2024-2025學年北京市東城區(qū)高三上學期10月月考數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年北京市東城區(qū)高三上學期10月月考數(shù)學檢測試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知集合，，則（）A B. C. D.2.已知，，則第幾象限角（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角3.設，且，則（）A B. C. D.4.若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前項和等于（）A. B. C. D.5.下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A. B. C. D.6.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增且存在零點的是（）A. B.C. D.7.大運河文化帶、長城文化帶和西山永定河文化帶作為北京歷史文化名城保護體系的重要內容，高度凝練了北京舊城以外的文化遺產，對于建設北京全國文化中心、滿足人民對美好生活的需要，起到關鍵的支撐作用．為了把握好三個文化帶的文化精髓，做好保護與傳承，某課外研究小組決定從三個文化帶中隨機選取兩個文化帶進行研究，那么所選的兩個文化帶中包含大運河文化帶的概率是（）A. B. C. D.8.已知函數(shù)的圖象與直線的公共點不少于兩個，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.9.已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件10.已知函數(shù)，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）11.復數(shù)，則__________________.12.曲線在點處的切線方程為________．13.緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位找到飛機的特有裝置．根據(jù)某機構對失事飛機的調查得知：失蹤飛機中有后來被找到，在被找到的飛機中，有安裝有緊急定位傳送器；而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器．則在失蹤飛機中，裝有緊急定位傳送器飛機的比例為______（填寫百分數(shù)），現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為______．14.若函數(shù)有零點，則k的取值范圍為________．15.數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為R；②數(shù)列與函數(shù)均單調遞增；③使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調偶遇關系”．有下面四個結論：（1）與具有“單調偶遇關系”（2）與不具有“單調偶遇關系”（3）與數(shù)列具有“單調偶遇關系的函數(shù)有有限個（4）與數(shù)列具有“單調偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)個其中正確結論的序號為__________．三、解答題（共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）16.已知函數(shù).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設，，求函數(shù)的最小值與單調遞減區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.17.設函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）當時，判斷的單調性．18.如圖，在三棱柱中，平面，（1）求證：平面；（2）若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.19.2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和．某校環(huán)保社團為了解本校學生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機抽取了200名學生進行調查，樣本調查結果如下表：

