2022-2023學(xué)年廣西防城港市高中高三上學(xué)期1月月考數(shù)學(xué)（文）

2022年秋季學(xué)期高三年級(jí)2023年1月份考試數(shù)學(xué)科（文）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.2.已知，則z的虛部為（）A. B. C. D.3已知，則=（）A B. C. D.4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在表達(dá)式中“……”圓代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程求得，類比上述過程及方法則的值為（）A. B.4 C. D.25.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，滿足，，則（）A. B. C.2 D.6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入時(shí)，則輸出的P是（）A.3 B.2 C.4 D.57.棱長(zhǎng)為2的正方體中，AB，，的中點(diǎn)分別為E，M，N，則下列說法正確的是（）A.三棱錐A1—的體積為6B.平面⊥平面A1ECC. D.平面∥平面MNE8.等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則=（）A.488 B.508 C.511 D.5679.已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B. C. D.10.四面體ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，正三角形ABC的面積為，則四面體ABCD的體積最大為（）A. B. C. D.11.已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與的圖象的交點(diǎn)為，，，，則（）A.-2m B.2m C.m D.-m12.雙曲線的左右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則當(dāng)取到最小值時(shí)，雙曲線離心率為（）A B.2 C.3 D.6二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)為，若，,則公差______.14.雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，比賽內(nèi)容有三類：“誦讀中國”、“詩教中國”、“筆墨中國”．已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三個(gè)年級(jí)中抽取25人組成校代表隊(duì)參加市級(jí)比賽，則應(yīng)該從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為______．15.已知函數(shù)對(duì)任意x都成立，，且，將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則=______.16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.記的面積為S，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）求面積的最大值．18.為配合創(chuàng)建文明城市，某市交警支隊(duì)全面啟動(dòng)路口秩序綜合治理，重點(diǎn)整治機(jī)動(dòng)車不禮讓行人行為．經(jīng)過一段時(shí)間的治理，從市交警隊(duì)數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個(gè)路口的車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個(gè)路口的違章車次的數(shù)量繪制如下的頻率分布直方圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中凡違章車次超過30次的路口設(shè)為“重點(diǎn)關(guān)注路口”．（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這10個(gè)路口的違章車次的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口安排交警去執(zhí)勤，求抽出來的路口中有且僅有一個(gè)違章車次在的概率．19.如圖四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）若在線段上，且，求三棱錐的體積．20已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的下頂點(diǎn)，且的面積為4.（1）求橢圓C的方程：（2）圓，點(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線PB的斜率是直線PA的斜率的2倍，求證：直線AB恒過定點(diǎn)（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.【選修4-5：不等式選講】23.已知a，b，c都是正數(shù)，且，證明：（1）若，則（2）.2022年秋季學(xué)期高三年級(jí)2023年1月份考試數(shù)學(xué)科（文）試題一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，則（）A. B. C. D.【答案】D2.已知，則z的虛部為（）A. B. C. D.【答案】A3.已知，則=（）A. B. C. D.【答案】C4.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中割圓術(shù)有：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣.”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程，比如在表達(dá)式中“……”圓代表無限次重復(fù)，但原式卻是個(gè)定值，它可以通過方程求得，類比上述過程及方法則的值為（）A. B.4 C. D.2【答案】B5.設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)N在準(zhǔn)線l上，滿足，，則（）A. B. C.2 D.【答案】C6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入時(shí)，則輸出的P是（）A.3 B.2 C.4 D.5【答案】A7.棱長(zhǎng)為2的正方體中，AB，，的中點(diǎn)分別為E，M，N，則下列說法正確的是（）A.三棱錐A1—的體積為6 B.平面⊥平面A1ECC. D.平面∥平面MNE【答案】B8.等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，若，則=（）A.488 B.508 C.511 D.567【答案】C9.已知，，且是與的等差中項(xiàng)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A10.四面體ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，正三角形ABC的面積為，則四面體ABCD的體積最大為（）A. B. C. D.【答案】B11.已知函數(shù)為奇函數(shù)，，且與的圖象的交點(diǎn)為，，，，則（）A.-2m B.2m C.m D.-m【答案】D12.雙曲線左右頂點(diǎn)分別為，曲線上的一點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若直線的斜率為，直線的斜率為，則當(dāng)取到最小值時(shí)，雙曲線離心率為（）A. B.2 C.3 D.6【答案】B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.設(shè)等差數(shù)列{}的前n項(xiàng)為，若，,則公差______.【答案】314.雅言傳承文明，經(jīng)典浸潤(rùn)人生，南寧市某校每年舉辦“品經(jīng)誦典浴書香，提雅增韻享閱讀”中華經(jīng)典誦讀大賽，比賽內(nèi)容有三類：“誦讀中國”、“詩教中國”、“筆墨中國”．