三角函數(shù)、解三角形教師

./第1課時(shí)任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù)1．角的概念<1>角的形成角可以看成平面內(nèi)一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)至另一個(gè)位置所成的圖形．eq\a\vs4\al<2角的,分類>eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<\a\vs4\al<按旋轉(zhuǎn)方向,不同分類>\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<正角：按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角,負(fù)角：按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角,零角：射線沒有旋轉(zhuǎn)>>,\a\vs4\al<按終邊位置,不同分類>\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<象限角：角的終邊在第幾象限,這個(gè),角就是第幾象限角,軸線角：角的終邊落在坐標(biāo)軸上>>>><3>所有與角α終邊相同的角,連同角α在內(nèi),可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z}或{β|β＝α＋2kπ,k∈Z}．2．弧度制<1>1弧度的角長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度的角．<2>角α的弧度數(shù)如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)弧的長(zhǎng)為l,那么,角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝eq\f<l,r>.<3>角度與弧度的換算①180°＝πrad；②1°＝eq\f<π,180>rad；③1rad＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<180,π>>>°.<4>弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l,圓心角大小為α<rad>,半徑為r,則l＝|α|r,扇形的面積為S＝eq\f<1,2>lr＝eq\f<1,2>|α|·r2.3．任意角的三角函數(shù)<1>定義：設(shè)α是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P<x,y>,那么sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f<y,x><x≠0>．<2>幾何表示：三角函數(shù)線可以看作是三角函數(shù)的幾何表示．正弦線的起點(diǎn)都在x軸上,余弦線的起點(diǎn)都是原點(diǎn),正切線的起點(diǎn)都是<1,0>．如圖中有向線段MP,OM,AT分別叫做角α的正弦線,余弦線和正切線．<3>三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．4．判斷下列結(jié)論的正誤<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>第一象限角一定是銳角．<×><2>不相等的角終邊一定不相同．<×><3>終邊落在x軸非正半軸上的角可表示為α＝2πk＋π<k∈Z>．<√><4>一弧度是長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角的大小,它是角的一種度量單位．<√><5>三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的正負(fù)．<√><6>α為第一象限角,則sinα＋cosα＞1.<√><7>將分針撥快10分鐘,則分針轉(zhuǎn)過的角度是eq\f<π,3>.<×><8>角α的三角函數(shù)值與終邊上點(diǎn)P的位置無關(guān)．<√><9>若sinα＞0,則α的終邊在第一象限或第二象限．<×><10>α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>,則tanα＞α＞sinα.<√>考點(diǎn)一終邊相同的角和象限角命題點(diǎn)1.寫出終邊相同的角2.判斷角所在的象限例1]<1>在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與45°終邊相同的角為________．解析：所有與45°有相同終邊的角可表示為：β＝45°＋k×360°<k∈Z>,則令－720°≤45°＋k×360°≤0°,得－765°≤k×360°≤－45°,解得－eq\f<765,360>≤k≤－eq\f<45,360>,從而k＝－2或k＝－1,代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°<2>設(shè)θ是第三象限角,且eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<cos\f<θ,2>>>＝－coseq\f<θ,2>,則eq\f<θ,2>是<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：若θ是第三象限角,即θ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2kπ＋π,2kπ＋\f<3,2>π>>,k∈Z∴eq\f<θ,2>∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<kπ＋\f<π,2>,kπ＋\f<3,4>π>>,k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)<0,2,…>時(shí),eq\f<θ,2>在第二象限,當(dāng)k為奇數(shù)<1,3,…>時(shí),eq\f<θ,2>在第四象限,又∵eq\b\lc\|\rc\|<\a\vs4\al\co1<cos\f<θ,2>>>＝－coseq\f<θ,2>,∴coseq\f<θ,2>＜0,∴eq\f<θ,2>為第二象限．答案：B方法引航]1利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角,方法是先寫出這個(gè)角的終邊相同的所有角的集合,然后通過對(duì)集合中的參數(shù)k賦值來求得所需角.2利用終邊相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α,k∈Z}判斷一個(gè)角β所在的象限時(shí),只需把這個(gè)角寫成0,2π范圍內(nèi)的一個(gè)角α與2π的整數(shù)倍的和,然后判斷角α的象限.,3象限角用終邊相同的角的形式作為邊界來表示,討論k的取值來確定其它角所在象限.1．終邊在直線y＝eq\r<3>x上的角的集合是________．解析：<1>∵在<0,π>內(nèi)終邊在直線y＝eq\r<3>x上的角是eq\f<π,3>,∴終邊在直線y＝eq\r<3>x上的角的集合為{α|α＝eq\f<π,3>＋kπ,k∈Z}．答案：{α|α＝eq\f<π,3>＋kπ,k∈Z}2．若α＝k·180°＋45°<k∈Z>,則α在<>A．第一或第三象限B．第一或第二象限C．第二或第四象限D(zhuǎn)．第三或第四象限解析：選A.當(dāng)k＝2n<n∈Z>時(shí),α＝n·360°＋45°,所以α在第一象限．當(dāng)k＝2n＋1<n∈Z>時(shí),α＝n·360°＋225°,所以α在第三象限．綜上可知,α在第一或第三象限．考點(diǎn)二三角函數(shù)的定義命題點(diǎn)1.已知角終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值2.已知三角函數(shù)值求點(diǎn)的坐標(biāo)3.已知三角函數(shù)值判斷角所在象限例2]<1>如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)A,點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為eq\f<4,5>,則cosα＝________.解析：因?yàn)锳點(diǎn)縱坐標(biāo)yA＝eq\f<4,5>,且A點(diǎn)在第二象限,又因?yàn)閳AO為單位圓,所以A點(diǎn)橫坐標(biāo)xA＝－eq\f<3,5>,由三角函數(shù)的定義可得cosα＝－eq\f<3,5>.答案：－eq\f<3,5><2>已知α是第二象限角,設(shè)點(diǎn)P<x,eq\r<5>>是α終邊上一點(diǎn),且cosα＝eq\f<\r<2>,4>x,求4coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,2>>>－3tanα的值．解：∵r＝eq\r<5＋x2>,∴cosα＝eq\f<x,\r<x2＋5>>,從而eq\f<\r<2>,4>x＝eq\f<x,\r<x2＋5>>,解得x＝0或x＝±eq\r<3>.