高三數(shù)學(xué)直線交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

一、兩條直線的交點(diǎn)

設(shè)兩條直線的方程是l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,兩

條直線的

就是方程組的解，若方程組有唯一解，則兩條直線

，此解就

是

;若方程組

，則兩條直線無公共點(diǎn)，

此時(shí)兩條直線

；反之，亦成立.交點(diǎn)坐標(biāo)相交交點(diǎn)坐標(biāo)無解平行二、幾種距離1．兩點(diǎn)間的距離平面上的兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式

|P1P2|＝

.原點(diǎn)O(0,0)與任一點(diǎn)P(x，y)的距離|OP|＝

.2．點(diǎn)到直線的距離點(diǎn)P0(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離

d＝

.3．兩條平行線間的距離

兩條平行線Ax＋By＋C1＝0與Ax＋By＋C2＝0間的距離

d＝

.使用點(diǎn)到直線的距離公式和兩條平行線間的距離公式時(shí)應(yīng)注意什么？提示：（1）直線方程必須化成一般式Ax+By+C=0的形式.（2）兩平行線間的距離公式使用時(shí)還要注意x、y的系數(shù)必須相同時(shí)才能讀出C1、C2的值.答案：C1．已知點(diǎn)(a,2)(a＞0)到直線l：x－y＋3＝0的距離為1，則a

等于(

)A.

B．2－

C.－1D.＋1解析：由＝1且a＞0∴a＝－1.2．若三條直線y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同

一點(diǎn)，則點(diǎn)(m，n)可能是(

)A．(1，－3)

B．(3，－1)C．(－3,1)D．(－1,3)解析：由得∴m＋2n＋5＝0，∴點(diǎn)(m，n)可能是(1，－3)．答案：A3．兩直線x－y－2＝0與2x－2y＋3＝0的距離為(

)解析：d＝答案：B4．與A(1,1)，B(2,2)距離等于的直線的條數(shù)為_____條．解析：共有3條：其中兩條與A、B所在的直線平行，一條過A、B的中點(diǎn)與A、B所在的直線垂直．答案：35．若直線ax＋2y－6＝0與x＋(a－1)y－(a2－1)＝0平行，

則它們之間的距離等于________．解析：因?yàn)閮芍本€平行，所以有a(a－1)＝2，即a2－a－2＝0，解得a＝2或－1，但當(dāng)a＝2時(shí)，兩直線重合，不合題意，故只有a＝－1，此時(shí)兩直線方程分別為x－2y＋6＝0和x－2y＝0，它們之間的距離答案：求與已知兩直線的交點(diǎn)有關(guān)問題，可有以下兩種解法：(1)先求出兩直線交點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線，然后

再依其他條件求解．(2)運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y

＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過l1與l2交點(diǎn)的

直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定

常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解．一條直線過點(diǎn)P(1,2)且被兩條平行直線4x＋3y＋1＝0和4x＋3y＋6＝0截取的線段長為，求這條直線的方程．

確定一條直線需兩個(gè)獨(dú)立條件，本題中已知直線l過點(diǎn)P（1，2），故只需再求出直線的斜率即可.【解】

(1)當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線方程為x＝1，與兩直線交點(diǎn)∴|AB|=∴x＝1不是所求直線．(2)當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則所求直線的方程為y－2＝k(x－1)，它與兩已知直線分別聯(lián)立方程組，求出它與兩已知直線的交點(diǎn)坐標(biāo)分別是得k＝7或k＝－.故所求直線的方程為x＋7y－15＝0或7x－y－5＝0.1．求經(jīng)過直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交

點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程．解：法一：先解方程組得l1、l2的交點(diǎn)(－1,2)，再由l3的斜率求出l的斜率為－，于是由直線的點(diǎn)斜式方程求出l：y－2＝－(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.法二：∵l⊥l3，故l是直線系5x＋3y＋C＝0中的一條，而l過l1、l2的交點(diǎn)(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1，故l的方程為5x＋3y－1＝0.法三：∵l過l1、l2的交點(diǎn)，故l是直線系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中的一條，將其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0，其斜率解得λ＝，代入直線系方程即得l的方程為5x＋3y－1＝0.

