用樣本的頻率分布估計總體分布

用樣本的頻率分布估計總體分布教學(xué)目標(biāo)：（1）通過實例體會分布的意義和作用。（2）在表示樣本數(shù)據(jù)的過程中，學(xué)會列頻率分布表，畫頻率分布直方圖、頻率折線圖和莖葉圖。（3）通過實例體會頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖的各自特征，從而恰當(dāng)?shù)剡x擇上述方法分析樣本的分布，準(zhǔn)確地做出總體估計?！緞?chuàng)設(shè)情境】在NBA的2004賽季中，甲、乙兩名籃球運(yùn)動員每場比賽得分的原始記錄如下：甲運(yùn)動員得分：12,15,20,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50乙運(yùn)動員得分：8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33請問從上面的數(shù)據(jù)中你能否看出甲,乙兩名運(yùn)動員哪一位發(fā)揮比較穩(wěn)定？如何根據(jù)這些數(shù)據(jù)作出正確的判斷呢？這就是我們這堂課要研究、學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容——用樣本的頻率分布估計總體分布?！咎骄啃轮俊继骄俊絇55我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家之一,城市缺水問題較為突出,某市政府為了節(jié)約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a,用水量不超過a的部分按平價收費(fèi)，超出a的部分按議價收費(fèi)。如果希望大部分居民的日常生活不受影響,那么標(biāo)準(zhǔn)a定為多少比較合理呢？你認(rèn)為,為了了較為合理地確定出這個標(biāo)準(zhǔn),需要做哪些工作？（讓學(xué)生展開討論）為了制定一個較為合理的標(biāo)準(zhǔn)a,必須先了解全市居民日常用水量的分布情況，比如月均用水量在哪個范圍的居民最多,他們占全市居民的百分比情況等。因此采用抽樣調(diào)查的方式,通過分析樣本數(shù)據(jù)來估計全市居民用水量的分布情況。（如課本P）56分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖將它們畫出來,或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式,作圖可以達(dá)到兩個目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息,二是利用圖形傳遞信息。表格則是通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式。下面我們學(xué)習(xí)的頻率分布表和頻率分布圖,則是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度,來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律?？梢宰屛覀兏宄目吹秸麄€樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況?！匆弧殿l率分布的概念：頻率分布是指一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小。一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布。其一般步驟為：（1） 計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差,即求極差（2）決定組距與組數(shù)（3） 將數(shù)據(jù)分組（1+3.3lgn）（4）列頻率分布表（5）畫頻率分布直方圖以課本P制定居民用水標(biāo)準(zhǔn)問題為例,經(jīng)過以上幾個步驟畫出頻率分布直方圖。56頻率分布直方圖的特征：從頻率分布直方圖可以清楚的看出數(shù)據(jù)分布的總體趨勢；從頻率分布直方圖得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)表示成直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了?！继骄俊剑和瑯右唤M數(shù)據(jù),如果組距不同,橫軸、縱軸的單位不同,得到的圖和形狀也會不同。不同的形狀給人以不同的印象,這種印象有時會影響我們對總體的判斷,分別以0.1和1為組距重新作圖,然后談?wù)勀銓D的印象？接下來請同學(xué)們思考下面這個問題：〖思考〗：如果當(dāng)?shù)卣Ｍ?5%以上的居民每月的用水量不超出標(biāo)準(zhǔn),根據(jù)頻率分布表2-2和頻率分布直方圖2.2-1,（見課本P7）你能對制定月用水量標(biāo)準(zhǔn)提出建議嗎？〈二〉頻率分布折線圖、總體密度曲線1．頻率分布折線圖的定義：連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖。2．總體密度曲線的定義：在樣本頻率分布直方圖中，相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線。它能夠精確地反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比，它能給我們提供更加精細(xì)的信息。〖思考〗：對于任何一個總體，它的密度曲線是不是一定存在？為什么？2?對于任何一個總體，它的密度曲線是否可以被非常準(zhǔn)確地畫出來？為什么？實際上，盡管有些總體密度曲線是客觀存在的，但一般很難想函數(shù)圖象那樣準(zhǔn)確地畫出來，我們只能用樣本的頻率分布對它進(jìn)行估計，一般來說，樣本容量越大，這種估計就越精確.〈三〉莖葉圖莖葉圖的概念：當(dāng)數(shù)據(jù)是兩位有效數(shù)字時，用中間的數(shù)字表示十位數(shù)，即第一個有效數(shù)字，兩邊的數(shù)字表示個位數(shù)，即第二個有效數(shù)字，它的中間部分像植物的莖，兩邊部分像植物莖上長出來的葉子，因此通常把這樣的圖叫做莖葉圖。