機器人動力學牛頓歐拉方程

3.6小節(jié)機器人的桿件的速度1精選ppt3.6機器人的桿件的速度基本思路：

已知基座速度和各關節(jié)的相對速度，從基座速度開始，一步一步遞推出末端執(zhí)行器的速度。2精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度

機器人桿件的速度包括線速度和角速度，下面介紹如何從i桿件的速度遞推計算i+1桿件的線速度和角速度。如圖所示，設已知i桿件的速度為ωi和vi，i+1桿件繞Zi+1軸旋轉(zhuǎn)的角速度為。

3精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度

則：在{i+1}坐標系中表示的i+1桿件桿的角速度為：

在{i+1}坐標系中表示的i+1坐標系原點的線速度為：在{i+1}中表示的i+1桿的角速度其中是在{i}中表示的指向{i+1}原點的距離。4精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度例1、一兩桿關節(jié)機器人如圖所示，計算以關節(jié)速度為函數(shù)的手尖處的速度。5精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度解：1、建立坐標系，如圖：

2、求位姿矩陣：6精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度得：1桿在{1}中表示的速度7精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度如果在基座坐標系中表示，僅需乘以R03。則：8精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度例2、試求例1中兩桿關節(jié)機器人的雅克比矩陣。解：由例1知：則：及9精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度

雅克比矩陣的行數(shù)等于笛卡爾空間自由度，列數(shù)等于機器人的關節(jié)數(shù)。同理，我們可以求相對基座坐標系的雅克比矩陣。所以：1010精選ppt3.4.3、機器人的桿件的速度

雅克比矩陣的逆為：

當手尖沿X方向以速度1m/s運動時，由雅克比逆矩陣可得：

當θ2=0時，上式分母為零，兩關節(jié)速度將趨于無窮大，它對應機器人的奇異位置。11精選ppt第4章機器人操作動力學4.1、概述4.2、機器人的牛頓-歐拉動力學方程4.3、機器人拉格朗日動力學方程簡介12精選ppt4.1、概述為什么要研究機器人的動力學問題？

1、為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，機器人的運動是作用于關節(jié)上的力矩與其他力或力矩作用的結果。

2、力或力矩的作用將影響機器人的動態(tài)性能。13精選ppt4.1、概述機器人動力學研究內(nèi)容：正問題：已知作用在機器人機構上的力和力矩，求機器人機構各關節(jié)的位移、速度、加速度，即：F=ma。反問題：已知機器人機構各關節(jié)的位移、速度和加速度，求作用在各關節(jié)上的驅(qū)動力或驅(qū)動力矩，即：am=F。14精選ppt4.1、概述機器人動力學研究方法：目標：根據(jù)機器人機構的結構特點、運動學和動力學原理，提出通用、快捷的建立動力學方程的方法。數(shù)學工具：矢量方法、張量方法、旋量方法及矩陣方法等。力學原理：動量矩定理、能量守恒定理、牛頓－歐拉方程、達朗貝爾原理、虛功原理、拉格朗日方程、哈密爾頓原理、凱恩方程等。15精選ppt4.1、概述幾項假設：

1、構成機器人的各桿件都是剛體，即不考慮桿件的變形。

2、忽略各種間隙等因數(shù)的影響。

3、暫不考慮驅(qū)動系統(tǒng)的動力學。1516精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程

機器人動力學的特點：

1、串聯(lián)機器人由多個桿件經(jīng)關節(jié)軸串聯(lián)構成，屬于多體動力學的研究范疇。

2、各桿件的速度、加速度是關節(jié)位置及時間的函數(shù)，隨機器人桿件構形的不同而改變。

3、機器人動力學的計算復雜，多采用數(shù)值遞推的方法計算。17精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程我們知道：剛體運動

=質(zhì)心的平動+繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動其中：質(zhì)心平動：用牛頓方程描述。繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動：用歐拉方程定義。它們都涉及到質(zhì)量及其分布，我們先復習一下轉(zhuǎn)動慣量的計算。18精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程

