矩陣的標準型

教學目的理解

矩陣的定義及不變因子掌握用初等變換的方法化

矩陣為Smith標準形理解行列因子、初等因子及相關理論掌握求矩陣的Jordan標準形的方法了解Cayley-Hamilton定理

第三章

矩陣與矩陣的Jordan標準形（

-matrixandJordanCanonicalForm）1精選ppt

標準型的理論源自矩陣的相似性，因為相似矩陣有許多相似不變量：特征多項式、特征值（包括代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)）、行列式、跡及秩等，并且特征向量也可以借助于可逆的相似變換矩陣互相求出。這自然導出了尋找相似矩陣集合中的“代表矩陣”的問題。“代表矩陣”當然越簡單越好。對于可對角化矩陣，“代表矩陣”就是特征值組成的對角矩陣。但是令人非常遺憾的是：一般矩陣未必與對角矩陣相似！?。?精選ppt預備知識：若存在多項式h(

)，使得f(

)

=d(

)

h(

)，稱d(

)整除f(

)，用d(

)|f(

)表示；設f(

)

與g(

)

為數(shù)域P上的兩個一元多項式，若存在d(

)滿足d(

)|f(

)，d(

)|g(

)，稱d(

)為f(

)與g(

)的公因式；若f(

)與g(

)的任一公因式都是d(

)的因式；稱d(

)為f(

)與g(

)的最大公因式，并用（f(

)，g(

)）表示f(

)與g(

)的首項系數(shù)為1的最大公因式.3精選ppt§2

矩陣及其在相抵下的標準型由于一般矩陣與對角矩陣不相似，因此我們“退而求其次”，尋找“幾乎對角的”矩陣。這就引出了矩陣在相似下的各種標準型問題，其中Jordan標準型是最接近對角的矩陣，只在第1條對角線上取1或0。弄清楚了矩陣相似的本質(zhì)，理論上、計算上以及應用上的許多問題就容易處理了，當然花費也大了。4精選ppt定義1

元素為

的多項式的矩陣稱為

-矩陣，記為A(

)。即A(

)=(aij(

))m

n(i=1,2,…m;j=1,2,..n),其中aij(

)是數(shù)域P上的多項式。多項式aij(

)的最高次數(shù)稱為A(

)的次數(shù)，數(shù)域P上全體m

n的

-矩陣記為P[

]m

n.注：數(shù)字矩陣是

-矩陣的特例。數(shù)字矩陣A的特征矩陣

I-A是1次

-矩陣。1.

矩陣的基本概念5精選ppt

矩陣的加法、減法、乘法和數(shù)乘運算同數(shù)字矩陣的對應運算有相同的運算定律。數(shù)字矩陣行列式的定義也可應用到

矩陣，且性質(zhì)相同。

n階

矩陣的行列式是

的多項式，且滿足

|A(

)B(

)|=|A(

)||B(

)|

6精選ppt定義2設A(

)

P[

]m

n，如果A(

)中有一個r階子式不為零，而所有r+1階子式全為零，稱A(

)的秩為r，記為rank(A(

))=r數(shù)字矩陣A的特征矩陣

I-A是

的n次行列式，所以是滿秩的。

矩陣的秩7精選ppt

定義3設A(

)

P[

]m

n，如果存在一個n階

矩陣B(

)使得A(

)B(

)

=B(

)

A(

)=I

則稱A(

)可逆，B(

)為A(

)的逆矩陣記作A(

)-1。定理1

設A(

)

P[

]m

n，A(

)可逆的充要條件是|A(

)

|是非零常數(shù)。

矩陣的逆8精選ppt

矩陣的初等變換定義4初等變換(1)對換兩行（列）；(2)某行（列）乘上非零的常數(shù)k；(3)

某一行(列)的

(

)倍加到另一行，其中

(

)是

的多項式對應三種初等變換，有三種初等矩陣P(i,j).P(i(k)),P(i,j(

))(1)做一次初等行（列）變換，相當于左（右）乘相應的初等矩陣;(2)初等矩陣都是可逆的：P(i,j)-1=P(i,j).P(i(k))-1=P(i(k-1))，P(i,j(

))-1=P(i,j(-

))9精選ppt相抵（等價）定義5

設A(

),B(

)

P[

]m

n，若A(

)經(jīng)有限次行、列初等變換化為B(

),稱A(

)與B(

)相抵（等價），記為A(

)

B(

)定理2

設A(

),B(

)

P[

]m

n，A(

)與B(

)相抵的充要條件是存在m階初等矩陣P1(

),P2(

),…Pl(

),與n階初等矩陣Q1(

),Q2(

),…Qt(

),，使得A(

)=Pl(

)…P1(

)B(

)Q1(

)Q2(

)…Qt(

)

10精選ppt3.

