王學(xué)民概率論與數(shù)理統(tǒng)計

會計學(xué)1王學(xué)民概率論與數(shù)理統(tǒng)計

分布律具有下述兩個性質(zhì)：(1)pk≥0，k=1,2,?；(2)

。

例擲一顆均勻的骰子出現(xiàn)的點數(shù)X為一個離散型隨機(jī)變量，其分布律為第3頁/共54頁

例設(shè)某產(chǎn)品分為四種等級：一、二、三等品及廢品，這四種等級的產(chǎn)品所占的比例分別為50%,25%,15%,10%，現(xiàn)任取一件產(chǎn)品，并令則離散型隨機(jī)變量X的分布律為X0123P0.10.500.250.15第4頁/共54頁二、幾個常見的離散型分布1.二項分布2.泊松分布3.超幾何分布4.幾何分布第5頁/共54頁1.二項分布所謂貝努里(Bernoulli)試驗，是指只有兩個可能結(jié)果的隨機(jī)試驗。

我們把其中的一個感興趣的結(jié)果稱為“成功”(或稱為事件A發(fā)生)，另一個則稱為“失敗”(或稱為事件A不發(fā)生)。

如果將一貝努里試驗在相同的條件下重復(fù)n次，并且各次的試驗相互獨立(即試驗結(jié)果互不影響)，則這樣的系列試驗稱為n重貝努里試驗。第6頁/共54頁

在每一特定的n重貝努里試驗中，設(shè)每次試驗成功的概率為p(p值不變)，失敗的概率為q=1?p，則成功次數(shù)X的分布律為：稱X服從參數(shù)為n,p的二項分布，記作X~B(n,p)。圖二項分布BB((nn,,pp))的分布律第7頁/共54頁

例某種商品的不合格率為0.3，一顧客從商店買了6件這種商品，試求下列事件的概率：(1)恰有4件商品不合格；(2)不合格件數(shù)不超過一半；(3)至少有一件不合格品。

例某營業(yè)員根據(jù)以往的經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，接待一位顧客能做成一筆生意的概率是0.25。如果某天他接待了10位顧客，試求以下幾種情況的概率：(1)做成的生意至多三筆；(2)做成的生意至少三筆；(3)恰好做成兩筆生意。第8頁/共54頁

n=1時的二項分布B(1,p)稱為二點分布，它只含一個參數(shù)p。在一次貝努里試驗的實際應(yīng)用中，我們常常將其中的一個結(jié)果對應(yīng)于“1”，而將另一個結(jié)果對應(yīng)于“0”，即令X的概率分布即為二點分布。第9頁/共54頁2.泊松分布若隨機(jī)變量X具有如下分布律：其中λ>0是個常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松分布，記作X~P(λ)。

容易驗證：(1)P(X=k)>0，k=0,1,2,?；(2)

。第10頁/共54頁

在λ=np恒定的情況下，當(dāng)n趨向無窮，同時p趨向于

0時，二項分布趨向于泊松分布。通常當(dāng)n≥20,p≤0.05時，有如下的近似公式：近似的效果可以從表中有所認(rèn)識。圖泊松分布PP(()λ)的分布律第11頁/共54頁表二項分布的泊松分布近似k二項分布泊松分布n=10p=0.1n=20p=0.05n=40p=0.025n=100p=0.01λ=1(=np)00.3490.3580.3630.3660.36810.3850.3770.3720.3700.36820.1940.1890.1860.1850.18430.0570.0600.0600.0610.06140.0110.0130.0140.0150.015???第12頁/共54頁???

例已知某廠有5%的產(chǎn)品有缺陷。隨機(jī)抽選50件，試分別求出缺陷產(chǎn)品數(shù)屬于以下各種情況的概率：(1)至多2件；

(2)至少1件；

(3)恰好3件；(4)在1件和5件之間(包括1件和5件)。解設(shè)產(chǎn)品缺陷數(shù)為X，則X~B(50,0.05)。由于n=50很大，

p=0.05很小，故可以認(rèn)為X近似服從參數(shù)為λ=50×0.05=2.5的泊松分布。查(累積)泊松分布表得如下結(jié)果：(1)P(X≤2)=0.5438；(2)P(X≥1)=1?P(X=0)=1?0.0821=0.9179；(3)P(X=3)=P(X≤3)?P(X≤2)=0.7576?0.5438=0.2138；(4)P(1≤X≤5)=P(X≤5)?P(X=0)=0.9580?0.0821=0.8759。第13頁/共54頁

例某商店每月銷售某種商品的件數(shù)服從參數(shù)為4.6的泊松分布，試問在月初應(yīng)購進(jìn)多少此種商品，才能保證不脫銷的概率至少為0.99。