1．點(diǎn)到直線的距離公式和兩平行線間的距離公式是常用的

公式，應(yīng)熟練掌握．2．點(diǎn)到幾種特殊直線的距離(1)點(diǎn)P(x0，y0)到x軸的距離d＝|y0|.(2)點(diǎn)P(x0，y0)到y(tǒng)軸的距離d＝|x0|.(3)點(diǎn)P(x0，y0)到與x軸平行的直線y＝a的距離d＝|y0－a|.(4)點(diǎn)P(x0，y0)到與y軸平行的直線x＝b的距離d＝|x0－b|.已知點(diǎn)P(2，－1)．(1)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離為2的直線l的方程；(2)求過P點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？

設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求系數(shù)即可.【解】

(1)①當(dāng)l的斜率k不存在時(shí)顯然成立，∴l(xiāng)的方程為x＝2；②當(dāng)l的斜率k存在時(shí)，設(shè)l：y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.由點(diǎn)到直線距離公式得∴k＝∴l(xiāng)：3x－4y－10＝0.故所求l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0.(2)作圖可得過P點(diǎn)與原點(diǎn)O距離最大的直線是過P點(diǎn)且與PO垂直的直線，由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝由直線方程的點(diǎn)斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0.即直線2x－y－5＝0是過P點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最大的直線，最大距離為2．設(shè)兩條直線的方程分別為x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已

知a、b是方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根，且0≤c≤，求

這兩條直線之間的距離的最大值和最小值．解：∵a、b是方程x2＋x＋c＝0的兩個(gè)實(shí)根．∴a＋b＝－1，ab＝c.∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝1－4c.又∵兩直線間的距離∴兩直線間的最大值為，最小值為1．中心對(duì)稱(1)若點(diǎn)M(x1，y1)及N(x，y)關(guān)于P(a，b)對(duì)稱，則由中點(diǎn)坐

標(biāo)公式得(2)直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，其主要方法是：在已知直線上取兩

點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)

坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程，或者求出一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，

再利用l1∥l2，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．2．軸對(duì)稱(1)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱若兩點(diǎn)P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關(guān)于直線l：Ax＋By＋C＝0

對(duì)稱，則線段P1P2的中點(diǎn)在對(duì)稱軸l上，而且連接P1P2的

直線垂直于對(duì)稱軸l，由方程組

可得到點(diǎn)P1關(guān)于l對(duì)稱的點(diǎn)P2的坐標(biāo)(x2，y2)(其中B≠0，

x1≠x2)．(2)直線關(guān)于直線的對(duì)稱此類問題一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)來解決，若已知

直線l1與對(duì)稱軸l相交，則交點(diǎn)必在與l1對(duì)稱的直線l2上，

然后再求出l1上任一個(gè)已知點(diǎn)P1關(guān)于對(duì)稱軸l對(duì)稱的點(diǎn)P2，

那么經(jīng)過交點(diǎn)及點(diǎn)P2的直線就是l2；若已知直線l1與對(duì)稱

軸l平行，則與l1對(duì)稱的直線和l1到直線l的距離相等，由

平行直線系和兩條平行線間的距離，即可求出l1的對(duì)稱

直線．已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A(－1，－2)，求：(1)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；(2)直線m：3x－2y－6＝0關(guān)于直線l的對(duì)稱直線m′的方程．

（1）直線l為線段AA′的垂直平分線，利用垂直

關(guān)系，中點(diǎn)坐標(biāo)公式解方程組求出A′點(diǎn)坐標(biāo)；（2）轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱.【解】

(1)設(shè)A′(x，y)，再由已知解得∴A′(2)在直線m上取一點(diǎn)如M(2,0)，則M(2,0)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)必在m′上，設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為M′(a，b)則∴M′設(shè)m與l的交點(diǎn)為N，由得N(4,3)．又∵m′經(jīng)過點(diǎn)N(4,3)，∴方程為9x－46y＋102＝0.3．在本例條件下，求直線l關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)對(duì)稱的直線

l′的方程．解：設(shè)P(x，y)為l′上任一點(diǎn)．則P(x，y)關(guān)于點(diǎn)A(－1，－2)的對(duì)稱點(diǎn)為P′(－2－x，－4－y)，∵P′在直線l上，∴2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.