如圖所示，設剛體的質(zhì)量為，以質(zhì)心為原點的隨體坐標系下的慣量矩陣由六個量組成，表示為：一、慣量矩陣（張量）圖3.1式中：19精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程

慣量矩陣中的元素稱為慣量矩(Massmomentsofinertia)，而具有混合指標的元素稱為慣量積(Massproductsofinertia)。對于給定的物體，慣量積的值與建立的坐標系的位置及方向有關；如果我們選擇的坐標系合適，可使慣量積的值為零。這樣的坐標系軸稱為主軸（Principleaxes）,相應的慣量稱為主慣量。事實上，主慣量是慣量矩陣的三個特征值。20精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程平行軸定理（Parallel-axistheorem）:

已知相對于某一原點位于物體質(zhì)心坐標系{C}的慣量張量，坐標系{A}平行于坐標系{C}，則相對于{A}坐標系的慣量張量為：其中：為質(zhì)心相對于{A}坐標系的坐標。2021精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程二、牛頓—歐拉方程我們假設機器人的每個桿件都為剛體，為了運動桿件，我們必須加速或減速它們，運動桿件所需要的力或力矩是所需加速度和桿件質(zhì)量分布的函數(shù)；牛頓方程和用于轉(zhuǎn)動情況的歐拉方程一起，描述了機器人驅(qū)動力矩、負載力（力矩）、慣量和加速度之間的關系。22精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程

我們先研究質(zhì)心的平動，如圖4.1所示，假設剛體的質(zhì)量為，質(zhì)心在C點，質(zhì)心處的位置矢量用表示，則質(zhì)心處的加速度為；設剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的角速度用表示，繞質(zhì)心的角加速度為，根據(jù)牛頓方程可得作用在剛體質(zhì)心C處的力為：圖4.123精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程

根據(jù)三維空間歐拉方程，作用在剛體上的力矩為：

圖4.1

以上兩式合稱為牛頓—歐拉方程。式中，M為作用力對剛體質(zhì)心的矩，為繞質(zhì)心的角速度和角加速度。24精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程三、加速度計算1、線加速度

如圖所示，設坐標系i與i-1桿固聯(lián)，其原點加速度為ai-1,角速度為ωi-1;Oi+1隨桿件i相對i坐標系旋轉(zhuǎn)，相對轉(zhuǎn)速為

。P為i桿上任意一點。1525精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程Pi點的相對速度和加速度為：

Pi點的絕對加速度為：erk代入并化簡得：即：上述參數(shù)都是在基礎坐標系中表示的。2626精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程i+1坐標系原點的加速度為：設i桿件質(zhì)心為ci,則其加速度為：2、角加速度

i桿的角加速度為：27精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程四、作用力和力矩

計算出每個桿件質(zhì)心的加速度后，我們可以應用牛頓-歐拉方程來計算作用在每個桿件質(zhì)心的慣性力和慣性力矩。根據(jù)牛頓-歐拉方程，有：2828精選ppt4.2機械人的牛頓—歐拉方程圖2構件受力圖

如圖2所示，將第i個構件Li作為隔離體進行分析，作用在其上的力和力矩有：

作用在i桿件上的外力和外力矩，i-1桿件作用在i桿件上的力和力矩，以及i+1桿件作用在i桿件上的力和力矩。2929精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程其中：

Fi+1,i—構件Li+1作用在構件Li上的力。Mi+1,i—構件Li+1作用在構件Li上的力矩。Fi-1,i—構件Li-1作用在構件Li上的力。Mi-1,i—構件Li-1作用在構件Li上的力矩。Fi—作用在第i個構件Li上的外力簡化到質(zhì)心C處的合力，即外力的主矢。Mi—作用在第i個構件Li上的外力矩簡化到質(zhì)心C處的合力矩，即外力的主矩。30精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