（見課本P例子）61莖葉圖的特征：（1） 用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個優(yōu)點：一是從統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失，所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到；二是莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄，隨時添加，方便記錄與表示。（2） 莖葉圖只便于表示兩位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)，而且莖葉圖只方便記錄兩組的數(shù)據(jù)，兩個以上的數(shù)據(jù)雖然能夠記錄，但是沒有表示兩個記錄那么直觀，清晰?！纠}精析】〖例1〗：下表給出了某校500名12歲男孩中用隨機(jī)抽樣得出的120人的身高（單位cm）區(qū)間界限[122,126)[126,130)[130,134)[134,138)[138,142)[142,146)人數(shù)5810223320區(qū)間界限[146,150)[150,154)[154,158)人數(shù)1165⑴列出樣本頻率分布表；（2）—畫出頻率分布直方圖；（3）估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的百分比。分析：根據(jù)樣本頻率分布表、頻率分布直方圖的一般步驟解題。解：（1）樣本頻率分布表如下：分組頻數(shù)頻率[122126)50.04[126,130)80.07[130-134)100.08[134.138)220.18[138.142)330.28[142,146)200.17[146150)110.09[150154)60.05[154,158)50.04合計12012）其頻率分布直方圖如下：由樣本頻率分布表可知身高小于134cm的男孩出現(xiàn)的頻率為0.04+0.07+0.08=0.19,所以我們估計身高小于134cm的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的19%.〖例2〗：為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)次測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？若次數(shù)在〖例2〗：為了了解高一學(xué)生的體能情況,某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)次測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖(如圖)，圖中從左到右各小長方形面積之比為2：4：17：15：9：3，第二小組頻數(shù)為12.第二小組的頻率是多少？樣本容量是多少？若次數(shù)在110以上(含110次)為達(dá)標(biāo)，試估計該學(xué)校全體高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個小組內(nèi)？請說明理由。分析：在頻率分布直方圖中，各小長水頻率/組距0.0360.0320.0280.0240.0200.0160.0120.0080.00490 100 110 120 130 140 150次數(shù)方形的面積等于相應(yīng)各組的頻率，小長方形的高與頻數(shù)成正比，各組頻數(shù)之和等于樣本容量，頻率之和等于1。解：(1)由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率大小，因此第二小組的頻率為：2因此第二小組的頻率為：2+4+17+15+9+3-0'08又因為頻率=第二小組頻數(shù)樣本容量所以樣本容量又因為頻率=第二小組頻數(shù)樣本容量所以樣本容量=第二小組頻數(shù)第二小組頻率120.08=1502)由圖可估計該學(xué)校高一學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為x100%=88%17+15+x100%=88%2+4+17+15+9+33)由已知可得各小組的頻數(shù)依次為6，12，51，45，27，9，所以前三組的頻數(shù)之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在第四小組內(nèi)?！菊n堂小結(jié)】總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分布?？傮w的分布分兩種情況：當(dāng)總體中的個體取值很少時，用莖葉圖估計總體的分布；當(dāng)總體中的個體取值較多時，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率用分布樣表或頻本率分的布直數(shù)方圖字。特征估計總體的數(shù)字特征教學(xué)目標(biāo)：（1）正確理解樣本數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并做出合理的解釋。（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征。（4）形成對數(shù)據(jù)處理過程進(jìn)行初步評價的意識?！緞?chuàng)設(shè)情境】在一次射擊比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動員：7,8,6,8,6,5,8,10,7,4；乙運(yùn)動員：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個運(yùn)動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律,我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究。——用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征。【探究新知】＜一＞、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)〖探究〗P62（1） 怎樣將各個樣本數(shù)據(jù)匯總為一個數(shù)值,并使它成為樣本數(shù)據(jù)的“中心點”？（2） 能否用一個數(shù)值來描寫樣本數(shù)據(jù)的離散程度？（讓學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計知識,思考后展開討論）初中我們曾經(jīng)學(xué)過眾數(shù),中位數(shù),平均數(shù)等各種數(shù)字特征,應(yīng)當(dāng)說,這些數(shù)字都能夠為我們提供關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息。