又α是第二象限角,則x＝－eq\r<3>,r＝2eq\r<2>.∴sinα＝eq\f<\r<5>,2\r<2>>＝eq\f<\r<10>,4>,tanα＝eq\f<\r<5>,－\r<3>>＝－eq\f<\r<15>,3>.因此4coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,2>>>－3tanα＝－4sinα－3tanα＝－4×eq\f<\r<10>,4>－3×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<15>,3>>>＝eq\r<15>－eq\r<10>.<3>已知sinα＞0,cosα＜0,則eq\f<1,2>α所在的象限是<>A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D(zhuǎn)．第二或第四象限解析：因?yàn)閟inα＞0,cosα＜0,所以α為第二象限角,即eq\f<π,2>＋2kπ＜α＜π＋2kπ,k∈Z,則eq\f<π,4>＋kπ＜eq\f<1,2>α＜eq\f<π,2>＋kπ,k∈Z.當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),eq\f<1,2>α為第一象限角；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),eq\f<1,2>α為第三象限角,故選C.答案：C方法引航]定義法求三角函數(shù)值的兩種情況1已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo),則可先求出點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離r,然后利用三角函數(shù)的定義求解.2已知角α的終邊所在的直線方程,則可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo),求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,然后利用三角函數(shù)的定義求解相關(guān)的問題.若直線的傾斜角為特殊角,也可直接寫出角α的三角函數(shù)值.1．角α的終邊過點(diǎn)P<－1,2>,則sinα等于<>A.eq\f<\r<5>,5>B.eq\f<2\r<5>,5>C．－eq\f<\r<5>,5>D．－eq\f<2\r<5>,5>解析：選B.由三角函數(shù)的定義,得sinα＝eq\f<2,\r<－12＋22>>＝eq\f<2\r<5>,5>.2．點(diǎn)P從<1,0>出發(fā),沿單位圓逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)eq\f<2π,3>弧長(zhǎng)到達(dá)Q點(diǎn),則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為<>A.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>B.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<3>,2>,－\f<1,2>>>C.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,－\f<\r<3>,2>>>D.eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>解析：選A.x＝coseq\f<2,3>π＝－eq\f<1,2>,y＝sineq\f<2,3>π＝eq\f<\r<3>,2>.3．若α是第三象限角,則下列各式中不成立的是<>A．sinα＋cosα＜0B．tanα－sinα＜0C．cosα－tanα＜0D．tanαsinα＜0解析：選B.在第三象限,sinα＜0,cosα＜0,tanα＞0,則可排除A、C、D,故選B.考點(diǎn)三扇形的弧長(zhǎng)及面積命題點(diǎn)1.求扇形的弧長(zhǎng)或面積2.求扇形的圓心角或半徑例3]已知扇形的圓心角是α,半徑為R,弧長(zhǎng)為l.<1>若α＝60°,R＝10cm,求扇形的弧長(zhǎng)l；<2>若α＝eq\f<π,3>,R＝2cm,求扇形的弧所在的弓形的面積．解：<1>α＝60°＝eq\f<π,3>,l＝10×eq\f<π,3>＝eq\f<10π,3><cm>．<2>設(shè)弓形面積為S弓．由題知l＝eq\f<2π,3>cm,S弓＝S扇形－S三角形＝eq\f<1,2>×eq\f<2π,3>×2－eq\f<1,2>×22×sineq\f<π,3>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2π,3>－\r<3>>><cm>2.方法引航]1求扇形面積的關(guān)鍵是求得扇形的圓心角、半徑、弧長(zhǎng)三個(gè)量中的任意兩個(gè)量.2在解決弧長(zhǎng)、面積及弓形面積時(shí)要注意合理應(yīng)用圓心角所在的三角形.3應(yīng)用上述公式時(shí),角度應(yīng)統(tǒng)一用弧度制表示.1．在本例<1>中,R＝10cm改為弧長(zhǎng)l＝10cm,求扇形的半徑R和面積S.解：∵α＝60°＝eq\f<π,3>,l＝α·R,即10＝eq\f<π,3>R∴R＝eq\f<30,π>cm.S＝eq\f<1,2>lR＝eq\f<1,2>×10×eq\f<30,π>＝eq\f<150,π>cm2.2．若本例<2>改為在半徑為10cm,面積為100cm2的扇形中,弧所對(duì)的圓心角為<>A．2B．2°C．2πD．10解析：選A.由扇形的面積公式S＝eq\f<1,2>α·r2可得100＝eq\f<1,2>α·102,解得α＝2.考點(diǎn)四三角函數(shù)線及應(yīng)用命題點(diǎn)1.利用三角函數(shù)線解三角方程2.利用三角函數(shù)線解三角不等式例4]<1>若α∈<0,2π>,sinα＝eq\f<\r<3>,2>,則α＝________.解析：如圖,α的終邊與單位圓的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)y＝eq\f<\r<3>,2>,即Aeq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,Beq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>.∴α＝∠xOA＝eq\f<π,3>,或α＝∠xOB＝eq\f<2,3>π.答案：eq\f<π,3>或eq\f<2,3>π<2>函數(shù)y＝eq\r<sinx>＋eq\r<\f<1,2>－cosx>的定義域是________．解析：由題意知eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx≥0,,\f<1,2>－cosx≥0,>>即eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinx≥0,,cosx≤\f<1,2>.>>∴x的取值范圍為eq\f<π,3>＋2kπ≤x≤π＋2kπ,k∈Z.答案：eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,3>＋2kπ,π＋2kπ>><k∈Z.>eq\x<\a\al<[方法引航]利用單位圓解三角不等式組的一般步驟：,1用邊界值定出角的終邊位置；,2根據(jù)不等式組定出角的范圍；,3求交集,找單位圓中公共的部分；,4寫出角的表達(dá)式.>>滿足sinα≥eq\f<\r<3>,2>的α的集合為________．解析：作直線y＝eq\f<\r<3>,2>交單位圓于A、B兩點(diǎn),連接OA、OB,則OA與OB圍成的區(qū)域<圖中陰影部分>即為角α的終邊的范圍,故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<α\b\lc\|\rc\}<\a\vs4\al\co1<2kπ＋\f<π,3>≤α≤2kπ＋\f<2,3>π,k∈Z>>>>.答案：eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<α\b\lc\|\rc\}<\a\vs4\al\co1<2kπ＋\f<π,3>≤α≤2kπ＋\f<2,3>π,k∈Z>>>>易錯(cuò)警示]錯(cuò)用角的終邊概念典例]已知角θ的終邊上一點(diǎn)P<3a,4a><a≠0>,則sinθ＝________.正解]∵x＝3a,y＝4a,∴r＝eq\r<3a2＋4a2>＝5|a|.<1>當(dāng)a＞0時(shí),r＝5a,∴sinθ＝eq\f<y,r>＝eq\f<4,5>.<2>當(dāng)a＜0時(shí),r＝－5a,∴sinθ＝eq\f<y,r>＝－eq\f<4,5>.∴sinθ＝±eq\f<4,5>.答案]±eq\f<4,5>易誤]<1>角的終邊是一條射線,而不是直線．該題中,我們只能確定角的終邊所在直線．<2>由終邊上一點(diǎn)求三角函數(shù)時(shí),由于沒有考慮參數(shù)的取值情況,從而求出r＝eq\r<3a2＋4a2>＝eq\r<25a2>＝5a,結(jié)果得到錯(cuò)誤的答案：sinθ＝eq\f<y,r>＝eq\f<4,5>.