高一下學期數(shù)學人教A版課件9-2-2總體百分位數(shù)的估計

9.2.2總體百分位數(shù)的估計盛琪第九章統(tǒng)計2023/9/2引

入

2022年安徽省中考真題改編八年級測試成績：86,85,87,86,85,89,88.中位數(shù)是

.

前面我們用頻率分布表、頻率分布直方圖描述了居民用戶月均用水量的樣本數(shù)據(jù)，通過對圖表的觀察與分析，得出了一些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布規(guī)律，由此推測了該市全體居民用戶月均用水量的分布情況，得出了“大部分居民用戶的月均用水量集中在一個較低值區(qū)域”等推斷.接下來的問題是，如何利用這些信息，為政府決策服務呢？下面我們對此進行討論.引

入引例

某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃對居民生活用水費用實施階梯式水價制度，即確定一戶居民月均用水量標準a，用水量不超過a的部分按平價收費，超出a的部分按議價收費。如果該市政府希望使80%的居民用戶生活用水費支出不受影響，根據(jù)節(jié)中100戶居民用戶的月均用水量數(shù)據(jù)，你能給市政府提出確定居民用戶月均用水量標準的建議嗎？首先要明確一下問題：根據(jù)市政府的要求確定居民用戶月均用水量標準，就是要尋找一個數(shù)a,使全市居民用戶月均用水量中不超過a的占80%,大于a的占20%.下面我們通過樣本數(shù)據(jù)對a的值進行估計.引

入稱此數(shù)為這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)或80%分位數(shù)

13.8···28.0（2）得到第80和第81個數(shù)據(jù)分別是和（3）一般地，我們?nèi)∵@兩個數(shù)的平均數(shù)

可以發(fā)現(xiàn)，區(qū)間（，）內(nèi)的任意一個數(shù)，都能把樣本數(shù)據(jù)分成符合要求的兩部分.解:

（1）把100個樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序

根據(jù)樣本數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)，我們可以估計總體數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)為左右.由于樣本的取值規(guī)律與總體的取值規(guī)律之間會存在偏差，而在決策何題中，只要臨界值近似為第80百分位數(shù)即可，因此為了實際中操作的方便，可以建議市政府把月均用水量標準定為14t，或者把年用水量標準定為168t探究新知

一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個值，且至少有（100-p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個值.注意：求百分位數(shù)時，一定要將數(shù)據(jù)按照從小到大的順序排列．1.百分位數(shù)定義判斷正誤：（1）若一組樣本數(shù)據(jù)的10%分位數(shù)是23，則在這組數(shù)據(jù)中有10%的數(shù)據(jù)大于23.（）（2）若一組樣本數(shù)據(jù)的24%分位數(shù)是24，則在這組數(shù)據(jù)中至少有76%的數(shù)據(jù)大于或等于24.（）（3）若一組樣本數(shù)據(jù)各不相等，則其75%分位數(shù)大于25%分位數(shù).（）×√√探究新知第1步：按從小到大排列原始數(shù)據(jù)．第2步：計算i＝n×p%.第3步：若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)是第i項與第(i＋1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù)．例如：樣本量n＝100，則由80%×100＝80，知80%分位數(shù)即是從小到大排列的第80個與第81個數(shù)的平均數(shù)，如果n＝101，則由80%×101＝，得80%分位數(shù)即是第81個數(shù).(1)求百分位數(shù)的步驟2.用原始數(shù)據(jù)求百分位數(shù)例題講解例1

一個容量為20的樣本,其數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列為:1,2,2,2,5,6,6,7,8,8,9,10,13,13,14,14,17,17,18,18,則（1）該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為_______,（2）該組數(shù)據(jù)的第86百分位數(shù)為_______.例題講解解:把27名女生的樣本數(shù)據(jù)按從小到大排序,可得

158.0158.0159.0161.0161.0162.0162.5162.5163.0

由25%×27=6.75，50%×27=13.5，75%×27=20.25，可知樣本數(shù)據(jù)的第25，50，75百分位數(shù)為第7，14，21項數(shù)據(jù)，分別為155.5，161，164.探究新知常用分位數(shù)：第25百分位數(shù)，第50百分位數(shù)（中位數(shù)），第75百分位數(shù).這三個分位數(shù)把一組由小到大排列后的數(shù)據(jù)分成四等份，因此稱為四分位數(shù).第25百分位數(shù)也稱為第一四分位數(shù)或下四分位數(shù).第75百分位數(shù)也稱為第三四分位數(shù)或上四分位數(shù).像第1百分位數(shù)，第5百分位數(shù)，第95百分位數(shù)，第99百分位數(shù)也常用.(2)幾個重要的百分位數(shù)①第0百分數(shù)為數(shù)據(jù)組中的最小數(shù)，第100百分位數(shù)為數(shù)據(jù)中的最大數(shù)；②一組數(shù)據(jù)的百分位數(shù)既可能是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)，也可能不是這組數(shù)據(jù)中的數(shù)；③一組數(shù)據(jù)的某些百分位數(shù)可能是同一個數(shù).(3)百分位數(shù)的特點探究新知例3

