大學(xué)物理六振動(dòng)

§6.1

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)描述

一、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式質(zhì)點(diǎn)的位移:以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)直線為x軸簡(jiǎn)諧振動(dòng)——物體離開平衡位置的位移按余弦函數(shù)(或正弦函數(shù))的規(guī)律隨時(shí)間變化。二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三個(gè)特征量1.振幅A(m):最大位移的絕對(duì)值,A>0,-A≤x≤A第1頁/共62頁振動(dòng)一次所需時(shí)間叫做周期（S）單位時(shí)間內(nèi)振動(dòng)的次數(shù)，稱為振動(dòng)頻率(Hz)稱為角頻率（或圓頻率）(rad/s)2.周期T(s)和角頻率ω(反映振動(dòng)的快慢):

第2頁/共62頁3.相位t時(shí)刻相位—反映t時(shí)刻的振動(dòng)狀態(tài)t=0時(shí)相位—初相位已知A、ω、

表達(dá)式取決于時(shí)間零點(diǎn)的選擇

（1）（2）總之已知表達(dá)式

A、ω

、

第3頁/共62頁三、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度均是描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)的物理量速度振幅加速度振幅—頻率相同同t相位不同第4頁/共62頁四、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的三種表示方法1.解析表達(dá)式2.曲線描述可知t時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)位置及速度方向t第5頁/共62頁3.旋轉(zhuǎn)矢量描述用勻速圓周運(yùn)動(dòng)幾何地描述簡(jiǎn)諧振動(dòng)矢量端點(diǎn)在x軸上的投影式o-AAxt逆時(shí)針轉(zhuǎn)第6頁/共62頁

Aoxt=0x=Acos(

t+

)

相量圖法

圖中長(zhǎng)度等于振幅的旋轉(zhuǎn)矢量叫振幅矢量A

t+

tt時(shí)刻相位—t時(shí)刻振幅矢量與x軸夾角簡(jiǎn)諧振動(dòng)的相位確定振動(dòng)的狀態(tài)相量圖法——直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)第7頁/共62頁如文字?jǐn)⑹稣ft時(shí)刻彈簧振子質(zhì)點(diǎn)

正的最大位移處旋矢與軸夾角為零

質(zhì)點(diǎn)經(jīng)二分之一振幅處向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)意味意味<第8頁/共62頁質(zhì)點(diǎn)過平衡位置向負(fù)方向運(yùn)動(dòng)同樣<0<0相量圖法——直觀地表達(dá)振動(dòng)狀態(tài)第9頁/共62頁振動(dòng)的相位：1).確定振動(dòng)的狀態(tài)（位置、速度）：2).比較同頻率諧振動(dòng)的步調(diào)：相位差：對(duì)兩同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，相位差等于初相差五、相位差

第10頁/共62頁

同相

反相txoA1-A1x1A2-A2x2T同相TA1-A1x1xot反相x2A2-A2第11頁/共62頁x2超前x1或x1落后x2或x1超前x2x2落后x1比較諧振動(dòng)x、v、a三者的位相第12頁/共62頁ova第13頁/共62頁課堂練習(xí)1.一簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線如圖所示。求振動(dòng)方程。畫出相量圖第14頁/共62頁2.一物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其速度最大值vm=3×10-2m/s，其振幅A=2×10-2m。若t=0時(shí)，物體位于平衡位置且向x軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。求：（1）振動(dòng)周期T；（2）加速度的最大值am；（3）振動(dòng)方程的表達(dá)式。第15頁/共62頁3:一質(zhì)點(diǎn)沿x軸做簡(jiǎn)諧振動(dòng),A=4cm,T=4s,t=0時(shí)位移為2cm，且向平衡位置移動(dòng)。求1）振動(dòng)表達(dá)式；2）由起始位置運(yùn)動(dòng)到x=-4cm處所需最少時(shí)間.o-442t=0jj=p/3wtwt=2p/3第16頁/共62頁§6.2簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程二、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程一、諧振動(dòng)系統(tǒng)受力特征質(zhì)點(diǎn)所受的外力與對(duì)平衡位置的位移成正比且反向，就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第17頁/共62頁三、幾個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)實(shí)例1.水平彈簧振子平衡位置：彈簧原長(zhǎng)處ω

由系統(tǒng)本身的的性質(zhì)決定——固有角頻率第18頁/共62頁2.豎直彈簧振子：輕彈簧k平衡位置：振動(dòng)物體受力為零處（彈簧伸長(zhǎng)x0處）x0xox振動(dòng)物體位于任x處時(shí)：思考：光滑斜面上的彈簧振子（k+m）平衡位置在何處？是否簡(jiǎn)諧振動(dòng)？若是，其w=?物體做簡(jiǎn)諧振動(dòng)第19頁/共62頁當(dāng)q很小時(shí)3.單擺:無阻尼小角度擺動(dòng),擺長(zhǎng)為l單擺平衡位置：擺球受合外力矩為零處（θ=0處）任q角處：T第20頁/共62頁在角位移很小的時(shí)候，單擺的振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。結(jié)論固有圓頻率、固有周期分別為：其角位移為：第21頁/共62頁·由牛頓定律列方程，如能得出形式的方程，則由分析受力出發(fā)分析物體在任一時(shí)刻的受力(1)說明振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng)(2)可得出角頻率