警示]<1>區(qū)分兩種三角函數(shù)定義如果是在單位圓中定義任意角的三角函數(shù),設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為<x,y>,則sinα＝y(tǒng),cosα＝x,tanα＝eq\f<y,x>,但如果不是在單位圓中,設(shè)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P<x,y>,|OP|＝r,則sinα＝eq\f<y,r>,cosα＝eq\f<x,r>,tanα＝eq\f<y,x>.<2>明確三角函數(shù)的定義與角的終邊所在的象限位置的關(guān)系．高考真題體驗(yàn)]1．<2011·高考課標(biāo)全國(guó)卷>已知角θ的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,始邊與x軸的正半軸重合,終邊在直線y＝2x上,則cos2θ＝<>A．－eq\f<4,5>B．－eq\f<3,5>C.eq\f<3,5>D.eq\f<4,5>解析：選B.設(shè)P<t,2t><t≠0>為角θ終邊上任意一點(diǎn),則cosθ＝eq\f<t,\r<5>|t|>.當(dāng)t＞0時(shí),cosθ＝eq\f<\r<5>,5>；當(dāng)t＜0時(shí),cosθ＝－eq\f<\r<5>,5>.所以cos2θ＝2cos2θ－1＝eq\f<2,5>－1＝－eq\f<3,5>.2．<2014·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ>如圖所示,圓O的半徑為1,A是圓上的定點(diǎn),P是圓上的動(dòng)點(diǎn)．角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點(diǎn)P作直線OA的垂線,垂足為M,將點(diǎn)M到直線OP的距離表示成x的函數(shù)f<x>,則y＝f<x>在0,π]上的圖象大致為<>解析：選B.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),射線OA為x軸的正方向,建立平面直角坐標(biāo)系,則P<cosx,sinx>,M<cosx,0>,故點(diǎn)M到直線OP的距離為f<x>＝|sinx·cosx|＝eq\f<1,2>|sin2x|,x∈0,π],故選B.3．<2014·高考大綱全國(guó)卷>設(shè)a＝sin33°,b＝cos55°,c＝tan35°,則<>A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞c＞aC．c＞b＞aD．c＞a＞b解析：選C.b＝cos55°＝sin35°.作sin33°,sin35°,tan35°的函數(shù)線,如圖,a＝NQ,b＝MP,c＝AT.∴AT＞MP＞NQ,即c＞b＞a.4．<2014·高考大綱全國(guó)卷>已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)<－4,3>,則cosα＝<>A.eq\f<4,5>B.eq\f<3,5>C．－eq\f<3,5>D．－eq\f<4,5>解析：選D.因?yàn)榻铅恋慕K邊經(jīng)過點(diǎn)<－4,3>,所以x＝－4,y＝3,r＝5,所以cosα＝eq\f<x,r>＝－eq\f<4,5>.5．<2011·高考XX卷>已知角θ的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),始邊為x軸的正半軸,若P<4,y>是角θ終邊上一點(diǎn),且sinθ＝－eq\f<2\r<5>,5>,則y＝________.解析：因?yàn)閨OP|＝eq\r<42＋y2>,由任意角的三角函數(shù)的定義得,eq\f<y,\r<42＋y2>>＝－eq\f<2\r<5>,5>,解得y＝±8,又因?yàn)閟inθ＝－eq\f<2\r<5>,5>＜0及點(diǎn)P<4,y>是角θ終邊上一點(diǎn),所以θ為第四象限角,故y＝－8.答案：－8課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1．下列與eq\f<9π,4>的終邊相同的角的表達(dá)式中正確的是<>A．2kπ＋45°<k∈Z>B．k·360°＋eq\f<9,4>π<k∈Z>C．k·360°－315°<k∈Z>D．kπ＋eq\f<5π,4><k∈Z>解析：選C.與eq\f<9π,4>的終邊相同的角可以寫成2kπ＋eq\f<9π,4><k∈Z>,但是角度制與弧度制不能混用,所以只有答案C正確．2．若sinαtanα＜0,且eq\f<cosα,tanα>＜0,則角α是<>A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：選C.由sinαtanα＜0可知sinα,tanα異號(hào),從而α為第二或第三象限角．由eq\f<cosα,tanα>＜0可知cosα,tanα異號(hào),從而α為第三或第四象限角,故α為第三象限角．3．在直角坐標(biāo)平面內(nèi),對(duì)于始邊為x軸非負(fù)半軸的角,下列命題中正確的是<>A．第一象限中的角一定是銳角B．終邊相同的角必相等C．相等的角終邊一定相同D．不相等的角終邊一定不同解析：選C.第一象限角是滿足2kπ＜α＜2kπ＋eq\f<π,2>,k∈Z的角,當(dāng)k≠0時(shí),它都不是銳角,與角α終邊相同的角是2kπ＋α,k∈Z；當(dāng)k≠0時(shí),它們都與α不相等,亦即終邊相同的角可以不相等,但不相等的角終邊可以相同．4．給出下列命題：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的內(nèi)角是第一象限角或第二象限角；③不論是用角度制還是用弧度制度量一個(gè)角,它們與扇形的半徑的大小無關(guān)；④若sinα＝sinβ,則α與β的終邊相同；⑤若cosθ＜0,則θ是第二或第三象限的角．其中正確命題的個(gè)數(shù)是<>A．1B．2C．3D．4解析：選A.由于第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①錯(cuò)；當(dāng)三角形的內(nèi)角為90°時(shí),其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②錯(cuò)；③正確；由于sineq\f<π,6>＝sineq\f<5π,6>,但eq\f<π,6>與eq\f<5π,6>的終邊不相同,故④錯(cuò)；當(dāng)cosθ＝－1,θ＝π時(shí)既不是第二象限角,又不是第三象限角,故⑤錯(cuò)．綜上可知只有③正確．5．已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)<3a－9,a＋2>,且cosα≤0,sinα＞0,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是<>A．<－2,3]B．<－2,3>C．－2,3>D．－2,3]解析：選A.∵cosα≤0,sinα＞0,∴角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上．∴eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<3a－9≤0,,a＋2＞0,>>∴－2＜a≤3.故選A.6．如圖所示,在直角坐標(biāo)系xOy中,射線OP交單位圓O于點(diǎn)P,若∠AOP＝θ,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是<>A．<cosθ,sinθ>B．<－cosθ,sinθ>C．<sinθ,cosθ>D．<－sinθ,cosθ>解析：選A.由三角函數(shù)的定義知P<cosθ,sinθ>．7．已知角α的終邊過點(diǎn)P<－8m,－6sin30°>,且cosα＝－eq\f<4,5>,則m的值為<>A．－eq\f<1,2>B.eq\f<1,2>C．－eq\f<\r<3>,2>D.eq\f<\r<3>,2>解析：選B.∵r＝eq\r<64m2＋9>,∴cosα＝eq\f<－8m,\r<64m2＋9>>＝－eq\f<4,5>,∴m＞0,∴eq\f<4m2,64m2＋9>＝eq\f<1,25>,即m＝eq\f<1,2>.8．已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)Peq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x,\f<\r<3>,2>>>,則tanα＝<>A.eq\r<3>B．±eq\r<3>C.eq\f<\r<3>,3>D．±eq\f<\r<3>,3>解析：選B.由|OP|2＝x2＋eq\f<3,4>＝1,得x＝±eq\f<1,2>.∴tanα＝eq\f<y,x>＝±eq\r<3>.9．點(diǎn)P<tan2017°,cos2017°>位于<>A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限解析：選D.2017°＝360°×5＋217°是第三象限角．