上述力和力矩包括了運動副中的約束反力、驅(qū)動力、摩擦力等引起的作用力和作用力矩。作用在第i個構件上的所有力化簡到質(zhì)心的總的合力為：它們都在基礎坐標系中表示。31精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程相對于質(zhì)心的總的合力矩Mi為：

最后，為了便于遞推計算，重新安排力和力矩計算公式為：32精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

i桿件需要的關節(jié)力矩為相鄰桿件作用于它的力矩的Z分量，即：牛頓-歐拉方程的遞推算法：由兩部分組成：首先，從1號桿到n號桿，向前遞推計算各桿的速度和加速度。然后，再從n號桿到1號桿，向后遞推計算作用力和力矩，以及關節(jié)驅(qū)動力矩。算法過程總結如下：33精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程向前遞推：i:0→6向后遞推：i:6→1慣性力慣性力矩條件：基礎桿件和各關節(jié)的角速度和角加速度已知34精選ppt3.3.1機械臂的牛頓—歐拉方程

引力對桿件作用的影響可以通過設置來實現(xiàn)，這里，G為引力常數(shù)。上面給出了關節(jié)型機器人的動力學計算方法，對于移動關節(jié)可以推導相應的方程。對一些相對簡單的問題，用上述方法，也可能得到閉式解析結果。上述遞推算法是一種通用算法，可以用于任意自由度數(shù)的關節(jié)型機器人。35精選ppt牛頓—歐拉方程實例圖3平面兩自由度機器人機構例1如圖3所示的平面兩自由度機器人機構。連桿L1質(zhì)心為C1，質(zhì)量為m1，驅(qū)動力矩為m1=[00m11]T，角速度為ω1=[00ω1]T,加速度為ε1=[00ε1]T;連桿L2質(zhì)心為C2，質(zhì)量為m2，驅(qū)動力矩為m2=[00m22]T，角速度為ω2=[00ω2]T,加速度為ε2=[00ε2]T，36精選ppt牛頓—歐拉方程實例

選取關節(jié)O和關節(jié)A處的轉(zhuǎn)角θ1和θ2為系統(tǒng)的廣義坐標，可以寫出連桿L1的牛頓—歐拉方程為:連桿L2的牛頓—歐拉方程為:式中:重力驅(qū)動力矩37精選ppt牛頓—歐拉方程實例由以上幾式消去桿件間作用力，可解得:考慮質(zhì)心位置：求導得：38精選ppt牛頓—歐拉方程實例另外：39精選ppt牛頓—歐拉方程實例有：即：對m22可同樣寫出矩陣方程。代入加速度分量，得：40精選ppt牛頓—歐拉方程實例化簡可得：

上式即為各桿件關節(jié)的驅(qū)動力計算公式，它是一個以角加速度為變量、變系數(shù)的非線性動力學方程。41精選ppt牛頓—歐拉方程實例以上兩式進一步寫成：式中：

系數(shù)是位置的函數(shù)42精選ppt牛頓—歐拉方程實例

例2：如圖所示為兩桿平面機器人，為了簡單起見，我們假設每個桿件的質(zhì)量集中于桿件的尾部，其大小為m1和m2。解：每個桿件的質(zhì)量中心矢量為：

由于點質(zhì)量假設，每個桿件相對質(zhì)心的慣性張量為零，即：43精選ppt牛頓—歐拉方程實例末端執(zhí)行器上無作用力，所以：基座靜止，因此：考慮到引力，我們使用：44精選ppt牛頓—歐拉方程實例應用遞推公式有：向前：1桿件：45精選ppt牛頓—歐拉方程實例2桿件：46精選ppt牛頓—歐拉方程實例47精選ppt牛頓—歐拉方程實例向后遞推：2桿件：1桿件：48精選ppt牛頓—歐拉方程實例取力矩的Z分量，得到關節(jié)力矩：49精選ppt機器人機構動力學方程

通常，機器人的動力學方程常寫為抽象的形式：稱為慣量陣，是離心力、科氏力等相關部分，為重力部分。特點：多變量、時變、非線性、