矩陣在相抵下的標準型定義6

該標準型稱為A(

)在相抵下的標準型或Smith標準型；稱smith標準型“主對角線”上非零元d1(

),d2(

),dr(

)為A(

)的不變因子定理

對任意一個秩為r的m

n階

-陣A(

)，都相抵于一個標準型di(

)為首項系數(shù)為1的多項式，且di(

)|di+1(

)11精選ppt例1

求

矩陣的Smith標準形

解題思路：經(jīng)過一系列初等行變換或初等列變換使得左上角的元素次數(shù)逐漸降低，最后降低到可以整除其余所有的元素。12精選ppt

解:13精選ppt

不變因子：14精選ppt將其化成Smith標準形。例215精選ppt解：16精選ppt17精選ppt§3

矩陣的行列式因子和初等因子定義1設A(

)

P[

]m

n，且rank(A(

))=r，對于正整數(shù)k

(1≤k≤r),A(

)中的全部k階子式的最大公因式稱為A(

)的k階行列式因子，記為Dk(

).定理1

相抵的

矩陣有相同的秩和相同的各階行列式因子18精選ppt例1

求

矩陣的各階行列式因子。19精選ppt解

由于((

+1)2,

)=1,所以D1(

)=1最后

D3(

)=det(A(

))=

2(

+1)320精選ppt行列式因子和不變因子的關系設

矩陣A(

)的Smith標準形為其中di(

)(i=1,2…r)是首項系數(shù)是1的不變因子，21精選ppt則A(

)的各階行列式因子如下：于是Di(

)|Di+1(

)，(i=1,2,…r-1)di+1(

)=Di+1(

)/Di(

),(i=1,2,…r-1)定理2

矩陣A(

)的Smith標準型唯一。定理3

設A(

),B(

)

P[

]m

n，A(

)與B(

)相抵的充要條件是它們有相同的行列式因子，或它們有相同的不變因子。22精選ppt例2

求下列

矩陣的行列式因子和不變因子

一般來說應用行列式因子求不變因子較復雜，但對一些特殊的矩陣先求行列式因子再求不變因子反而簡單。其中

i是數(shù)域P中的常數(shù)。23精選ppt解

由于A(

)的一個m-1階子式

故Dm-1(

)=1,根據(jù)行列式因子的依次整除性，有

D1(

)=D2(

)=…=Dm-2(

)=1

而Dm(

)=(

-

i)m，因此A(

)的不變因子為

d1(

)=d2(

)=…=dm-1(

)=1,dm(

)=(

-

i)m24精選ppt設

矩陣A(

)的不變因子為d1(

),d2(

),…dr(

)，在復數(shù)域內(nèi)將它們分解成一次因式的乘積其中，

1

…

s是互異的復數(shù)，eij是非負整數(shù)，滿足初等因子25精選ppt定義2

在不變因子的分解式中，所有指數(shù)大于0的因子稱為矩陣A(

)的初等因子。注：在A(

)的秩已知的情況下，不變因子和初等因子相互確定26精選ppt例3

如果

矩陣A(

)的不變因子為則A(

)的初等因子為

,

,

2,

-1,(

-1)2,(

-1)3,(

+1)2,(

+1)3,

-227精選ppt

反過來，如果知道了A(

)的秩和初等因子，因為A(

)的秩確定了不變因子的個數(shù)，則同一個一次因式的方冪做成的初等因子中，方次最高的必在dr(

)的分解中，方次次高的必在dr-1(

)的分解中，如此順推，可知屬于同一一次因式的方冪的初等因子在不變因子的分解式中唯一確定。28精選ppt例如如果A(

)的秩為4，且其初等因子為則A(

)的不變因子依次為d4(

)=

2(

-1)3(

-i)3(

+i)3d3(

)=

(

-1)2,d2(

)=

(

-1),d1(

)=1

,

,

2,

-1,(

-1)2,(

-1)3,(

-i)2,(

+i)329精選ppt定理7

設

矩陣為塊對角形矩陣，則B(

)與C(

)的初等因子的全體是A(

)的全部初等因子。該定理可以推廣到n個分塊的情形定理6設A(

),B(

)

P[

]m

n，A(

)與B(

)相抵的充要條件是它們有相同的秩和相同的初等因子。30精選ppt例4

求的Smith標準型31精選ppt解

記那么32精選ppt因為A1(

)的初等因子為

,+1;

A2(

)的初等因子為

,

A3(

)的初等因子為

,-1,+1；由上面的定理可知A(

)的初等因子為

所以A(

)的不變因子為

,

,

,

-1,

+1,

+1d4(

)=

(

-1)(

+1),d3(

)=

(

+1)d2(

)=

,d1(

)=133精選ppt因此A(

)的Smith標準形為34精選ppt§4矩陣相似的條件.定理1

數(shù)字方陣A與B相似的充分必要條件是它們的特征矩陣

E-A與

E-B相抵。定義1

n階數(shù)字方陣A的特征矩陣

E-A的行列式因子，不變因子和初等因子分別稱為矩陣A的行列式因子，不變因子和初等因子。35精選ppt§4矩陣相似的條件.定理2

n階數(shù)字方陣A與B相似的充分必要條件是他們滿足如下條件之一：（1）它們有相同的行列式因子，（2）它們有相同的不變因子,（3）它們有相同的初等因子。36精選ppt§5矩陣的Jordan標準型定義1

