頻率特性和時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系

02九月20231通過(guò)頻率特性曲線獲得穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)頻率域性能指標(biāo)頻率域特性指標(biāo)與時(shí)域瞬態(tài)指標(biāo)的關(guān)系主要內(nèi)容02九月20232一、穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)分析：

如果通過(guò)頻率特性曲線能確定系統(tǒng)的無(wú)差度階數(shù)（即積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)）和開(kāi)環(huán)放大系數(shù)k的話，則可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。（見(jiàn)第三章第六節(jié)穩(wěn)態(tài)誤差分析）在波德圖上，低頻漸進(jìn)線的斜率和的關(guān)系如下：由，可求得值；也可由 ，求。開(kāi)環(huán)放大系數(shù)k的求法有兩種：①低頻漸進(jìn)線為：當(dāng)時(shí)，有：，故： 低頻漸進(jìn)線斜率=-20v02九月20233②當(dāng)時(shí)，k也可由與橫軸的交點(diǎn)來(lái)求。當(dāng)時(shí)，，有：02九月20234二、頻域性能指標(biāo)開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)幅值穩(wěn)定裕度：-180?穿越頻率處的負(fù)增益 定義在極坐標(biāo)上： 定義在對(duì)數(shù)坐標(biāo)上：相角穩(wěn)定裕度：截止頻率(幅值穿越頻率)處的相位+180?其中：其中：02九月20235閉環(huán)頻域指標(biāo)右圖為典型閉環(huán)系統(tǒng)的幅頻特性。常用的閉環(huán)頻域指標(biāo)包括：零頻振幅比M(0)：直接反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度。M(0)＝1：當(dāng)階躍函數(shù)輸入系統(tǒng)時(shí)，其階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值c(∞)等于輸入，即系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0。M(0)≠1：表示系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。M(0)越接近1，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越高；反之，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度越低。諧振峰值Mp：Mp值越大，表明系統(tǒng)對(duì)頻率為的正弦信號(hào)響應(yīng)越強(qiáng)烈，有諧振的趨勢(shì)，表明系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性較差，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)將有較大的超調(diào)量。02九月20236諧振頻率：Mp對(duì)應(yīng)的頻率。從前面閉環(huán)系統(tǒng)的分析可知，未必所有的系統(tǒng)都有諧振峰值和諧振頻率，所以使用諧振頻率不能完善的描述系統(tǒng)的低通特性。帶寬頻率：帶寬較寬，表明系統(tǒng)能通過(guò)頻率較高的輸入信號(hào)；帶寬較窄，說(shuō)明系統(tǒng)只能通過(guò)領(lǐng)率較低的輸入情號(hào)。因此，通頻帶較寬的系統(tǒng)，重演輸人信號(hào)的能力較強(qiáng)；但抑制輸入端高頻干擾的能力較弱。我們還將進(jìn)一步討論帶寬與系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間之間的密切關(guān)系。開(kāi)環(huán)頻率特性中頻段斜率與系統(tǒng)穩(wěn)定性的關(guān)系中頻段是指系統(tǒng)截止頻率附近的頻段。右圖為開(kāi)環(huán)為積分環(huán)節(jié)的單位反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)的相角文檔裕度分別為90?和0?，第二個(gè)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。02九月20237一般情況下，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性的斜率在整個(gè)頻率范圍內(nèi)并非是一成不變的，系統(tǒng)相角余量r應(yīng)由整個(gè)對(duì)數(shù)幅頻特性中各段的斜率共同確定。但是，L(ω)在ωc處曲線的斜率對(duì)相角裕度r的影響最大，遠(yuǎn)離ωc曲線的斜率對(duì)r的影響很小。當(dāng)ωc較低時(shí)，相角裕度主要由L(ω)低頻段的斜率決定；當(dāng)ωc較高時(shí)，相角裕度主要由L(ω)高頻段的斜率決定；當(dāng)ωc低頻往高頻變化時(shí)，相角裕度受L(ω)低頻段斜率的影響逐步減小，受L(ω)高頻段斜率的影響則逐步增大。[例]分析相角穩(wěn)定裕度與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系。[解]繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)頻率特性，使用分段直線近似，如右圖。分段直線的斜率分別為：-40，-20，-40，要使得系統(tǒng)有較大的相角裕度，ωc應(yīng)取在什么位置？02九月20238令：相角裕度為：由上式可知：如果ωc,ω2不變，r僅隨ω1變化。ω1增高，r減??；ω1降低，r增大。若T1較大，ω1較低，即離ωc較遠(yuǎn)，斜率為-40的低頻段對(duì)r的影響較小。若T1足夠大，低頻段影響可忽略，此時(shí)：如果ωc,ω1不變，r僅隨ω2變化。ω2增高，r減??；ω2降低，r增大。若T2較大，ω2較低，即離ωc較遠(yuǎn)，斜率為-40的高頻段對(duì)r的影響較小。若T2足夠大，高頻段影響可忽略，此時(shí)：如果ω1,ω2不變，令ω2＝hω1，其中h＝ω2/ω1，h可描述L(ω)中頻段寬度。