∴tan2017°＞0,cos2017°＜0,因此點(diǎn)P位于第四象限．10．已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是<2sin2,－2cos2>,則sinα等于<>A．sin2B．－sin2C．cos2D．－cos2解析：選D.∵角α終邊上一點(diǎn)P<2sin2,－2cos2>,∴x＝2sin2,y＝－2cos2,r＝eq\r<x2＋y2>＝eq\r<4sin22＋4cos22>＝2,∴sinα＝eq\f<y,r>＝eq\f<－2cos2,2>＝－cos2.B組能力突破1．已知扇形的周長(zhǎng)是6cm,面積是2cm2,則扇形的圓心角的弧度數(shù)是<>A．1B．4C．1或4D．2或4解析：選C.設(shè)此扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為l,則eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<2r＋l＝6,,\f<1,2>rl＝2,>>解得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<r＝1,,l＝4>>或eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<r＝2,,l＝2.>>從而α＝eq\f<l,r>＝eq\f<4,1>＝4或α＝eq\f<l,r>＝eq\f<2,2>＝1.2．若x∈<0,2π>,則sinx＞eq\f<1,2>的必要不充分條件是<>A.eq\f<π,6>＜x＜eq\f<5π,6>B.eq\f<π,6>＜x＜πC.eq\f<π,6>＜x＜eq\f<π,2>D.eq\f<π,3>＜x＜eq\f<5π,6>解析：選B.依題意,由sinx＞eq\f<1,2>,x∈<0,2π>得知eq\f<π,6>＜x＜eq\f<5π,6>,可以推得eq\f<π,6>＜x＜π；反過來,由eq\f<π,6>＜x＜π不能得出sinx＞eq\f<1,2>,如取eq\f<π,6>＜x＝eq\f<5π,6>＜π,此時(shí)sinx＝eq\f<1,2>.因此,sinx＞eq\f<1,2>的必要不充分條件是eq\f<π,6>＜x＜π,故選B.3．若角α的終邊落在直線x＋y＝0上,則eq\f<sinα,\r<1－sin2α>>＋eq\f<\r<1－cos2α>,cosα>＝________.解析：原式＝eq\f<sinα,|cosα|>＋eq\f<|sinα|,cosα>,由題意知角α的終邊在第二、四象限,sinα與cosα的符號(hào)相反,所以原式＝0.答案：04．在與2010°終邊相同的角中,絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為________．解析：2010°＝eq\f<67,6>π＝12π－eq\f<5π,6>,∴與2010°終邊相同的角中絕對(duì)值最小的角的弧度數(shù)為－eq\f<5π,6>.答案：－eq\f<5π,6>5．設(shè)α為第二象限角,其終邊上一點(diǎn)為P<m,eq\r<5>>,且cosα＝eq\f<\r<2>,4>m,則sinα的值為________．解析：設(shè)P<m,eq\r<5>>到原點(diǎn)O的距離為r,則eq\f<m,r>＝cosα＝eq\f<\r<2>,4>m,∴r＝2eq\r<2>,sinα＝eq\f<\r<5>,r>＝eq\f<\r<5>,2\r<2>>＝eq\f<\r<10>,4>.答案：eq\f<\r<10>,4>6．已知扇形的圓心角為α＝120°,弦長(zhǎng)AB＝12cm,則弧長(zhǎng)l為________．解析：設(shè)扇形的半徑為rcm,如圖．∠AOB＝120°,eq\f<1,2>∠AOB＝60°,eq\f<1,2>AB＝6,由sin60°＝eq\f<6,r>,得r＝4eq\r<3>cm,∴l(xiāng)＝|α|·r＝eq\f<2π,3>×4eq\r<3>＝eq\f<8\r<3>,3>π<cm>．答案：eq\f<8\r<3>,3>πcm第2課時(shí)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式1．同角三角函數(shù)基本關(guān)系<1>平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1<α∈R>．<2>商數(shù)關(guān)系：tanα＝eq\f<sinα,cosα>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α≠kπ＋\f<π,2>,k∈Z>>.2．誘導(dǎo)公式角函數(shù)2kπ＋α<k∈Z>π＋α－απ－αeq\f<π,2>－αeq\f<π,2>＋α正弦sinα－sin_α－sin_αsin_αcos_αcos_α余弦cosα－cos_αcos_α－cos_αsin_α－sin_α正切tanαtan_α－tan_α－tan_α－－3.判斷下列結(jié)論的正誤<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>對(duì)任意角α,sin23α＋cos23α＝1都成立．<√><2>對(duì)任意角α,eq\f<sin\f<α,2>,cos\f<α,2>>＝taneq\f<α,2>都成立．<×><3>對(duì)任意的角α,β有sin2α＋cos2β＝1.<×><4>六組誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角．<√><5>誘導(dǎo)公式的記憶口訣中"奇變偶不變,符號(hào)看象限",其中的奇、偶是指eq\f<π,2>的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍,變與不變指函數(shù)名稱的變化．<√><6>sin<π＋α>＝－sinα成立的條件是α為銳角．<×><7>若cos<nπ－θ>＝eq\f<1,3><n∈Z>,則cosθ＝eq\f<1,3>.<×><8>已知sinθ＝eq\f<m－3,m＋5>,cosθ＝eq\f<4－2m,m＋5>,其中θ∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,2>,π>>,則m＜－5或m≥3.<×><9>角π＋α和α終邊關(guān)于y軸對(duì)稱．<×><10>若α＋β＝90°,則sin2α＋sin2β＝1.<√>考點(diǎn)一同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用命題點(diǎn)1.同角的正、余弦函數(shù)關(guān)系2.同角的正、余弦與正切函數(shù)關(guān)系例1]<1>已知sinθ＝－eq\f<1,3>,θ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>,則sin<θ－5π>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,2>π－θ>>的值是<>A.eq\f<2\r<2>,9>B．－eq\f<2\r<2>,9>C．－eq\f<1,9>D.eq\f<1,9>解析：∵sinθ＝－eq\f<1,3>,θ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>,∴cosθ＝eq\r<1－sin2θ>＝eq\f<2\r<2>,3>.∴原式＝－sin<π－θ>·<－cosθ>＝sinθcosθ＝－eq\f<1,3>×eq\f<2\r<2>,3>＝－eq\f<2\r<2>,9>.答案：B<2>若sinα＋cosα＝eq\f<1,5>,α∈<0,π>,則sinα－cosα的值為________．解析：法一：由sinα＋cosα＝eq\f<1,5>,得<sinα＋cosα>2＝eq\f<1,25>,∴sinαcosα＝－eq\f<12,25>,∵α∈<0,π>,∴sinα＞0,cosα＜0,∴sinα－cosα＞0,∴sinα－cosα＝eq\r<sinα－cosα2>＝eq\r<1－2sinαcosα>＝eq\f<7,5>.法二：∵α∈<0,π>,∴由eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinα＋cosα＝\f<1,5>,,sin2α＋cos2α＝1>>得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinα＝\f<4,5>,,cosα＝－\f<3,5>.>>∴sinα－cosα＝eq\f<4,5>－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<3,5>>>＝eq\f<7,5>.答案：eq\f<7,5><3>已知coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>＝eq\f<3,5>,且α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>,\f<3π,2>>>,則tanα＝<>A.eq\f<4,3>B.eq\f<3,4>C．－eq\f<3,4>D．