高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834假設每位學生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨立，用頻率估計概率.（1）從該校學生中隨機抽取一人，估計該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（2）從全校高中部和初中部所有學生中各隨機抽取2名學生，求這4名學生中恰有2人清楚垃圾分類后處理方式的概率；（3）從樣本中隨機抽取1名男生和1名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式；用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式．直接寫出方差和的大小關系.（結論不要求證明）20.設函數(shù)，.曲線在點處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個實根；（3）對任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.21.對任意正整數(shù)，記集合均為非負整數(shù)，且，集合均為非負整數(shù)，且．設，，若對任意都有，則記．（1）寫出集合和；（2）證明：對任意，存在，使得；（3）設集合求證：中元素個數(shù)是完全平方數(shù)．2024-2025學年北京市東城區(qū)高三上學期10月月考數(shù)學檢測試卷一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】先解一元二次不等式求出集合,再根據(jù)真子集定義判斷即可.【詳解】因為，，所以故選：B.2.已知，，則為第幾象限角（）A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角【正確答案】C【分析】利用誘導公式化簡即可根據(jù)象限角的性質求解.【詳解】由，可得，，故為第三象限角，故選：C3.設，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】對于A、D：取特殊值判斷；對于B：利用不等式的可加性判斷；對于C：利用冪函數(shù)的單調性即可判斷.【詳解】A選項，取時，不等式不成立；B選項，不等式兩邊加上同一個數(shù)，不等號方向不發(fā)生改變，故錯誤；C選項，根據(jù)冪函數(shù)在R上為增函數(shù)知，故正確；D選項，取，不等式不成立，故錯誤.故選:C.4.若數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的前項和等于（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由等比數(shù)列定義和通項公式可得，然后由前n項和公式可得.【詳解】因為，且，所以數(shù)列是以2為公比的等比數(shù)列，又，得，所以.故選：C5.下列函數(shù)中，最小正周期為的是（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】利用三角函數(shù)周期公式依次判斷選項即可得到答案.【詳解】對選項A，由于函數(shù)不是周期函數(shù)，故排除A；對選項B，由于函數(shù)，周期為，故排除B；對選項C，由于函數(shù)的周期為，故排除C；對選項D，由于函數(shù)的周期為，故D正確.故選：D6.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增且存在零點的是（）A. B.C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點為方程的根，結合解析式判斷函數(shù)的單調性，即可得答案；【詳解】對A，方程無解，不存在零點，故A錯誤；對B，無解，不存在零點，故B錯誤；對D，在單調遞減，在單調遞增，在(0,+∞)不具有單調性，故D錯誤；故選：C.本題考查通過函數(shù)的解析式研究函數(shù)的零點和單調性，考查轉化與化歸思想，屬于基礎題.7.大運河文化帶、長城文化帶和西山永定河文化帶作為北京歷史文化名城保護體系的重要內容，高度凝練了北京舊城以外的文化遺產，對于建設北京全國文化中心、滿足人民對美好生活的需要，起到關鍵的支撐作用．為了把握好三個文化帶的文化精髓，做好保護與傳承，某課外研究小組決定從三個文化帶中隨機選取兩個文化帶進行研究，那么所選的兩個文化帶中包含大運河文化帶的概率是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設大運河文化帶、長城文化帶和西山永定河文化帶分別為，列出隨機試驗的樣本空間，列出隨機事件的樣本點，利用古典概型概率公式求結論.【詳解】設大運河文化帶、長城文化帶和西山永定河文化帶分別為，則隨機試驗從三個文化帶中隨機選取兩個文化帶的樣本空間為，隨機事件所選的兩個文化帶中包含大運河文化帶包含樣本點，所以隨機試驗所選的兩個文化帶中包含大運河文化帶的概率.故選：C.8.已知函數(shù)的圖象與直線的公共點不少于兩個，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】對分類討論，結合函數(shù)圖象，即可求解.詳解】解：，①當時，其圖象如圖1函數(shù)的圖象與直線的公共點只有1個，不符合題意．②當時，其圖象如如圖2函數(shù)的圖象與直線的公共點不少于兩個時，，解得；③當時，其圖象如如圖3，結合圖象，不符合題意．綜上所述：實數(shù)的取值范圍是：．故選：B9.已知等差數(shù)列的前項和為，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】C【分析】利用等差數(shù)列通項和求和公式可推導得到充分性成立；將代入，可得，進而得到必要性成立，從而得到結論.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由得：，，，，即，充分性成立；由得：，，即，，即，必要性成立；“”是“”的充分必要條件.故選：C.10.