02九月20239通過(guò)改變K值，相角裕度隨ωc的變化如右圖。K增大，L(ω)特性上移，ωc增大，更加靠近ω2，L(ω)高頻段斜率對(duì)r的影響大，相角裕度較?。籏減小，L(ω)特性下移，ωc減小，更加靠近ω1，L(ω)低頻段斜率對(duì)r的影響大，相角裕度較小；K減小取某個(gè)值時(shí)，可使r達(dá)到極大值?；颍河缮鲜娇芍{(diào)節(jié)K使處于ω1與ω2的幾何中心點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)具有最大相角裕度：由上式又知，系統(tǒng)的中頻段寬度越寬，通過(guò)調(diào)節(jié)K可能達(dá)到的最大相角裕度越大，系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性也就越高。02九月202310四、開(kāi)環(huán)頻率特性與瞬態(tài)性能指標(biāo)的關(guān)系頻域性能指標(biāo)：由頻寬的定義知： 我們知道一階慣性環(huán)節(jié)的調(diào)整時(shí)間是：則頻寬越大，調(diào)整時(shí)間越小。

一階系統(tǒng)：傳遞函數(shù)為：

二階系統(tǒng)：閉環(huán)頻率特性為：開(kāi)環(huán)頻率特性為：02九月202311幅頻特性為：相頻特性為：

r與的關(guān)系02九月202312繪制r，Mp，δ%與ξ之間的關(guān)系，如右圖所示。由圖中可見(jiàn)r與ξ是單調(diào)增的，于是，r越小，δ%越大；r越大，δ%越小。為了使系統(tǒng)的瞬態(tài)過(guò)程震蕩不太激烈，調(diào)節(jié)時(shí)間比較小，通常取30?≤r≤60?。

r，ωc與Ts的關(guān)系又 ，所以可見(jiàn)，Ts與r和ωc都有關(guān)。如果r給定，那么Ts與ωc成反比。如果兩個(gè)二階系統(tǒng)的r相同，那么它們的δ%相同，ωc較大的系統(tǒng)，Ts必然較短。02九月202313

