2Bezier曲線計(jì)算機(jī)圖形學(xué)

2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所1Chapter8

Three-DimensionalObjectRepresentations貝塞爾曲線曲面(BézierCurvesandSurfaces)Bézier曲線和曲面法國(guó)工程師Bézier使用逼近樣條為雷諾汽車(chē)公司設(shè)計(jì)汽車(chē)外形而開(kāi)發(fā)。數(shù)學(xué)基礎(chǔ)簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)

Bézier樣條在各種CAD系統(tǒng)、大多數(shù)圖形系統(tǒng)、相關(guān)繪圖和圖形軟件包中有廣泛應(yīng)用BézierCurves定義控制點(diǎn):

pk=(xk,yk,zk),k=0,1,···n.構(gòu)造P(u)Bk,n(u)是Bernstein(伯恩斯坦)函數(shù):C(n,k)是二項(xiàng)式系數(shù):Prescribed:00=1,0!=1.Bernsteinbasis4Vectorequation2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所5兩點(diǎn)創(chuàng)建1次Bezier曲線n=1,

矩陣方程:P0

到P1直線。2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所6TheTwoFirstDegreeBlendingFunctions1次Bernstein函數(shù)2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所7Whenn=2, Thematrixformis:Thisisaparabola(拋物線)startingatP0andendingatP1.And:3點(diǎn)創(chuàng)建2次Bezier曲線2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所8BlendingFunctions

andtheCurveExamples2次Bernstein函數(shù)2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所93次

BézierCurvesFourpointscanspecifyingacubicBéziercurve.P(t)=B0,3P0+B1,3P1+B2,3

P2+B3,3P3 =(1-t)3P0+3t(1-t)2P1+3t2(1-t)P2+t3P3 (0

t

1)2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所103次BézierCurves矩陣表達(dá)式2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所11 Thatis:代數(shù)形式Asarule,aBézierCurveisapolynomialofdegreeonelessthanthenumberofcontrolpointsused:

twopointsgenerateastraightline,

threepointsgenerateaparabola,

fourpointsacubiccurve,andsoforth.UkUn-k2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所13已知Bezier曲線特征多邊形的頂點(diǎn)P0（1,2）、P1（3,4）、P2（5,6）、P3（7，8），求Bezier曲線的參數(shù)方程P(t)（矩陣表示）；計(jì)算t=0.5，曲線上點(diǎn)P(0.5)

重要試從Bèzier曲線的定義式寫(xiě)出三次Bèzier曲線的矩陣表示。（本題15分，只寫(xiě)出結(jié)果者得2分）UkUn-k2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所14Examplesprog8BezierCurve.exe2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所15BézierCurves的性質(zhì)EndpointInterpolation(端點(diǎn)插值)AffineInvariance(仿射不變性)Convex-hullProperty(凸包性)LinearPrecision(線性)Variation-diminishingProperty(變差縮減性)DerivativesofBézierCurves(導(dǎo)數(shù))掌握2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所16端點(diǎn)插值EndpointInterpolationABézierCurvedosenotgenerallypassthrough,orinterpolate,allofthecontrolpoints,butitalwaysinterpolatesthefirstandthelastpoint.2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所17P0P3P2P1Q0Q3Q1Q2AffineInvariance(仿射不變性)2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所18Convex-hullProperty(凸包性)ABézierCurveneverwandersoutsideitsconvexhull.2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所19LinearPrecision（線性）Ifallofthecontrolpointsareplacedinastraightline,theirconvexhullcollapses(壓縮)toaline.TheBézierCurveistherefore“trapped”insidethishullandsomustalsobeastraightline.2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所20Variation-diminishingProperty

(變差縮減性)2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所21DerivativesofBézierCurves導(dǎo)數(shù)ThefirstderivativeofaBézierCurveisSothevelocity(thefirstderivative)isanotherBézierCurve,builtonanewsetofcontrolvectors

pk.2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所22Whent=0,t=1,onecanevaluatethederivativesatthestartingpointandtheendingpoint:Thus,theslopeatthebeginningofthecurveisalongthelinejoiningthefirsttwocontrolpoints,andtheslopeattheendisalongthelinejoiningthelasttwoendpoints.2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所23因此，曲線在起點(diǎn)處的切線方向是第一第二控制點(diǎn)的連線，長(zhǎng)度是其n倍；曲線在終點(diǎn)處的切線方向是倒數(shù)第二第一控制點(diǎn)的連線，長(zhǎng)度是其n倍。端點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)取決于與其最靠近的三個(gè)控制點(diǎn)，與其他點(diǎn)無(wú)關(guān)。事實(shí)上，r階導(dǎo)矢只與(r+1)個(gè)相鄰點(diǎn)有關(guān)，與更遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)關(guān)。

2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所24使用BézierCurves設(shè)計(jì)

ClosedBéziercurve（封閉）Topassclosertoagivenpoint（靠近曲線）PiecinglowerdegreeBéziercurvesections