解設(shè)該商店當(dāng)月的顧客需求數(shù)為X件，月初的進(jìn)貨為a件，則當(dāng)X≤a時就不會脫銷，按題意要求P(X≤a)≥0.99查泊松分布表得：P(X≤9)=0.9805，P(X≤10)=0.9922故在月初應(yīng)進(jìn)10件此種商品，才能以99%以上的把握保證當(dāng)月不脫銷。第14頁/共54頁3.超幾何分布設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件為不合格品，從中任意取出n(≤N?M)件，其中不合格品數(shù)X的分布律為：該概率分布稱為超幾何分布。它含有三個參數(shù)M,N和n，記作H(M,N,n)。第15頁/共54頁

例某人計劃從由新上市公司發(fā)行的10只股票中選擇

4只，但是他并不知道這10只股票中有3只將使購買者獲厚利,而其余7只則將使購買者虧損。試求：(1)該購買者能選中的獲厚利股票數(shù)目X的概率分布；

(2)至少能選中一只能獲厚利股票的概率。

通常當(dāng)n/N≤5%時，超幾何分布可用二項分布近似，即其中p=M/N為產(chǎn)品的不合格品率，q=1?p。第16頁/共54頁4.幾何分布

如果將貝努里試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行，直至“成功”出現(xiàn)為止，則所需的試驗次數(shù)X具有如下分布律：P(X=k)=pqk?1，

k=1,

2,

?其中p為一次貝努里試驗中“成功”出現(xiàn)的概率，q=1?p，稱X服從參數(shù)為p的幾何分布，記作X~G(p)。

例一名制造商在某個電子系統(tǒng)使用電保險絲，保險絲大批量購進(jìn)后就連續(xù)不斷地測試，直至觀察到第一個次品時為止。假定每批保險絲含5%次品，試求：

(1)需測試次數(shù)X的概率分布；(2)測試次數(shù)不超過5次的概率。第17頁/共54頁§2.3

隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義設(shè)X是一個隨機(jī)變量，對任何實數(shù)x，令F(x)=P(X≤x)，

?∞<x<∞則稱F(x)為隨機(jī)變量X的累積概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。第18頁/共54頁分布函數(shù)的性質(zhì)；(1)0≤F(x)≤1，?∞<x<∞；(2)F(x)是x的非降函數(shù)，即若x1<x2，則有F(x1)≤F(x2)(3)(4)F(x+0)=F(x)，即F(x)在每一點x處都是右連續(xù)的。第19頁/共54頁離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為例在例中，隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為第20頁/共54頁圖X的分布函數(shù)曲線第21頁/共54頁例設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為試求：常數(shù)a,b,c,d的值；X落在區(qū)間(2,3]內(nèi)的概率。第22頁/共54頁§2.4

連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度一、概率密度函數(shù)二、幾個常見的連續(xù)型分布第23頁/共54頁一、概率密度函數(shù)圖女大學(xué)生身高的頻率直方圖第24頁/共54頁

定義設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，如果存在非負(fù)函數(shù)f(x)，使得對任意實數(shù)x，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，同時稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)或概率密度。概率密度函數(shù)f(x)具有下述兩個性質(zhì)：(1)f(x)≥0；(2)

；(3)；(4)若f(x)在點x處連續(xù)，則。第25頁/共54頁

連續(xù)型的分布函數(shù)F(x)是一個連續(xù)函數(shù)，并可由此推知，對任一實數(shù)c，有P(X=c)=0。對任意的實數(shù)a,b(a<b)，有

例設(shè)某種元件的壽命X(單位：千小時)具有密度函數(shù)確定常數(shù)k；求壽命超過1(千小時)的概率。第26頁/共54頁例設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為試求X的分布函數(shù)F(x)，并畫出f(x)及F(x)的圖形。圖XX的密度曲線圖XX的分布函數(shù)曲線第27頁/共54頁二、幾個常見的連續(xù)型分布1.均勻分布2.正態(tài)分布3.指數(shù)分布第28頁/共54頁1.均勻分布如果連續(xù)型隨機(jī)變量X具有如下的概率密度函數(shù)則稱X服從[a,b]上的均勻分布，記作X~U[a,b]。X的分布函數(shù)為第29頁/共54頁圖均勻分布U[a,b]的密度曲線第30頁/共54頁圖均勻分布U[a,b]的分布函數(shù)曲線

均勻分布具有下述意義的等可能性。若X~U[a,b]，則X落在

[a,b]內(nèi)任一子區(qū)間[c,d]上的概率：只與區(qū)間[c,d]的長度有關(guān)，而與它的位置無關(guān)。

例假定某線路的公共汽車每隔10分鐘到某車站一次，那么

乘客來到該車站候車的時間X就服從[0,10]上的均勻分布，由此可計算出他等候的時間不超過l(0≤l≤10)分鐘的概率為

例在數(shù)值計算中，設(shè)由于四舍五入引起的誤差為隨機(jī)變量X，如果小數(shù)點后面第三位按四舍五入處理，試求：(1)X的密度函數(shù)和分布函數(shù)；

