.

【分析】解方程可求得a=4，b=3，故三角形ABC是直角三角形，在利用三角形的面積轉(zhuǎn)化得到斜邊上的高.

15．（2023八下·廣州期中）已知a，b，c為三角形的三邊，且滿足a2c2-b2c2=a4-b4，那么它的形狀是．

【答案】直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

【知識(shí)點(diǎn)】因式分解的應(yīng)用；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理

【解析】【解答】解：∵a2c2-b2c2=a4-b4，

∴c2（a2b2）＝（a2＋b2）（a2b2），

移項(xiàng)得：c2（a2b2）（a2＋b2）（a2b2）＝0，

因式分解得：（a2b2）[c2（a2＋b2）]＝0，

則當(dāng)a2b2＝0時(shí)，a＝b；當(dāng)a2b2≠0時(shí)，a2＋b2＝c2；

所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

故答案為：直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．

【分析】將等式右邊的移項(xiàng)到方程左邊，然后提取公因式將方程左邊分解因式，根據(jù)兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個(gè)數(shù)為0轉(zhuǎn)化為兩個(gè)等式；根據(jù)等腰三角形的判定，以及勾股定理的逆定理得出三角形為直角三角形或等腰三角形．

三、解答題

16．（2023八下·江門月考）如圖，在中，，，，的垂直平分線分別交、于點(diǎn)、，求的長(zhǎng)．

【答案】解：連接DB，在△ACB中，

∵AB2＋AC2＝62＋82＝100，

又∵BC2＝102＝100，

∴AB2＋AC2＝BC2．

∴△ACB是直角三角形，∠A＝90°，

∵DE垂直平分BC，

∴DC＝DB，

設(shè)DC＝DB＝x，則AD＝8x．

在Rt△ABD中，∠A＝90，AB2＋AD2＝BD2，

即62＋（8x）2＝x2，

解得x＝，