±eq\f<3,4>解析：因?yàn)閏oseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>＝eq\f<3,5>,所以sinα＝－eq\f<3,5>,又α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>,\f<3,2>π>>,∴α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<π,\f<3,2>π>>,∴cosα＝－eq\f<4,5>,則tanα＝eq\f<sinα,cosα>＝eq\f<3,4>.答案：B<4>已知tanθ＝2,則sinθcosθ＝________.解析：∵tanθ＝2∴sinθcosθ＝eq\f<sinθ·cosθ,sin2θ＋cos2θ>＝eq\f<tanθ,1＋tan2θ>＝eq\f<2,1＋4>＝eq\f<2,5>.答案：eq\f<2,5>方法引航]1利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化,利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化.,2應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于sinα＋cosα,sinαcosα,sinα－cosα這三個(gè)式子,利用sinα±cosα2＝1±2sinαcosα,可以知一求二.,3注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α,sin2α＝1－cos2α,cos2α＝1－sin2α.1．若本例<1>中,去掉θ∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,\f<π,2>>>條件,結(jié)果如何？解：由sinθ＝－eq\f<1,3>可得cosθ＝±eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,3>>>2>＝±eq\f<2\r<2>,3>,<θ在一、四象限為正,θ在二、三象限為負(fù)>∴原式＝sinθcosθ＝±eq\f<2\r<2>,9>.2．若本例<2>改為sinα＋cosα＝eq\f<1,5>,α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,0>>求tanα.解：由sinα＋cosα＝eq\f<1,5>得<sinα＋cosα>2＝eq\f<1,25>.∴sinαcosα＝－eq\f<12,25>＜0,又∵α∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>,0>>,∴sinα＜0,cosα＞0.∴sinα－cosα＝－eq\r<sinα－cosα2>＝－eq\r<1－2sinαcosα>＝－eq\f<7,5>.聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinα＋cosα＝\f<1,5>,sinα－cosα＝－\f<7,5>>>得eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinα＝－\f<3,5>,,cosα＝\f<4,5>.>>∴tanα＝eq\f<sinα,cosα>＝－eq\f<3,4>.3．若本例<4>改為,tanθ＝2,求sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ的值．解：sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝eq\f<sin2θ＋sinθcosθ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ>＝eq\f<\f<sin2θ,cos2θ>＋\f<sinθcosθ,cos2θ>－2,\f<sin2θ,cos2θ>＋1>＝eq\f<tan2θ＋tanθ－2,tan2θ＋1>＝eq\f<22＋2－2,22＋1>＝eq\f<4,5>.考點(diǎn)二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1.給角求值2.給值求值3.化簡(jiǎn)三角函數(shù)式例2]<1>sin600°＋tan240°＝________.解析：sin600°＋tan240°＝sin<540°＋60°>＋tan<180°＋60°>＝－sin60°＋tan60°＝－eq\f<\r<3>,2>＋eq\r<3>＝eq\f<\r<3>,2>.答案：eq\f<\r<3>,2><2>已知taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>－α>>＝eq\f<\r<3>,3>,則taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,6>π＋α>>＝________.解析：∵eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>－α>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5π,6>＋α>>＝π,∴taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,6>π＋α>>＝taneq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<π－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>－α>>>>＝－taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>－α>>＝－eq\f<\r<3>,3>.答案：－eq\f<\r<3>,3><3>已知f<x>＝eq\f<sinπ－xcos2π－xtan－x＋π,cos\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<π,2>＋x>>>,化簡(jiǎn)f<x>的表達(dá)式并求feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<31,3>π>>的值．解：∵f<x>＝eq\f<sinx·cosx·－tanx,sinx>＝－cosx·tanx＝－sinx,∴feq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<31,3>π>>＝－sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<31,3>π>>＝sineq\f<31π,3>＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<10π＋\f<π,3>>>＝sineq\f<π,3>＝eq\f<\r<3>,2>.方法引航]1.利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值時(shí),先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù),其步驟為去負(fù)—脫周—化銳．2．<1>利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)三角函數(shù)的思路和要求①思路方法：a.分析結(jié)構(gòu)特點(diǎn),選擇恰當(dāng)公式；b.利用公式化成單角三角函數(shù)；c.整理得最簡(jiǎn)形式．②化簡(jiǎn)要求：a.化簡(jiǎn)過程是恒等變形；b.結(jié)果要求項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)單,能求值的要求出值．<2>巧用相關(guān)角的關(guān)系會(huì)簡(jiǎn)化解題過程．常見的互余關(guān)系有eq\f<π,3>－α與eq\f<π,6>＋α；eq\f<π,3>＋α與eq\f<π,6>－α；eq\f<π,4>＋α與eq\f<π,4>－α等,常見的互補(bǔ)關(guān)系有eq\f<π,3>＋θ與eq\f<2π,3>－θ；eq\f<π,4>＋θ與eq\f<3π,4>－θ等．1．coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<17π,4>>>－sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<17π,4>>>的值是________．解析：原式＝coseq\f<17π,4>＋sineq\f<17π,4>＝coseq\f<π,4>＋sineq\f<π,4>＝eq\r<2>.答案：eq\r<2>2．已知sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>－α>>＝eq\f<1,2>,則coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>＋α>>＝________.