根據(jù)下表估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù).分組頻數(shù)頻率[1.2，4.2)230.23[4.2，7.2)320.32[7.2，10.2)130.13[10.2，13.2)90.09[13.2，16.2)90.09[16.2，19.2)50.05[19.2，22.2)30.03[22.2，25.2)40.04[25.2，28.2]20.02合計1001.00

有些情況下，我們只能獲得整理好的統(tǒng)計表或統(tǒng)計圖與原始數(shù)據(jù)相比，他們損失了一些信息。3.用頻率分布表、頻率分布直方圖估算百分位數(shù)例題講解解:由頻率分布表可知,月均用水量在以下的居民用戶所占比例為在以下的居民用戶所占比例為∴80%分位數(shù)一定位于[13.2,16.2)內(nèi).由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%分位數(shù)約為分組頻數(shù)頻率[1.2，4.2)230.23[4.2，7.2)320.32[7.2，10.2)130.13[10.2，13.2)90.09[13.2，16.2)90.09[16.2，19.2)50.05[19.2，22.2)30.03[22.2，25.2)40.04[25.2，28.2]20.02合計1001.00類似地，由可以估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的95%分位數(shù)約為探究新知

例題講解例4

根據(jù)下圖估計月均用水量的樣本數(shù)據(jù)的80%和95%分位數(shù).先算各組的頻率，解題步驟如上月平均用水量/t0.120.10.080.060.040.0201.24.27.2

10.213.216.219.222.225.228.20.1070.0430.0300.0300.0170.0100.0130.0070.077頻率/組距設80%分位數(shù)為m，則，解得m=14.2.設95%分位數(shù)為m，則，解得n=22.97.例題講解例題講解例題講解例題講解序號1234567891011121314151617181920甲組1222233355668891010121313乙組00001123456677101414141415試求甲、乙兩組數(shù)的25%分位數(shù)與75%分位數(shù)．

變式2現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù)如下表所示．例題講解例5某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費.(1)求某戶居民用電費用y(單位：元)關于月用電量x(單位：千瓦時)的函數(shù)解析式；解

(1)當0≤x≤200時，y＝x；當200<x≤400時，y＝×200＋×(x－200)＝x－60；當x>400時，y＝×200＋×200＋×(x－400)＝x－140.例題講解例5某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費.(2)為了了解居民的用電情況，通過抽樣獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖.若這100戶居民中，今年1月份用電費用低于260元的占80%，求a，b的值；(2)由(1)可知，當y＝260時，x＝400，即用電量低于400千瓦時的占80%，解得a＝0.0015，b＝0.0020.例題講解例5某市為了鼓勵居民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200千瓦時的部分按元/千瓦時收費，超過200千瓦時但不超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費，超過400千瓦時的部分按元/千瓦時收費.(3)根據(jù)(2)中求得的數(shù)據(jù)計算用電量的75%分位數(shù).(3)設75%分位數(shù)為m，

∵用電量低于300千瓦時的所占比例為＋＋0.003)×100＝60%，用電量低于400千瓦時的占80%，

∴75%分位數(shù)m在[300，400)內(nèi)，

∴＋(m－300)×＝，解得m＝375(千瓦時)，即用電量的75%分位數(shù)為375千瓦時.課堂練習解：將100戶居民的月均用水量按小到大的順序排列如下：由于100×60％=60.∴第60百分位數(shù)為第60個和第61個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即因此居民用戶月均用水量標準應定為合適.1.在居民用戶月均用水量標準制定的問題中，根據(jù)教科書中的調查數(shù)據(jù)，如果要讓60%的居民不超出標準，居民用戶月均用水量標準定為多少合適?教材202頁課堂練習1、某車間12名工人一天生產(chǎn)某產(chǎn)品(單位：kg)的數(shù)量分別為，13，，，，，14，，15，，，，則所給數(shù)據(jù)的第25,50,75百分位數(shù)分別是

.，，15.3解析：將12個數(shù)據(jù)按從小到大排序：13，，，，14，，，15，，，，15.8.由i=12×25%=3，得所給數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)是第3個數(shù)據(jù)與第4個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由i=12×50%＝6，得的給數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)與第7個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由i=12×75%＝9，得所給數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是第9個數(shù)據(jù)和第10個數(shù)據(jù)的平均數(shù)，課堂練習2、對某市“四城同創(chuàng)”活動中800名志愿者的年齡抽樣調查統(tǒng)計后得到頻率分布直方圖(如圖)，但是年齡組為[25,30)的數(shù)據(jù)不慎丟失，則依據(jù)此圖可得：(1)[25,30)年齡組對應小矩形的高度為________；(2)由頻率分布直方圖估計志愿者年齡的95%分位數(shù)為________歲．

解析：(1)設[25,30)年齡組對應小矩形的高度為h，則5×(0.01+h+0.07+0.06+0.02)=1，解得h＝0.04.(2)由題圖可知年齡小于40歲的頻率為+++0.06)×5=，且所有志愿者的年齡都小于45歲，所以志愿者年齡的95%分位數(shù)在[40,45]內(nèi)，因此志愿者年齡的95%分位數(shù)為課堂練習1、求下列數(shù)據(jù)的四分位數(shù).13,15,12,27,22,24,28,30,31,18,19,20．解：把12個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：12,13,15,18,19,20,22,24,2