（Bezier曲線拼接）2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所25ClosedBéziercurve2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所26ToPassClosertoGivenPoint2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所27Bezier曲線拼接G0:Pn=Q0；(ai=

Pi-

Pi-1

bj=

Qj-

Qj-1)G1:b1=

an

,

thatis,

Pn-1,

Pn=Q0

,

Q1arecollinear.C1:b1=an,thatis,

Pn=Q0andQ1=Pn+(Pn-Pn-1).C2:basedonC1,andQ2=Pn-2+4(Pn-Pn-1).2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所28Chapter8

Three-DimensionalObjectRepresentations貝塞爾曲面(BézierSurfaces)2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所29張量積Bezier曲面定義 Withpj,kspecifyingthelocationofthe(m+1)by(n+1)controlpoints.2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所30MatrixForm2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所31ExampleBézierSurfaceconstructedform=2,n=2.prog8Beziersurf.exe2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所32BézierSurfacesHavetheSame PropertiesasBézierCurves.DoublecubicBéziersurfacepatchanditsboundary10P20P01P11P21P31P02P22P12P32P13P23P00)0,0(PP=30)0,1(PP=03)1,0(PP=33)1,1(PP=)0,(uP)1,(uP),0(vP),1(vP2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所33用OpenGL畫(huà)Bezier曲線Bezier曲線由以下函數(shù)定義：

voidglMap1{fd}(GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintstride,GLintorder,constTYPE*points);GLenumtarget，枚舉型變量，指定控制點(diǎn)維數(shù)：GL_MAP1_VERTEX_3、GL_MAP1_VERTEX_4。TYPEu1、TYPEu2，指定參數(shù)的最小、最大值。constTYPE*points，指向控制點(diǎn)數(shù)組的指針。GLintstride，指出在數(shù)組constTYPE*points中，從一個(gè)控制點(diǎn)到下一個(gè)控制點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（位移量）。GLintorder，控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，即Bezier曲線的階數(shù)，多項(xiàng)式次數(shù)+1。2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所34定義了Bezier曲線后，進(jìn)行計(jì)算之前，需用target的值為參數(shù)調(diào)用glEnable()激活（glDisable()取消）。用以下函數(shù)計(jì)算曲線上的點(diǎn)：

voidglEvalCoord1{fd}{v}(TYPEu);TYPEu的取值在TYPEu1、TYPEu2之內(nèi)。該函數(shù)會(huì)將參數(shù)規(guī)范化。例子：源代碼運(yùn)行2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所35定義并激活貝塞爾曲線后，亦可用定義網(wǎng)格（Grid，均勻間隔坐標(biāo)）的方式在參數(shù)區(qū)間均勻取值計(jì)算曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)。定義一維網(wǎng)格：

voidglMapGrid1{fd}(GLintn,TYPEu1,TYPEu2);GLintn，參數(shù)的均勻分割數(shù)。一維求值并繪制曲線：

voidglEvalMesh1(GLenummode,GLintp1,GLintp2);GLenummode，取值GL_POINT或GL_LINE，畫(huà)點(diǎn)或劃線。GLintp1、GLintp2，參數(shù)的對(duì)應(yīng)范圍。2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所36用OpenGL畫(huà)Bezier曲面Bezier曲面由以下函數(shù)定義：

voidglMap2{fd}(GLenumtarget,TYPEu1,TYPEu2,GLintustride,GLintuorder,TYPEv1,TYPEv2,GLintvstride,GLintvorder,TYPE*points);GLenumtarget，枚舉型變量，指定控制點(diǎn)維數(shù)：GL_MAP1_VERTEX_3、GL_MAP1_VERTEX_4。TYPEu1、TYPEu2，TYPEv1、TYPEv2指定參數(shù)u和v的最小、最大值。constTYPE*points，指向控制點(diǎn)數(shù)組的指針。GLintustride、GLintvstride，分別指出在數(shù)組constTYPE*points中，從一個(gè)控制點(diǎn)到下一個(gè)控制點(diǎn)之間的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)（位移量）。GLintuorder、GLintvorder，分別指出兩個(gè)方向的控制點(diǎn)個(gè)數(shù)，即其各自的階數(shù)，多項(xiàng)式次數(shù)+1。2023/9/2交通運(yùn)輸學(xué)院CAD/CAM研究所37定義了Bezier曲面后，進(jìn)行計(jì)算之前，需用target的值為參數(shù)調(diào)用glEnable()激活（glDisable()取消）。用以下函數(shù)計(jì)算曲面上的點(diǎn)：

voidglEvalCoord2{fd}{v}(TYPEu,TYPEv);TYPEu、TYPEv的取值分別在TYPEu1、TYPEu2和TYPEv1,TYPEv2之內(nèi)。該函數(shù)會(huì)將參數(shù)規(guī)范化。例子：源代碼運(yùn)行20