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第二章導數(shù)、微分、邊際與彈性經(jīng)濟數(shù)學——微積分——函數(shù)的微分中央財經(jīng)大學若y=f(x)在點

x0處有(有限)導數(shù),則現(xiàn)在反過來想一想：若在x0點處y=f(x)的增量

y可以表示為一個線性函數(shù)與一個高階無窮小量之和的形式回憶講過的函數(shù)的增量與導數(shù)之間的關系那么,我們自然要問A=?就是說,在點x0處若可用關于自變量的增量

x的線性函數(shù)逼近函數(shù)的增量

y時,其關系式一定是

y=f(x0)x+o(x)我們稱

f(x0)x(或A

x)為函數(shù)在點

x0處增量的線性主部,通常將它記為

dy=f(x0)x(dy=A

x).微分一.函數(shù)的微分將以上的討論歸納一下,

可得出什么結論?1.微分的概念

y=A

x+o(x)此時,稱

f(x)在點

x0處可微

。設y=f(x)在

U(x0)有定義,給

x0以增量

x,且x0+xU(x0)。如果函數(shù)相應的增量可表示為則稱

y的線性主部為f(x)在點

x0處的微分,記為

dy=A

x,其中,

A

叫微分系數(shù)

。2.可微與可導的關系定理

y=f(x0)x+o(x)dy=f(x0)x也就是說

,

f(x)在點

x0處的可微性與可導性是等價的

,且

f(x)在點

x0處可微

,則解什么意思？例1自變量的增量就是自變量的微分：函數(shù)的微分可以寫成:該例說明:此外,當x為自變量時,還可記即函數(shù)f(x)在點

x處的導數(shù)等于函數(shù)的微分dy與自變量的微分dx的商,故導數(shù)也可稱為微商.哈哈！除法,這一下復合函數(shù)、反函數(shù)、參數(shù)方程等的求導公式就好理解了.3.微分的幾何意義yDyd

幾何上,函數(shù)y=f(x)在點x處的微分表示為:相應于自變量x的改變量x,曲線y=f(x)在點

P(x,y)的切線上縱坐標的改變量.微分的運算法則1.微分的基本公式可微

可導

微分的基本公式與導數(shù)的基本公式相似

微分公式一目了然,不必講了.基本初等函數(shù)的導數(shù)(微分)公式：⒃⑴⑵⑶⑷⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾⑿⒀⒁⒂一階微分形式不變性

(復合函數(shù)微分法則)在點x0處可微.按微分的定義但故

說明什么問題？

我們發(fā)現(xiàn)y=f(u),當

u為中間變量時的微分形式與

u為自變量時的微分的形式相同

,均為

dy=f

(u)du,這種性質(zhì)稱為函數(shù)的一階微分形式不變性

.解故例2解例3三.二階微分其二階微分為設函數(shù)y=f(x)二階可導,當x為自變量時,由此看出,當x為自變量時,

除法類似可定義n

階微分:

注意這里x是自變量

四.微分在近似計算中的應用函數(shù)增量的近似值：函數(shù)值的近似值：將半徑為R的球加

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