稱方陣為階Jordan塊。由若干個Jordan塊組成的塊對角矩陣稱為Jordan形矩陣。37精選pptni

階Jordan塊Ji的性質(zhì)：（1）Ji由有唯一的特征值

i（2）特征值

i的幾何重數(shù)為1，代數(shù)重數(shù)為ni

（3）

Ji

有唯一的初等因子；Jordan

塊Ji的性質(zhì)對應于特征值

僅有一個線性無關的特征向量38精選ppt（4）Jordan塊Ji的性質(zhì)可使用歸納法證明39精選ppt設Jordan形矩陣其中，Ji=

Ji(

i)是ni階Jordan塊，則（1）J的初等因子為（2）J恰有s個線性無關的特征向量；注：

Jordan形矩陣的全部初等因子由它的全部Jordan塊的初等因子決定，因此Jordan形矩陣除去其中Jordan塊的排列次序外被它的初等因子唯一決定。40精選ppt定理1

設，則A可經(jīng)過相似變換可化成唯一的

Jordan形矩陣(不計Jordan塊的排列次序)，稱該Jordan形矩陣為A的Jordan標準型.Ji(

i)為A的對應初等因子

-

i的Jordan塊41精選ppt求方陣的Jordan標準形。例142精選ppt解：首先用初等變換法求其Jordan標準形：故A

的初等因子為-1,(-1)2從而A的Jordan標準形為或初等因子法的缺點是不能求出相似變換矩陣。43精選ppt定理2

設T是復數(shù)域上n維線性空間V的線性變換，則在V中存在一組基使得T在這組基下的矩陣是

Jordan形矩陣。定理3

設A

Cn

n，則A于一個對角陣相似的充要條件是A的初等因子都是一次的。44精選ppt求相似變換矩陣的步驟

由定理1知道，方陣與標準型J是相似的，即存在可逆矩陣P，使得：A=PJP-1，即AP=PJ,求法如下：設即45精選ppt所以：解方程并選擇適當?shù)募吹谩?6精選ppt求方陣的相似變換矩陣。例247精選ppt解：由例1知，矩陣的Jordan標準型為求相似變換矩陣：設所求矩陣為P，則AP=PJ

，對于P

按列分塊記為48精選ppt從而：49精選ppt整理后得三個方程組為：前面的兩個方程為同解方程組，可以求出它們的一個基礎解系：50精選ppt這是因為如果p2選取不當會使得第三個非齊次線性方程組無解。令：p2=k1

1+k2

2將其代入第三個方程，選取適當?shù)膋1，k2使(I-A)p3=-(k1

1+k2

2)有解?？梢匀1=

1,但不能簡單取p2=

2.51精選ppt根據(jù)非齊次方程有解的條件：系數(shù)矩陣與增廣矩陣有相同的秩，容易計算出其系數(shù)矩陣的秩為1，從而應該使得增廣矩陣的秩為1令k1

=k2

=1，由此得52精選ppt那么所求相似變換矩陣為53精選ppt三、

Jordan標準形的某些應用對于方陣A，求An,若A=P-1JP,An=P-1JnP應用：1）一階差分方程Uk+1=AUk=AkU0,例如：Fibonacci數(shù)列Fk+2=Fk+1+Fk,寫成Uk+1=AUk形式54精選ppt三、

Jordan標準形的某些應用這是一個動態(tài)問題，特征值決定增長速度，是無限增長還是趨于穩(wěn)定An

0，稱A是穩(wěn)定的，如果所有的特征值<1,且A有n個線性無關的特征向量，則A是穩(wěn)定的。55精選ppt三、

Jordan標準形的某些應用例3

對于方陣求A10解：由例1知，矩陣的Jordan標準型為56精選ppt由例2知，矩陣的相似變換矩陣為57精選ppt從而58精選ppt§6Cayley-Hamilton定理與最小多項式定義1

任給數(shù)域P

上一個n級矩陣A，若存在數(shù)域

P

上一個多項式

f(x)，使

f(A)=0，則稱f(x)是以A

為根的多項式.（或稱為A的化零多項式）定理1

Cayley-Hamilton定理設

A

是數(shù)域

P

上一個

n

n

矩陣，f(

)=|E-A|是A

的特征多項式，則f(A)=An-(a11+a22+…+ann)An-1+…+(-1)n|A|E=059精選ppt最小多項式定義3首項系數(shù)為1、次數(shù)最低的以

A為根的多項式稱為A的最小多項式.注意：1.矩陣A的特征多項式就是A的化零多項式；2.化零多項式不唯一3.矩陣A的特征多項式未必是最小多項式60精選ppt最小多項式定理2設

A

是數(shù)域

P

上一個

n

階矩陣，設m(

)

是A的最小多項式，

(

)

是A的任一化零多項式,則1.A的最小多項式唯一；2.m(

)

能整除

(

)，特別地，m(

)能整除A的特征多項式f(

);3.

0是A的特征值的充要條件是m(

0)=0;61精選ppt事實上，如果矩陣

A

與

B

相似：B=T-1AT，那么對任一多項式

f