解析：∵eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>－α>>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>＋α>>＝eq\f<π,2>,∴coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>＋α>>＝coseq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>－α>>>>＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>－α>>＝eq\f<1,2>.答案：eq\f<1,2>3．已知tanθ＝2,則eq\f<sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋θ>>－cosπ－θ,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－θ>>－sinπ－θ>＝________.解析：原式＝eq\f<cosθ＋cosθ,cosθ－sinθ>＝eq\f<2cosθ,cosθ－sinθ>＝eq\f<2,1－tanθ>＝eq\f<2,1－2>＝－2.答案：－2方法探究]小"1"能起大作用由于sin2α＋cos2α＝1恒成立,故在三角函數(shù)化簡(jiǎn)與求值中巧妙利用"1"的代換,sin2α＋cos2α即為1,看到"1"就聯(lián)想到sin2α＋cos2α.典例]<1>sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.解析]原式＝<sin21°＋sin289°>＋<sin22°＋sin288°>＋…＋<sin244°＋sin246°>＋sin245°＝<sin21°＋cos21°>＋<sin22°＋cos22°>＋…＋<sin244°＋cos244°>＋eq\f<1,2>＝＋eq\f<1,2>＝44eq\f<1,2>.答案]44eq\f<1,2><2>若tanα＝3,則sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2α＋\f<π,4>>>的值為<>A．－eq\f<\r<2>,10>B.eq\f<\r<2>,10>C.eq\f<5\r<2>,10>D.eq\f<7\r<2>,10>解析]sin2α＝2sinαcosα＝eq\f<2sinαcosα,sin2α＋cos2α>＝eq\f<2tanα,tan2α＋1>＝eq\f<3,5>,又cos2α＝cos2α－sin2α＝eq\f<cos2α－sin2α,cos2α＋sin2α>＝eq\f<1－tan2α,1＋tan2α>＝－eq\f<4,5>,∴sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2α＋\f<π,4>>>＝eq\f<\r<2>,2>sin2α＋eq\f<\r<2>,2>cos2α＝eq\f<\r<2>,2>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,5>－\f<4,5>>>＝－eq\f<\r<2>,10>.答案]－eq\f<\r<2>,10>高考真題體驗(yàn)]1．<2015·高考XX卷>若sinα＝－eq\f<5,13>,且α為第四象限角,則tanα的值等于<>A.eq\f<12,5>B．－eq\f<12,5>C.eq\f<5,12>D．－eq\f<5,12>解析：選D.因?yàn)閟inα＝－eq\f<5,13>,且α為第四象限角,所以cosα＝eq\f<12,13>,所以tanα＝－eq\f<5,12>.2．<2016·高考全國(guó)乙卷>已知θ是第四象限角,且sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝eq\f<3,5>,則taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,4>>>＝________.解析：因?yàn)閟ineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝eq\f<3,5>,所以coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,4>>>＝sineq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,4>>>>>＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝eq\f<3,5>,因?yàn)棣葹榈谒南笙藿?所以－eq\f<π,2>＋2kπ＜θ＜2kπ,k∈Z,所以－eq\f<3π,4>＋2kπ＜θ－eq\f<π,4>＜2kπ－eq\f<π,4>,k∈Z,所以sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,4>>>＝－eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3,5>>>2>＝－eq\f<4,5>,所以taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,4>>>＝eq\f<－\f<4,5>,\f<3,5>>＝－eq\f<4,3>.答案：－eq\f<4,3>3．<2016·高考XX卷>sin750°＝________.解析：sin750°＝sin<2×360°＋30°>＝sin30°＝eq\f<1,2>.答案：eq\f<1,2>4．<2013·高考課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ>設(shè)θ為第二象限角,若taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝eq\f<1,2>,則sinθ＋cosθ＝________.解析：∵taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ＋\f<π,4>>>＝eq\f<1,2>,∴eq\f<1＋tanθ,1－tanθ>＝eq\f<1,2>,解得tanθ＝－eq\f<1,3>.∵θ為第二象限角,tanθ＝－eq\f<1,3>＞－1,∴2kπ＋eq\f<3π,4>＜θ＜2kπ＋π,∴<sinθ＋cosθ>2＝eq\f<sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ,sin2θ＋cos2θ>＝eq\f<tan2θ＋2tanθ＋1,tan2θ＋1>＝eq\f<\f<1,9>－\f<2,3>＋1,\f<1,9>＋1>＝eq\f<2,5>.sinθ＋cosθ＜0,∴sinθ＋cosθ＝－eq\f<\r<10>,5>.答案：－eq\f<\r<10>,5>課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組基礎(chǔ)演練1．已知α為第二象限角,且sinα＝eq\f<3,5>,則tan<π＋α>的值是<>A.eq\f<4,3>B.eq\f<3,4>C．－eq\f<4,3>D．－eq\f<3,4>解析：選D.因?yàn)棣翞榈诙笙藿?cosα＝－eq\r<1－sin2α>＝－eq\f<4,5>,tan<π＋α>＝tanα＝－eq\f<3,4>.2．sin2<π＋α>－cos<π＋α>·cos<－α>＋1的值為<>A．1B．2sin2αC．0D．2解析：選D.原式＝<－sinα>2－<－cosα>·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.3．若sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>＋α>>＝eq\f<3,5>,則coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>－α>>＝<>A．－eq\f<3,5>B.eq\f<3,5>C.eq\f<4,5>D．－eq\f<4,5>解析：選B.coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>－α>>＝coseq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>＋α>>>>＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>＋α>>＝eq\f<3,5>.4．已知sin<π＋θ>＝－eq\r<3>cos<2π－θ>,|θ|＜eq\f<π,2>,則θ等于<>A．－eq\f<π,6>B．－eq\f<π,3>C.eq\f<π,6>D.eq\f<π,3>解析：選D.∵sin<π＋θ>＝－eq\r<3>cos<2π－θ>,∴－sinθ＝－eq\r<3>cosθ,∴tanθ＝eq\r<3>.∵|θ|＜eq\f<π,2>,∴θ＝eq\f<π,3>.5．已知sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>＝eq\f<1,2>,－eq\f<π,2>＜α＜0,則coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,3>>>的值是<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<2,3>C．－eq\f<1,2>D．1解析：選C.