數(shù)學(xué)專業(yè)英語(吳炯圻-第2版)2-3

NewWords&Expressions:brace大括號(hào)roster名冊consequence結(jié)論，推論rosternotation枚舉法designate標(biāo)記，指定ruleout排除，否決diagram圖形，圖解subset子集distinct互不相同的theunderlyingset基礎(chǔ)集distinguish區(qū)別，辨別universalset全集divisible可被除盡的validity有效性dummy啞的，啞變量visual可視的eveninteger偶數(shù)visualize可視化irrelevant無關(guān)緊要的voidset(emptyset)空集2.3集合論的基本概念BasicConceptsoftheTheoryofSetsTheconceptofasethasbeenutilizedsoextensivelythroughoutmodernmathematicsthatanunderstandingofitisnecessaryforallcollegestudents.Setsareameansbywhichmathematicianstalkofcollectionsofthingsinanabstractway.

3－ANotationsfordenotingsets集合論的概念已經(jīng)被廣泛使用，遍及現(xiàn)代數(shù)學(xué)，因此對(duì)大學(xué)生來說，理解它的概念是必要的。集合是數(shù)學(xué)家們用抽象的方式來表述一些事物的集體的工具。Setsusuallyaredenotedbycapitalletters;elementsaredesignatedbylower-caseletters.集合通常用大寫字母表示，元素用小寫字母表示。Weusethespecialnotationtomeanthat“xisanelementofS”or“xbelongstoS”.IfxdoesnotbelongtoS,wewrite.我們用專用記號(hào)來表示x是S的元素或者x屬于S。如果x不屬于S，我們記為。Whenconvenient,weshalldesignatesetsbydisplayingtheelementsinbraces;forexample,thesetofpositiveevenintegerslessthan10isdisplayedas{2,4,6,8}whereasthesetofallpositiveevenintegersisdisplayedas{2,4,6,…},thethreedotstakingtheplaceof“andsoon.”如果方便，我們可以用在大括號(hào)中列出元素的方式來表示集合。例如，小于10的正偶數(shù)的集合表示為{2,4,6,8}，而所有正偶數(shù)的集合表示為{2,4,6,…},三個(gè)圓點(diǎn)表示

“等等”。Thedotsareusedonlywhenthemeaningof“andsoon”isclear.Themethodoflistingthemembersofasetwithinbracesissometimesreferredtoastherosternotation.只有當(dāng)省略的內(nèi)容清楚時(shí)才能使用圓點(diǎn)。在大括號(hào)中列出集合元素的方法有時(shí)被歸結(jié)為枚舉法。

Thefirstbasicconceptthatrelatesonesettoanotherisequalityofsets:聯(lián)系一個(gè)集合與另一個(gè)集合的第一個(gè)基本概念是集合相等。

DEFINITIONOFSETEQUALITYTwosetsAandBaresaidtobeequal(oridentical)iftheyconsistofexactlythesameelements,inwhichcasewewriteA=B.Ifoneofthesetscontainsanelementnotintheother,wesaythesetsunequalandwewriteA≠B.集合相等的定義如果兩個(gè)集合A和B確切包含同樣的元素,則稱二者相等，此時(shí)記為A=B。如果一個(gè)集合包含了另一個(gè)集合以外的元素，則稱二者不等，記為A≠B。EXAMPLE1.Accordingtothisdefinition,thetwosets{2,4,6,8}and{2,8,6,4}areequalsincetheybothconsistofthefourintegers2,4,6and8.Thus,whenweusetherosternotationtodescribeaset,theorderinwhichtheelementsappearisirrelevant.根據(jù)這個(gè)定義，兩個(gè)集合{2,4,6,8}和{2,8,6,4}是相等的，因?yàn)樗麄兌及怂膫€(gè)整數(shù)2,4,6,8。因此，當(dāng)我們用枚舉法來描述集合的時(shí)候，元素出現(xiàn)的次序是無關(guān)緊要的。EXAMPLE2.Thesets{2,4,6,8}and{2,2,4,4,6,8}areequaleventhough,inthesecondset,eachoftheelements2and4islistedtwice.Bothsetscontainthefourelements2,4,6,8andnoothers;therefore,thedefinitionrequiresthatwecallthesesetsequal.例2.集合{2,4,6,8}和{2,2,4,4,6,8}也是相等的，雖然在第二個(gè)集合中，2和4都出現(xiàn)兩次。兩個(gè)集合都包含了四個(gè)元素2,4,6,8，沒有其他元素，因此，依據(jù)定義這兩個(gè)集合相等。Thisexampleshowsthatwedonotinsistthattheobjectslistedintherosternotationbedistinct.AsimilarexampleisthesetoflettersinthewordMississippi,whichisequaltotheset{M,i,s,p},consistingofthefourdistinctlettersM,i,s,andp.這個(gè)例子表明我們沒有強(qiáng)調(diào)在枚舉法中所列出的元素要互不相同。一個(gè)相似的例子是，在單詞Mississippi中字母的集合等價(jià)于集合{M,i,s,p},

其中包含了四個(gè)互不相同的字母M,i,s,和p.FromagivensetSwemayformnewsets,calledsubsetsofS.Forexample,thesetconsistingofthosepositiveintegerslessthan10whicharedivisibleby4(theset{4,8})isasubsetofthesetofallevenintegerslessthan10.Ingeneral,wehavethefollowingdefinition.3－BSubsets一個(gè)給定的集合S可以產(chǎn)生新的集合，這些集合叫做S的子集。例如，由可被4除盡的并且小于10的正整數(shù)所組成的集合是小于10的所有偶數(shù)所組成集合的子集。一般來說，我們有如下定義。Inallourapplicationsofsettheory,wehaveafixedsetSgiveninadvance,andweareconcernedonlywithsubsetsofthisgivenset.Theunderlyingset