已知函數(shù)，若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由條件可得在上的取值范圍要包含上的取值范圍，分別求函數(shù)在，上的取值范圍，列不等式可求結論.【詳解】若，，使成立，則在上的取值范圍要包含上的取值范圍，當時，，，當時，，，當時，，不合題意，當時，，函數(shù)在單調遞增，則時，，符合題意，當，若時，，函數(shù)在單調遞減，若時，，函數(shù)在上單調遞增，當時，函數(shù)取最小值，最小值為，，所以，解得，所以，綜上的范圍是.故選：A.關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于將條件，，使成立，轉化為在上的取值范圍要包含上的取值范圍.二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分.）11.復數(shù)，則__________________.【正確答案】【分析】利用復數(shù)的除法法則化簡復數(shù)，利用復數(shù)的模長公式可求得結果.【詳解】，因此，.故答案為.12.曲線在點處的切線方程為________．【正確答案】【分析】本題首先可以求出曲線的導函數(shù)，然后將帶入曲線中計算出縱坐標，再然后將帶入曲線的導函數(shù)中求出曲線在這一點處的切線斜率，最后根據(jù)點斜式方程即可得出結果．【詳解】因為曲線，所以將帶入曲線中可得，帶入導函數(shù)中可得，所以曲線在點處的切線方程為，即．本題考查了曲線的某一點處的切線方程的求法，首先可以根據(jù)曲線方程計算出切點坐標，然后根據(jù)曲線的導函數(shù)計算出切線斜率，最后根據(jù)點斜式方程即可得出切線方程，考查計算能力，考查對導數(shù)的理解，是簡單題．13.緊急定位傳送器是在飛機失事墜毀時發(fā)送信號，讓搜救人員可以定位找到飛機的特有裝置．根據(jù)某機構對失事飛機的調查得知：失蹤飛機中有后來被找到，在被找到的飛機中，有安裝有緊急定位傳送器；而未被找到的失蹤飛機中，有90%未安裝緊急定位傳送器．則在失蹤飛機中，裝有緊急定位傳送器飛機的比例為______（填寫百分數(shù)），現(xiàn)有一架安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，則它被找到的概率為______．【正確答案】①.②.【分析】空1：根據(jù)全概率公式即可得到答案；空2：設事件，再利用條件概率即可得到答案.【詳解】根據(jù)全概率公式得裝有緊急定位傳送器飛機的比例為：；設事件“失蹤的飛機后來被找到”，事件“失蹤的飛機后來未被找到”，事件“安裝有緊急定位傳送器”，則，，，，安裝有緊急定位傳送器的飛機失蹤，它被找到的概率為：，故；．14.若函數(shù)有零點，則k的取值范圍為________．【正確答案】或【分析】當時，可得1，故不是函數(shù)的零點，當時，有零點，即有解，故k的取值范圍為函數(shù)的值域，求導，判斷單調性并求出極小值，即可得k的取值范圍．【詳解】當時，可得1，故不是函數(shù)的零點，當時，由函數(shù)有零點可得有解即，故k的取值范圍為函數(shù)的值域，∵，令可得，故函數(shù)在上單調遞減，上單調遞增，且當時，函數(shù)值，當時，為函數(shù)的最小值且，故，綜上可得的取值范圍為或，故k的取值范圍為：或.本題考查利用導數(shù)求解函數(shù)極值（最值）問題，解決此類問題的方法是將函數(shù)問題轉化為方程問題，再利用數(shù)形結合的思想來解決，屬中檔題．15.數(shù)列的前n項和為，若數(shù)列與函數(shù)滿足：①的定義域為R；②數(shù)列與函數(shù)均單調遞增；③使成立，則稱數(shù)列與函數(shù)具有“單調偶遇關系”．有下面四個結論：（1）與具有“單調偶遇關系”（2）與不具有“單調偶遇關系”（3）與數(shù)列具有“單調偶遇關系的函數(shù)有有限個（4）與數(shù)列具有“單調偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)個其中正確結論的序號為__________．【正確答案】（1）（4）【分析】根據(jù)“單調偶遇關系”的新定義可判斷選項（1），（2）；以一次函數(shù)為例，可判斷（3）；令，通過計算可判斷（4），進而可得正確選項.【詳解】對于（1）：數(shù)列中，由可知任意兩項不相等，定義域為滿足①，數(shù)列和均單調遞增滿足②，的前項和，由得，解得，所以使成立，滿足③，故（1）正確；對于（2）：數(shù)列中，由可知任意兩項不相等，定義域為滿足①，數(shù)列和均單調遞增滿足②，的前項和，由得恒成立，所以使成立滿足③，故與具有“單調偶遇關系”，故（2）說法不正確；對于（3）：以一次函數(shù)為例，，，，即整理得，只要方程有正整數(shù)解且即可，如方程中取，則有，即，對進行不同的取值即可保證數(shù)列具有“單調偶遇關系”的函數(shù)有無數(shù)組，故（3）說法不正確；對于（4）：中，令．由得，取即可保證恒成立，故選項（4）正確，故（1）（4）．三、解答題（共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.）16.已知函數(shù).從下列四個條件中選擇兩個作為已知，使函數(shù)存在且唯一確定.（1）求的解析式；（2）設，，求函數(shù)的最小值與單調遞減區(qū)間.