由已知得cosα＝eq\f<1,2>,sinα＝－eq\f<\r<3>,2>,coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,3>>>＝eq\f<1,2>cosα＋eq\f<\r<3>,2>sinα＝－eq\f<1,2>.6．若sinθ·cosθ＝eq\f<1,2>,則tanθ＋eq\f<cosθ,sinθ>＝________.解析：tanθ＋eq\f<cosθ,sinθ>＝eq\f<sinθ,cosθ>＋eq\f<cosθ,sinθ>＝eq\f<sin2θ＋cos2θ,sinθcosθ>＝2.答案：27．若cos<π－α>＝－eq\f<1,3>,則eq\f<cos2π－α·sinπ＋α,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>·tan3π－α>的值為________．解析：由cos<π－α>＝－eq\f<1,3>,得cosα＝eq\f<1,3>.則eq\f<cos2π－α·sinπ＋α,sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋α>>·tan3π－α>＝eq\f<cosα·－sinα,cosα·－tanα>＝cosα＝eq\f<1,3>.答案：eq\f<1,3>8．若eq\f<sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ>＝2,則sin<θ－5π>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3π,2>－θ>>＝________.解析：由eq\f<sinθ＋cosθ,sinθ－cosθ>＝2,得sinθ＋cosθ＝2<sinθ－cosθ>,兩邊平方得：1＋2sinθcosθ＝4<1－2sinθcosθ>,故sinθcosθ＝eq\f<3,10>,∴sin<θ－5π>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3π,2>－θ>>＝sinθcosθ＝eq\f<3,10>.答案：eq\f<3,10>9．已知α為銳角,且2tan<π－α>－3coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋β>>＋5＝0,tan<π＋α>＋6sin<π＋β>＝1,求sinα的值________．解析：由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0,①tanα－6sinβ＝1,②①②聯(lián)立,解得tanα＝3,∴eq\f<sinα,cosα>＝3,∴cosα＝eq\f<1,3>sinα,∴sin2α＋eq\f<1,9>sin2α＝1∴α為銳角,∴sinα＝eq\f<3\r<10>,10>.答案：eq\f<3\r<10>,10>10．已知sinθ＝eq\f<4,5>,eq\f<π,2>＜θ＜π.<1>求tanθ的值；<2>求eq\f<sin2θ＋2sinθcosθ,3sin2θ＋cos2θ>的值．解：<1>∵sin2θ＋cos2θ＝1,∴cos2θ＝eq\f<9,25>.又eq\f<π,2>＜θ＜π.∴cosθ＝－eq\f<3,5>.∴tanθ＝eq\f<sinθ,cosθ>＝－eq\f<4,3>.<2>由<1>知,eq\f<sin2θ＋2sinθcosθ,3sin2θ＋cos2θ>＝eq\f<tan2θ＋2tanθ,3tan2θ＋1>＝－eq\f<8,57>.B組能力突破1．若cosθ＝eq\f<3,5>,sinθ＝－eq\f<4,5>,則角θ的終邊所在的直線方程為<>A．3x＋4y＝0B．4x＋3y＝0C．3x－4y＝0D．4x－3y＝0解析：選B.依題意得tanθ＝eq\f<sinθ,cosθ>＝－eq\f<4,3>,因此所求的直線的斜率是－eq\f<4,3>,其方程是y＝－eq\f<4,3>x,即4x＋3y＝0.2．已知sinα＋cosα＝eq\f<1,3>,則sin2eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>－α>>＝<>A.eq\f<1,18>B.eq\f<17,18>C.eq\f<8,9>D.eq\f<\r<2>,9>解析：選B.∵sinα＋cosα＝eq\f<1,3>,∴<sinα＋cosα>2＝1＋2sinαcosα＝eq\f<1,9>,∴sin2α＝－eq\f<8,9>,∴sin2eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,4>－α>>＝eq\f<1－cos\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－2α>>,2>＝eq\f<1－sin2α,2>＝eq\f<17,18>.3．若θ∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,4>,\f<π,2>>>,sin2θ＝eq\f<3\r<7>,8>,則sinθ＝<>A.eq\f<3,5>B.eq\f<4,5>C.eq\f<\r<7>,4>D.eq\f<3,4>解析：選D.∵θ∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,4>,\f<π,2>>>,∴2θ∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<\f<π,2>,π>>,故cos2θ≤0,∴cos2θ＝－eq\r<1－sin22θ>＝－eq\r<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3\r<7>,8>>>2>＝－eq\f<1,8>.又cos2θ＝1－2sin2θ,∴sin2θ＝eq\f<1－cos2θ,2>＝eq\f<1－\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,8>>>,2>＝eq\f<9,16>.又sinθ＞0,∴sinθ＝eq\f<3,4>,故選D.4．在△ABC中,已知2cos2A－3cos<B＋C>＝2,則A＝________.解析：由2cos2A－3cos<B＋C>＝2,得2cos2A－3cos<π－A>＝2,即2cos2A＋3cosA－2＝0,得cosA＝eq\f<1,2>或cosA＝－2<舍去>,則在△ABC中,A＝eq\f<π,3>.答案：eq\f<π,3>5．已知sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程x2－ax＋a＝0<a∈R>的兩個(gè)根,求cos3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－θ>>＋sin3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－θ>>的值．解：由已知原方程的判別式Δ≥0,即<－a>2－4a≥0,∴a≥4或a≤0.又eq\b\lc\{\rc\<\a\vs4\al\co1<sinθ＋cosθ＝a,sinθcosθ＝a>>,<sinθ＋cosθ>2＝1＋2sinθcosθ,則a2－2a－1＝0,從而a＝1－eq\r<2>或a＝1＋eq\r<2><舍去>,因此sinθ＋cosθ＝sinθcosθ＝1－eq\r<2>.∴cos3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－θ>>＋sin3eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>－θ>>＝sin3θ＋cos3θ＝<sinθ＋cosθ><sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ>＝<1－eq\r<2>>1－<1－eq\r<2>>]＝eq\r<2>－2.第3課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及變形1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式<1>公式①cos<α－β>＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β<C<α－β>>②cos<α＋β>＝cos_αcos_β－sin_αsin_β<C<α＋β>>③sin<α－β>＝sin_αcos_β－cos_αsin_β<S<α－β>>④sin<α＋β>＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β<S<α＋β>>⑤tan<α－β>＝eq\f<tanα－tanβ,1＋tanαtanβ><T<α－β>>⑥tan<α＋β>＝eq\f<tanα＋tanβ,1－tanαtanβ><T<α＋β>><2>公式變形①tanα＋tanβ＝tan<α＋β><1－tanαtanβ>．②tanα－tanβ＝tan<α－β><1＋tanαtanβ>．2．二倍角公式<1>公式①sin2α＝2sin_αcos_α,②cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α,③tan2α＝eq\f<2tanα,1－tan2α>.