例如前面一節(jié)在調(diào)查100位居民的月均用水量的問題中,從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出，月均用水量的眾數(shù)是2.251（最高的矩形的中點）它告訴我們，該市的月均用水量為2.251的居民數(shù)比月均用水量為其他值的居民數(shù)多，但它并沒有告訴我們到底多多少?！继釂枴剑赫埓蠹曳氐秸n本第56頁看看原來抽樣的數(shù)據(jù),有沒有2.25這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義,2.25怎么會是眾數(shù)呢？為什么？分析：這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失的原因,而2.25是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的,所以存在一些偏差?！继釂枴剑耗敲慈绾螐念l率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？分析：在樣本數(shù)據(jù)中,有50%的個體小于或等于中位數(shù),也有50%的個體大于或等于中位數(shù)。因此,在頻率分布直方圖中,矩形的面積大小正好表示頻率的大小,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等。由此可以估計出中位數(shù)的值為2.02。（圖略見課本63頁圖2.2-6）〖思考〗：2.02這個中位數(shù)的估計值,與樣本的中位數(shù)值2.0不一樣,你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了）（課本63頁圖2.2-6）顯示,大部分居民的月均用水量在中部（2.021左右）,但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高,顯然,對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的?！妓伎肌剑褐形粩?shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響,這在某些情況下是一個優(yōu)點,但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點，你能舉例說明嗎？（讓學(xué)生討論，并舉例）＜二＞、標(biāo)準(zhǔn)差、方差標(biāo)準(zhǔn)差平均數(shù)為我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息，可是，有時平均數(shù)也會使我們作出對總體的片面判斷。某地區(qū)的統(tǒng)計顯示，該地區(qū)的中學(xué)生的平均身高為176cm,給我們的印象是該地區(qū)的中學(xué)生生長發(fā)育好，身高較高。但是，假如這個平均數(shù)是從五十萬名中學(xué)生抽出的五十名身高較高的學(xué)生計算出來的話，那么，這個平均數(shù)就不能代表該地區(qū)所有中學(xué)生的身體素質(zhì)。因此，只有平均數(shù)難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài)。例如，在一次射擊選拔比賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次，命中環(huán)數(shù)如下：甲運(yùn)動員：7, 8, 6, 8, 6, 5, 8,10,7,4；乙運(yùn)動員：9， 5， 7， 8， 7， 6， 8，6，7，7.觀察上述樣本數(shù)據(jù),你能判斷哪個運(yùn)動員發(fā)揮的更穩(wěn)定些嗎？如果你是教練,選哪位選手去參加正式比賽？我們知道，％田=7, x乙=7。甲乙兩個人射擊的平均成績是一樣的。那么，是否兩個人就沒有水平差距呢？（觀察P66圖2.2-8）直觀上看，還是有差異的。很明顯，甲的成績比較分散，乙的成績相對集中，因此我們從另外的角度來考察這兩組數(shù)據(jù)。考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小,最常用的統(tǒng)計量是標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差是樣本數(shù)據(jù)到平均數(shù)的一種平均距離，一般用s表示。樣本數(shù)據(jù)X1X2?…，X的標(biāo)準(zhǔn)差的算法：1、算出樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)X。2、算出每個樣本數(shù)1,2,n據(jù)與樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的差：x-X（i二1,2,?-n）3、算出（2）中兀一X（心12…n）的平ii方。4、算出（3）中n個平方數(shù)的平均數(shù)，即為樣本方差。5、算出（4）中平均數(shù)的算術(shù)平方根,，即為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。其計算公式為：s— [（X—X）2+（X—X）2+?…+（X—X）2]n1 2 n顯然，標(biāo)準(zhǔn)差較大，數(shù)據(jù)的離散程度較大；標(biāo)準(zhǔn)差較小，數(shù)據(jù)的離散程度較小?！继釂枴綐?biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有什么特點？從標(biāo)準(zhǔn)差的定義和計算公式都可以得出：s-0。當(dāng)s—0時，意味著所有的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)。（在課堂上，如果條件允許的話，可以給學(xué)生簡單的介紹一下利用計算機(jī)來計算標(biāo)準(zhǔn)差的方法。）方差從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時用標(biāo)準(zhǔn)差的平方s2（即方差）來代替標(biāo)準(zhǔn)差，作為測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具：1s2 — [（X—X）2+ （X