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)解法決定于系統(tǒng)本身的性質(zhì)第22頁/共62頁四.振幅A、初相j的確定1.初始條件：t=0時(shí)x0、v0（注意j角象限的確定）2.旋轉(zhuǎn)矢量法確定初相j已知t=0時(shí)x0值及v0符號(hào)x0值定垂直線v0符號(hào)定象限例：t=0時(shí)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置且向正方向運(yùn)動(dòng)，求初相o-AA或-p/2j=3p/2第23頁/共62頁§6.3簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量(以水平彈簧振子為例)諧振動(dòng)：1.動(dòng)能第24頁/共62頁2.勢(shì)能3.機(jī)械能1).Ek=Ek(t)Ep=Ep(t)

無阻尼自由振動(dòng)

簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒第25頁/共62頁xx-AAO

EpEk2）勢(shì)能曲線Ep4.周期平均值第26頁/共62頁

振幅A

決定于系統(tǒng)的初始能量；角頻率

決定于系統(tǒng)內(nèi)在的性質(zhì)；

初相

決定于時(shí)間零點(diǎn)的選擇

由初始能量求振幅綜合以上：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的各特征量*任一簡(jiǎn)諧振動(dòng)總能量與振幅的平方成正比

以上結(jié)論適用于任何簡(jiǎn)諧振動(dòng)。第27頁/共62頁3.一質(zhì)點(diǎn)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)方程為（1）振幅、周期、頻率及初位相各為多少？（2）當(dāng)x值為多大時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能為總能量的一半？（3）質(zhì)點(diǎn)從平衡位置移動(dòng)到此位置所需最短時(shí)間為多少？第28頁/共62頁（2）勢(shì)能總能由題意，（3）從平衡位置運(yùn)動(dòng)到的最短時(shí)間為第29頁/共62頁水平彈簧振子，彈簧得倔強(qiáng)系數(shù)K＝24N/m，重物質(zhì)量為m=6kg，重物靜止在平衡位置。設(shè)以水平力F=10N向左作用于物體（不計(jì)摩擦力），使之由平衡位置向左運(yùn)動(dòng)了0.05m，此時(shí)撤去力F，當(dāng)重物運(yùn)動(dòng)到左方最遠(yuǎn)位置時(shí)開始計(jì)時(shí)，求物體的運(yùn)動(dòng)方程。第30頁/共62頁§6.4簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

當(dāng)一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)諧振動(dòng)時(shí)就需考慮振動(dòng)的合成問題一、同一直線上同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成線性疊加A1A2AxOx2x1x第31頁/共62頁仍是諧振動(dòng)振動(dòng)頻率仍是

x

=A

cos(

t+

)結(jié)果：A1A2AxODBC第32頁/共62頁

若反相合振動(dòng)減弱同相合振動(dòng)加強(qiáng)特殊結(jié)果：

若

若兩振動(dòng)同相兩振動(dòng)反相可能的最強(qiáng)振動(dòng)“振動(dòng)加振動(dòng)”不振動(dòng)合振幅

若

2

1＝其它值，

由上看出

2

1的值對(duì)合振動(dòng)起重要作用第33頁/共62頁例，一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與了三個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)。它們的振動(dòng)方程分別為其合成運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為x=0第34頁/共62頁設(shè)兩振動(dòng)的頻率都較大且略有差別、振幅相等線性相加：

二.同一直線上不同頻率諧振動(dòng)的合成分振動(dòng)：<<則較隨時(shí)間變化緩慢第35頁/共62頁將合成式寫成諧振動(dòng)形式合振動(dòng)可看做是振幅緩變的諧振動(dòng)第36頁/共62頁

拍

合振動(dòng)的周期性的強(qiáng)弱變化叫做拍拍頻

單位時(shí)間內(nèi)合振動(dòng)加強(qiáng)或減弱的次數(shù)叫拍頻測(cè)未知頻率的一種方法由式得第37頁/共62頁如：同時(shí)敲打兩個(gè)頻率不同的音叉，會(huì)周而復(fù)始地聽到“嗡”…的聲音，顯示出聲音忽強(qiáng)忽弱的變化。第38頁/共62頁

§6.5阻尼振動(dòng)受迫振動(dòng)與共振一、阻尼振動(dòng)

動(dòng)力學(xué)方程系統(tǒng)在振動(dòng)過程中受到粘性阻力作用后能量將隨時(shí)間逐漸衰減，振幅也不斷減小。系統(tǒng)受的粘性阻力與速率成正比

第39頁/共62頁稱阻尼因子系統(tǒng)固有頻率令整理得式中阻尼振動(dòng)方程為其中解第40頁/共62頁過阻尼臨界阻尼欠阻尼xt0三種阻尼振動(dòng)過阻尼：臨界阻尼：欠阻尼：第41頁/共62頁

二、受迫振動(dòng)