<2>公式變形①cos2α＝eq\f<1＋cos2α,2>,sin2α＝eq\f<1－cos2α,2>；②1＋sin2α＝<sinα＋cosα>2,1－sin2α＝<sinα－cosα>2,sinα±cosα＝eq\r<2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α±\f<π,4>>>.3．判斷下列結(jié)論的正誤<正確的打"√",錯(cuò)誤的打"×"><1>兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的．<√><2>存在實(shí)數(shù)α,β,使等式sin<α＋β>＝sinα＋sinβ成立．<√><3>在銳角△ABC中,sinAsinB和cosAcosB大小不確定．<×><4>公式tan<α＋β>＝eq\f<tanα＋tanβ,1－tanαtanβ>可以變形為tanα＋tanβ＝tan<α＋β><1－tanαtanβ>,且對(duì)任意角α,β都成立．<×><5>二倍角的正弦、余弦、正切公式的適用范圍是任意角．<×><6>存在角α,使得sin2α＝2sinα成立．<√><7>若α＋β＝eq\f<π,4>,則<1＋tanα><1＋tanβ>＝2.<√><8>不存在實(shí)數(shù)α,β,使得cos<α＋β>＝sinα＋cosβ.<×><9>存在實(shí)數(shù)α,使tan2α＝2tanα.<√><10>y＝eq\r<1－2cos2x>的x無意義．<×>考點(diǎn)一三角函數(shù)式的給角求值命題點(diǎn)1.已知非特殊角求函數(shù)式的值2.已知含參數(shù)的角化簡(jiǎn)函數(shù)或求值例1]<1>求值：eq\f<1＋cos20°,2sin20°>－sin10°eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,tan5°>－tan5°>>；解：原式＝eq\f<2cos210°,2×2sin10°cos10°>－sin10°eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<cos5°,sin5°>－\f<sin5°,cos5°>>>＝eq\f<cos10°,2sin10°>－sin10°·eq\f<cos25°－sin25°,sin5°cos5°>＝eq\f<cos10°,2sin10°>－sin10°·eq\f<cos10°,\f<1,2>sin10°>＝eq\f<cos10°,2sin10°>－2cos10°＝eq\f<cos10°－2sin20°,2sin10°>＝eq\f<cos10°－2sin30°－10°,2sin10°>＝eq\f<cos10°－2\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>cos10°－\f<\r<3>,2>sin10°>>,2sin10°>＝eq\f<\r<3>sin10°,2sin10°>＝eq\f<\r<3>,2>.<2>化簡(jiǎn)：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－eq\f<1,2>cos2α·cos2β.解：法一：<復(fù)角→單角,從"角"入手>原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－eq\f<1,2>·<2cos2α－1>·<2cos2β－1>＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－eq\f<1,2>·<4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1>＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－eq\f<1,2>＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－eq\f<1,2>＝sin2β＋cos2β－eq\f<1,2>＝1－eq\f<1,2>＝eq\f<1,2>.法二：<從"名"入手,異名化同名>原式＝sin2α·sin2β＋<1－sin2α>·cos2β－eq\f<1,2>cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α<cos2β－sin2β>－eq\f<1,2>cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α·cos2β－eq\f<1,2>cos2α·cos2β＝cos2β－cos2β·eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<sin2α＋\f<1,2>cos2α>>＝eq\f<1＋cos2β,2>－cos2β·eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<sin2α＋\f<1,2>1－2sin2α>>＝eq\f<1＋cos2β,2>－eq\f<1,2>cos2β＝eq\f<1,2>.法三：<從"冪"入手,利用降冪公式先降次>原式＝eq\f<1－cos2α,2>·eq\f<1－cos2β,2>＋eq\f<1＋cos2α,2>·eq\f<1＋cos2β,2>－eq\f<1,2>cos2α·cos2β＝eq\f<1,4><1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β>＋eq\f<1,4><1＋cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β>－eq\f<1,2>·cos2α·cos2β＝eq\f<1,2>.eq\x<\a\al<[方法引航]給角求值問題往往給出的角是非特殊角,求值時(shí)要注意：,1觀察角,分析角之間的差異,巧用誘導(dǎo)公式或拆分.,2觀察名,盡可能使函數(shù)統(tǒng)一名稱.,3觀察結(jié)構(gòu),利用公式,整體化簡(jiǎn).>>1．求值sin50°<1＋eq\r<3>tan10°>．解：sin50°<1＋eq\r<3>tan10°>＝sin50°<1＋tan60°·tan10°>＝sin50°·eq\f<cos60°cos10°＋sin60°sin10°,cos60°cos10°>＝sin50°·eq\f<cos60°－10°,cos60°cos10°>＝eq\f<2sin50°cos50°,cos10°>＝eq\f<sin100°,cos10°>＝eq\f<cos10°,cos10°>＝1.2．在△ABC中,已知三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,則taneq\f<A,2>＋taneq\f<C,2>＋eq\r<3>taneq\f<A,2>taneq\f<C,2>的值為________．解析：因?yàn)槿齻€(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,且A＋B＋C＝π,所以A＋C＝eq\f<2π,3>,eq\f<A＋C,2>＝eq\f<π,3>,taneq\f<A＋C,2>＝eq\r<3>,所以taneq\f<A,2>＋taneq\f<C,2>＋eq\r<3>taneq\f<A,2>taneq\f<C,2>＝taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<A,2>＋\f<C,2>>>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1－tan\f<A,2>tan\f<C,2>>>＋eq\r<3>taneq\f<A,2>taneq\f<C,2>＝eq\r<3>eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<1－tan\f<A,2>tan\f<C,2>>>＋eq\r<3>taneq\f<A,2>taneq\f<C,2>＝eq\r<3>.考點(diǎn)二三角函數(shù)式的給值求值命題點(diǎn)1.已知某角的三角函數(shù)值求其它的三角函數(shù)值2.已知某角的三角函數(shù)值,求三角函數(shù)的值3.已知三角函數(shù)式的值,求三角函數(shù)值例2]<1><2016·高考全國(guó)丙卷>若tanθ＝－eq\f<1,3>,則cos2θ＝<>A．－eq\f<4,5>B．－eq\f<1,5>C.eq\f<1,5>D.eq\f<4,5>解析：法一：cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝eq\f<cos2θ－sin2θ,cos2θ＋sin2θ>＝eq\f<1－tan2θ,1＋tan2θ>＝eq\f<4,5>.故選D.法二：由tanθ＝－eq\f<1,3>,可得sinθ＝±eq\f<1,\r<10>>,因而cos2θ＝1－2sin2θ＝eq\f<4,5>.答案：D<2>已知taneq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α＋\f<π,4>>>＝eq\f<1,2>,且－eq\f<π,2>＜α＜0,則eq\f<2sin2α＋sin2α,cos\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<α－\f<π,4>>>>等于<>A．－eq\f<2\r<5>,5>B．－eq\f<3\r<5>,10>C．－eq\f<3\r<1