高階系統(tǒng)對(duì)于一般的高階系統(tǒng)，要準(zhǔn)確推導(dǎo)出開(kāi)環(huán)頻域特征量(r和ωc)與時(shí)域指標(biāo)(δ%和Ts)之間的關(guān)系是困難的，并且使用起來(lái)也不方便。在工程中，常遇到的一種高階系統(tǒng)是所謂1-2-1-2-3型系統(tǒng)，其傳遞函數(shù)為：其中a≥2，b≥2，c≥2，d≥2。此時(shí)，系統(tǒng)的中頻段寬度較大，這時(shí)可以用如下經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算系統(tǒng)的δ%和Ts：02九月202314一般的高階系統(tǒng)，如果斜率為－20db/dec的中頻段足夠?qū)挄r(shí)，也可以使用如下公式估計(jì)系統(tǒng)的性能指標(biāo)：滿足：右圖是根據(jù)上式繪制的r與δ％和Ts的曲線，可見(jiàn)隨著r的增加，δ％和Ts均變小，說(shuō)明系統(tǒng)的震蕩減弱并且速度加快。02九月202315五、開(kāi)環(huán)頻率特性高頻段對(duì)系統(tǒng)性能的影響L(ω)高頻段特性由小時(shí)間常數(shù)的環(huán)節(jié)構(gòu)成，則其轉(zhuǎn)折頻率均遠(yuǎn)離截止頻率ωc，所以對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)影響不大。但是，從系統(tǒng)抗干擾的角度出發(fā)，研究高頻段的特性是有實(shí)際意義的。對(duì)于單位反饋系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)頻率特性G(jω)和閉環(huán)頻率特性Φ(jω)的關(guān)系為：在高頻段： 即 由上式：上式說(shuō)明，閉環(huán)系統(tǒng)的高頻段特性近似等于開(kāi)環(huán)頻率特性。因此，L(ω)高頻段幅值直接反映系統(tǒng)對(duì)噪聲的抑制能力，高頻段分貝值越低，系統(tǒng)對(duì)高頻信號(hào)的衰減越厲害，系統(tǒng)抗噪聲能力越強(qiáng)。02九月202316六、閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系用閉環(huán)頻率特性分析、設(shè)計(jì)系統(tǒng)，通常以諧振峰值Mp和頻帶寬度ωb(或諧振頻率ωp)作為依據(jù)。Mp、ωb與時(shí)域指標(biāo)δ%、Ts之間存在確定關(guān)系，這種關(guān)系在二階系統(tǒng)中是嚴(yán)格的在高階系統(tǒng)中則是近似的。

二階系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性為：開(kāi)環(huán)頻率特性為：

Mp與δ%的關(guān)系閉環(huán)幅頻特性為：02九月202317繪制上述結(jié)果與δ%、r之間關(guān)系，如右圖。圖中表明：Mp越小，系統(tǒng)的阻尼性能越好。若Mp值較高，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程超調(diào)量大，收斂慢，平穩(wěn)性和快速性都較差。Mp＝1.2~1.5時(shí)，對(duì)應(yīng)的δ%：26％～30％，這時(shí)的動(dòng)態(tài)過(guò)程有適度的振蕩，平穩(wěn)性及快速性均較好。工程中常以Mp＝1.3作為系統(tǒng)設(shè)計(jì)的依據(jù)。Mp過(guò)大(如Mp>2)，則閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)的超調(diào)量可達(dá)40％以上。

Mp、ωb與Ts的關(guān)系02九月202318同樣可以繪制ωbTs和Mp之間的關(guān)系。由圖可見(jiàn)，對(duì)于給定的諧振峰值Mp，調(diào)節(jié)時(shí)間Ts與帶寬ωb成反比，頻帶寬度越寬，則調(diào)節(jié)時(shí)間Ts越短。實(shí)際上，如果系統(tǒng)有較寬的通頻帶，則表明系統(tǒng)自身的“慣性”很小，故動(dòng)作過(guò)程迅速，系統(tǒng)的快速性好。

高階系統(tǒng)對(duì)于高階系統(tǒng)，難于找出閉環(huán)頻率特性的頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系。但是，若高階系統(tǒng)存在著一對(duì)共扼復(fù)數(shù)主導(dǎo)極點(diǎn)時(shí)，則可用二階系統(tǒng)所建立的關(guān)系來(lái)近似表示。至于一般的高階系統(tǒng)，常用下列兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式進(jìn)行分析、估算：其中：02九月202319七、結(jié)論通過(guò)以上分析可以看出，系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性反映了閉環(huán)系統(tǒng)的性能。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性之間有確定的關(guān)系，系統(tǒng)性能完全可以由開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)反映。根據(jù)開(kāi)環(huán)特性與系統(tǒng)性能之間的關(guān)系，我們所希望得到的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性應(yīng)具有如下的性質(zhì)：如果要求具有一階或二階無(wú)差度，則L(ω)特性低頻段應(yīng)具有-20dB/dec或-40dB/dec的斜率。為保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度，低頻段應(yīng)有較高的分貝值。L(ω)特性應(yīng)以-20