條件①：；條件②：為偶函數(shù)；條件③：的最大值為1；條件④：圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（1）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分.【正確答案】（1）條件選擇見解析，（2），單調遞減區(qū)間為【分析】（1）由二倍角易得，函數(shù)為奇函數(shù)，故②不能選，若①和③同時選，不滿足函數(shù)存在且唯一；選擇條件①④，由相鄰兩條對稱軸之間的距離可得周期，即得的值，由代入即可得的值；選擇條件③④，由最大值得的值，進而得解析式.（2）通過公式化簡可得，由，計算出的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可得最值與單調性.【小問1詳解】為奇函數(shù)，故②不能選，選擇條件①③：因為函數(shù)的最大值為1，所以，即，因為，所以，的值不唯一，故不能選.選擇條件①④：因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因為，所以，即，所以.選擇條件③④：因為函數(shù)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為，所以，即，所以，因為函數(shù)的最大值為1，所以，即，所以.【小問2詳解】，因為，所以，當，即時，，因為在上單調遞減，所以，所以，所以函數(shù)在上的單調遞減區(qū)間為.17.設函數(shù)．（1）當時，求的極值；（2）當時，判斷的單調性．【正確答案】（1）極小值為，無極大值（2）答案見解析【分析】（1）對求導，將代入，結合導數(shù)正負求解原函數(shù)的極值即可；（2）結合，和二次函數(shù)性質判斷導數(shù)正負，再判斷單調性即可【小問1詳解】由已知，的定義域為，，當時，令，得，又，所以．當時，；當時，．因此，當時，有極小值，極小值為，無極大值．【小問2詳解】由已知，的定義域為，，令，則在上遞減，在上遞增，因此，有最小值．①當時，，則，此時，函數(shù)在上單調遞增；②當時，令，可解得，或此時，函數(shù)在和上單調遞增；上單調遞減．綜上：時，在上單調遞增；時，在和上單調遞增；上單調遞減.18.如圖，在三棱柱中，平面，（1）求證：平面；（2）若，求①與平面所成角的正弦值；②直線與平面的距離.【正確答案】（1）證明見解析；（2）①；②.【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，主要證明即可；（2）建立坐標系，先求出平面的法向量，利用空間向量解決.【小問1詳解】在三棱柱中，四邊形為平行四邊形.所以，因為平面，平面，所以平面.【小問2詳解】因為平面，平面，所以，，又，所以兩兩互相垂直.如圖建立空間直角坐標系，則，所以，，，設平面的法向量為，則，即令，則，，于是.①設直線與平面所成的角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.②因為面，所以直線與平面的距離就是點到平面的距離設A到面的距離為，則19.2020年9月22日，中國政府在第七十五屆聯(lián)合國大會上提出：“中國將提高國家自主貢獻力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭于2030年前達到峰值，努力爭取2060年前實現(xiàn)碳中和．”做好垃圾分類和回收工作可以有效地減少處理廢棄物造成的二氧化碳、甲烷等溫室氣體的排放，助力碳中和．某校環(huán)保社團為了解本校學生是否清楚垃圾分類后的處理方式，隨機抽取了200名學生進行調查，樣本調查結果如下表：

高中部初中部男生女生男生女生清楚1282424不清楚28323834假設每位學生是否清楚垃圾分類后的處理方式相互獨立，用頻率估計概率.（1）從該校學生中隨機抽取一人，估計該學生清楚垃圾分類后處理方式的概率；（2）從全校高中部和初中部所有學生中各隨機抽取2名學生，求這4名學生中恰有2人清楚垃圾分類后處理方式的概率；（3）從樣本中隨機抽取1名男生和1名女生，用“”表示該男生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該男生不清楚垃圾分類后的處理方式；用“”表示該女生清楚垃圾分類后的處理方式，用“”表示該女生不清楚垃圾分類后的處理方式．直接寫出方差和的大小關系.（結論不要求證明）【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）依題意根據(jù)古典概型計算公式可得結果；（2）利用二項分布以及概率的加法公式計算即可得出結果；（3）分別計算出所有取值對應的概率，再利用兩點分布即可得出.【小問1詳解】由題意可知，參與調查的學生由200人，其中清楚垃圾分類后處理方式的學生有：人，設事件A：學生清楚垃圾分類后處理方式，則.小問2詳解】從樣本高中部學生中隨機抽取1名學生，清楚垃圾分類后處理方式的概率為，從樣本初中部學生中隨機抽取1名學生，清楚垃圾分類后處理方式的概率為：，設事件B：這4名學生中恰有2人清楚垃圾分類后處理方式，則；【小問3詳解】根據(jù)題意可知隨機抽取1名男生清楚垃圾分類后處理方式的概率為，隨機抽取1名女生清楚垃圾分類后處理方式的概率為，因此可得，，同理可得，，由兩點分布公式計算可得；可得.20.設函數(shù)，.曲線在點處的切線方程為.（1）求a的值；（2）求證：方程僅有一個實根；（3）對任意，有，求正數(shù)k的取值范圍.【正確答案】（1）；（2）證明見解析；（3）.【分析】（1）根據(jù)切點在曲線和切線上可得；（2）分，，，利用