已知高一、高二、高三報(bào)名人數(shù)分別為：100人、150人和250人．現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從三個(gè)年級(jí)中抽取25人組成校代表隊(duì)參加市級(jí)比賽，則應(yīng)該從高一年級(jí)學(xué)生中抽取的人數(shù)為______．【答案】515.已知函數(shù)對(duì)任意x都成立，，且，將f（x）的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則=______.【答案】16.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)和，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為______.【答案】三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.記的面積為S，其內(nèi)角的對(duì)邊分別為，，，已知，．（1）求；（2）求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）注意到，利用余弦定理邊化角結(jié)合面積公式運(yùn)算整理；（2）利用余弦定理整理可得，再結(jié)合求得，運(yùn)用面積公式即可得結(jié)果.【小問1詳解】∵，則，∴，又∵，∴.【小問2詳解】∵，即，∴，又∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，則面積，故面積的最大值.18.為配合創(chuàng)建文明城市，某市交警支隊(duì)全面啟動(dòng)路口秩序綜合治理，重點(diǎn)整治機(jī)動(dòng)車不禮讓行人的行為．經(jīng)過一段時(shí)間的治理，從市交警隊(duì)數(shù)據(jù)庫中調(diào)取了10個(gè)路口的車輛違章數(shù)據(jù)，根據(jù)這10個(gè)路口的違章車次的數(shù)量繪制如下的頻率分布直方圖，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中凡違章車次超過30次的路口設(shè)為“重點(diǎn)關(guān)注路口”．（1）根據(jù)直方圖估計(jì)這10個(gè)路口的違章車次的平均數(shù)和中位數(shù)；（2）現(xiàn)從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口安排交警去執(zhí)勤，求抽出來路口中有且僅有一個(gè)違章車次在的概率．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和中位數(shù)的定義即可求解；（2）根據(jù)頻率分布直方圖可計(jì)算得到違章車次在和的路口數(shù)，采用列舉法可得所有基本事件和滿足題意的基本事件個(gè)數(shù)，利用古典概型概率公式可計(jì)算得到結(jié)果．【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)平均數(shù)為：．根據(jù)頻率分布直方圖可估計(jì)中位數(shù)為：【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知：違章車次在的路口有個(gè)，記為；違章車次在的路口有個(gè)，記為；從“重點(diǎn)關(guān)注路口”中隨機(jī)抽取兩個(gè)路口，則有，，，，，，，，，，，，，，，共種情況；其中有且僅有一個(gè)違章車次在的情況有，，，，，，，，共種情況；所以所求概率．19.如圖四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，平面平面，，，，．（1）證明：平面；（2）若在線段上，且，求三棱錐的體積．【答案】（1）證明見詳解（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合余弦定理可求得，由勾股定理可證，結(jié)合線面垂直的判定定理可證；（2）根據(jù)題意結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，利用錐體的體積公式運(yùn)算求解.【小問1詳解】∵四邊形為等腰梯形，且，∴，又∵，則，即，∴，則，即，又∵，，平面，∴平面.【小問2詳解】∵，平面平面，平面平面，平面，∴平面，由題意可得：為等腰直角三角形，則，又∵，∴三棱錐的體積.20.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；（2）若函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，點(diǎn)斜式求切線方程即可；（2）構(gòu)造新函數(shù)，在指定區(qū)間上求最大值，最小值即可解決.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)?，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由題知，函數(shù)與直線在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，所以，因?yàn)?，所以令，得，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上有最大值，因?yàn)?，又，所以，所以在上有最小值，所以在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)的條件是，解得所以實(shí)數(shù)的取值范圍為21.已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓的下頂點(diǎn)，且的面積為4.（1）求橢圓C的方程：（2）圓，點(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線PB的斜率是直線PA的斜率的2倍，求證：直線AB恒過定點(diǎn)【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由離心率和焦點(diǎn)三角形面積求得，，即可求解；（2）設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，聯(lián)立直線與橢圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓方程求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用斜率公式求得，得到直線的點(diǎn)斜式方程，整理后即可證明.【小問1詳解】由題意可得，又因?yàn)?，所以，所以橢圓C的方程為.【小問2詳解】證明：設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，因?yàn)闉?，則直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，，得，因?yàn)辄c(diǎn)A，B分別是橢圓C和圓上位于y軸右側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，所以，，所以，代入直線的方程可得，所以為，聯(lián)立直線與圓方程，，得，所以，代入直線的方程可得，所以為，所以，所以直線的方程為，整理可得，所以直線恒過定點(diǎn).（二）選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22、23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】22.在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)，），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若l與C有公共點(diǎn)，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）展開方程為，根據(jù)，，代入即可求解；（2）聯(lián)立與C的方程可得，轉(zhuǎn)化交點(diǎn)問題為方程有解問題，根據(jù)范圍求得范圍，即可求解.【小問1詳解】