(2)P(0.002<X<0.005)。第31頁/共54頁2.正態(tài)分布設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為其中μ,σ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布，且稱X為正態(tài)變量，記作X~N(μ,σ2)。

正態(tài)分布最早是由法國數(shù)學(xué)家德·莫弗(De

Moivre，1667~1754)于

1733年提出的。德國數(shù)學(xué)家高斯，1777~1855)在研究誤差理論時曾用它來刻畫誤差，因此有時也稱為高斯分布。第32頁/共54頁圖正態(tài)分布的密度曲線第33頁/共54頁圖不同μ的正態(tài)密度曲線圖不同參數(shù)σ2的正態(tài)分布密度曲線第34頁/共54頁正態(tài)分布的分布函數(shù)為圖正態(tài)分布的分布函數(shù)曲線第35頁/共54頁

μ=0,σ=1的正態(tài)分布，稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。其密度函

數(shù)和分布函數(shù)分別為：圖Φ(x)值第36頁/共54頁圖Φ((xx?))==11?Φ((xx)圖Φ((bb))?Φ((aa))第37頁/共54頁

若X~N(μ,σ2)，則

即U~N(0,1)。于是，

例已知某種蔬菜的單棵重量服從正態(tài)分布，μ為140克，σ為12.2克。今隨機(jī)抽出一棵，試問其重量不小于130克的概率是多少？服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，標(biāo)準(zhǔn)化變換第38頁/共54頁

例設(shè)X~N(μ,σ2)，試求X落在區(qū)間(μ?kσ,μ+kσ)內(nèi)的概率，其中k=1,2,3,4。解對k=1,2,3,4分別得P(|X?μ|<σ)=2Φ(1)?1=0.6826P(|X?μ|<2σ)=2Φ(2)?1=0.9545P(|X?μ|<3σ)=2Φ(3)?1=0.9973P(|X?μ|<4σ)=2Φ(4)?1=0.99994第39頁/共54頁

例在某年舉行的高等教育大專文憑認(rèn)定考試中，已知某科的考生成績X~N(μ,σ2)，及格率為40%,80分以上的占5%，試確定參數(shù)μ和σ。設(shè)X~N(0,1)，對于給定的正數(shù)α，0<α<1，滿足條件

的數(shù)值uα稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位數(shù)，如圖所示。由φ(x)圖形的對稱性知，u1?α=?uα。稱u1?α為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下α分位數(shù)。第40頁/共54頁圖標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上α分位數(shù)第41頁/共54頁3.指數(shù)分布如果隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為其中λ>0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布，記為X~E(λ)。X的分布函數(shù)為第42頁/共54頁圖指數(shù)分布EE(()λ)的密度曲線圖指數(shù)分布EE(()λ)的分布函數(shù)曲線第43頁/共54頁

指數(shù)分布常用來描述完成一項任務(wù)所花費的時間。例如，某些電子元器件的壽命、電話的通話時間、排隊等候服務(wù)的時間、到達(dá)一洗車處的兩輛車間隔時間等都常假定服從指數(shù)分布。

連續(xù)型的指數(shù)分布與離散型的泊松分布之間有著密切的關(guān)系。如果在規(guī)定的時間間隔內(nèi)某種產(chǎn)品受到外界的隨機(jī)沖擊次數(shù)服從泊松分布，則它受到外界相鄰兩次沖擊之間的時間間隔長度(當(dāng)它受到外界一次沖擊即失效時，可看作是產(chǎn)品壽命)服從指數(shù)分布。第44頁/共54頁

指數(shù)分布有一個稱作“無記憶性”的重要性質(zhì)。設(shè)產(chǎn)品壽命X~E(λ)，已知產(chǎn)品已工作了s個單位時間，則它還能再工作t個單位時間的條件概率P(X>s+t|X>s)=P(X>t)證明第45頁/共54頁

例設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X(以分計)服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過10分鐘，他就離開。他一個月要到銀行5次，以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù)。試求：(1)Y的概率分布；(2)P(Y≥1)。第46頁/共54頁§2.5

隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、X是離散型隨機(jī)變量的情形二、X是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形第47頁/共54頁一、X是離散型隨機(jī)變量的情形如果諸g(xk)的值全不相等，則Y=g(X)的分布律為如果g(xk)(k=1,2,?)中存在兩個或兩個以上的值相等，則把那些相等的值合并起來，并根據(jù)概率的可加性將對應(yīng)的概率相加，就得到Y(jié)的分布律。設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，其分布律為X

x1

x2

?

xn

?P

p1

p2

?

pn

?Y=g(X)

g(x1)第48頁/共54頁g(x2)

?

g(xn)

?P

p1

p2

?

pn

?例設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為X?2

?1013P試求：(1)Y=2X+3的分布律；

(2)Y=X2?1的分布律。第49頁/共54頁二、X是連續(xù)型隨機(jī)變量的情形設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為FX(x)，于是Y=g(X)的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y≤y)=