1.受迫振動(dòng)振動(dòng)系統(tǒng)在外界驅(qū)動(dòng)力的作用下維持等幅振動(dòng)

2.受迫振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程設(shè)驅(qū)動(dòng)力按余弦規(guī)律變化動(dòng)力學(xué)方程：經(jīng)分析可知足夠長(zhǎng)時(shí)間后，達(dá)到穩(wěn)態(tài)，其振動(dòng)方程為：第42頁/共62頁穩(wěn)態(tài)時(shí)的受迫振動(dòng)按簡(jiǎn)諧振動(dòng)的規(guī)律變化(1)頻率:(2)振幅:即策動(dòng)力頻率不同，振幅不同且當(dāng)時(shí)稱為共振等于策動(dòng)力的頻率

共振應(yīng)用：電磁共振、核磁共振、碎步過橋等第43頁/共62頁1808年法國(guó)皇帝拿破侖率部10萬入侵西班牙，當(dāng)部隊(duì)以整齊的步伐穿過一座鐵索吊橋時(shí)，大橋崩塌了。1831年，一隊(duì)騎兵列隊(duì)通過英國(guó)曼徹斯特附近的一座吊橋。他們雄赳赳，氣昂昂，“嗒、嗒”的馬蹄聲節(jié)奏分明有力。突然不幸的事情發(fā)生了，隨著一聲巨響，大橋莫名其妙的倒塌了，人與馬紛紛墜入河中，死傷慘重。1906年，俄國(guó)首都彼得格勒附近的愛紀(jì)華特大橋有一隊(duì)騎兵通過，連長(zhǎng)為顯示軍威，命令騎兵指揮訓(xùn)練有素的戰(zhàn)馬以雄赳赳氣昂昂的姿態(tài)步調(diào)一致前進(jìn)，突然間橋身劇烈振動(dòng)起來，然后伴隨著一聲巨響，大橋斷裂崩塌了，士兵、馬匹、輜重紛紛落水，狼狽不堪。第44頁/共62頁1940年華盛頓的塔科曼大橋建成同年7月的一場(chǎng)大風(fēng)引起橋的共振橋被摧毀第45頁/共62頁小號(hào)發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎第46頁/共62頁我國(guó)古代對(duì)“共振”的認(rèn)識(shí)：

蜀人有銅盤，早、晚鳴如人扣，公元五世紀(jì)《天中記》：?jiǎn)枏埲A。張華曰：此盤與宮中鐘相諧，故聲相應(yīng)，可改變其薄厚。魚洗第47頁/共62頁關(guān)于彈簧1.彈簧串連：k1k2mkm第48頁/共62頁2.彈簧并連：kok=k1+k2xok1k2第49頁/共62頁3.彈簧分割：kmLk1ml1第6章結(jié)束第50頁/共62頁1.一質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)方程x=Acos(wt+

)，當(dāng)時(shí)間t=T/4(T為周期)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的速度為：

[C]第51頁/共62頁2．兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)各自作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相同、周期相同。第一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為

，當(dāng)?shù)谝粋€(gè)質(zhì)點(diǎn)從相對(duì)平衡位置的正位移處回到平衡位置時(shí)，第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)正在最大位移處。則第二個(gè)質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方程為

（B）（C）

（D）（A）

（B）第52頁/共62頁3.一倔強(qiáng)系數(shù)為k的均勻輕彈簧分割成三部分，取出其中的兩根，將它們并連在一起，下面掛一質(zhì)量為m的物體，如圖所示，則振動(dòng)系統(tǒng)的頻率ν=?k第53頁/共62頁4.上面放有物體的平臺(tái)，以每秒5次的頻率沿豎直方向做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，若平臺(tái)振幅超過——

m，物體將會(huì)脫離平臺(tái)。（設(shè)g=9.8m/s2）1.0×10-2m第54頁/共62頁例5.一單擺，把它從平衡位置拉開，使擺線與豎直方向成一微小角度

，然后由靜止放手任其擺動(dòng)，若自放手時(shí)開始計(jì)時(shí)，如用余弦函數(shù)表示其運(yùn)動(dòng)方程，則該單擺振動(dòng)的初位相為：[C]（A）；

（B）

；（C）0；（D）

／2

第55頁/共62頁例6.一質(zhì)量為m的滑塊，兩邊分別與勁度系數(shù)為k1和k2

的輕彈簧聯(lián)接，兩彈簧的另外兩端分別固定在墻上?；瑝Km可在光滑的水平面上滑動(dòng)，o點(diǎn)為平衡位置。將滑塊m向左移動(dòng)了x0的距離，自靜止釋放，并從釋放時(shí)開始計(jì)時(shí)，取坐標(biāo)如圖示，則振動(dòng)方程為：第56頁/共62頁[C]第57頁/共62頁例7.一輕彈簧的勁度系數(shù)為200N·m-1，現(xiàn)將質(zhì)量為4kg的物體懸掛在該彈簧的下端，使其在平衡位置下方0.1m處由靜止開始運(yùn)動(dòng)，若由此時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，求：（1）物