（網(wǎng)絡(luò)收集版）2025年新課標全國一卷數(shù)學高考真題含答案VIP

2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新1卷）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號，試室號，座位號填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上。2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案。答案不能答在試卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上。1．的虛部為（）A．B．0C．1D．62．設(shè)全集，集合，則中元素個數(shù)為（）A．0B．3C．5D．83．若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（）A．B．2C．D．4．若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（）A．B．C．D．5．設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當時，，則（）A．B．C．D．6.帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中稱為視風風速，視風風速對應(yīng)的向量，是真風風速對應(yīng)的向量與船行風速對應(yīng)的向量之和，其中船行風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反。圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應(yīng)關(guān)系。已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風為（）等級風速大小m/s名稱21.1~3.3輕風33.4~5.4微風45.5~7.9和風58.0~10.1勁風A．輕風B．微風C．和風D．勁風7．若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（）A．B．C．D．8．若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（）A．B．C．D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分。9．在正三棱柱中，D為BC中點，則（）A．B．平面C．平面D．10．設(shè)拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于AB的直線交于E，過點A作準線l的垂線，垂足為D，則（）A．B．C．D．11．已知的面積為，若，則（）A．B．C．D．三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分。12．若直線是曲線的切線，則_________．13．若一個等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為_________．14．一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標號，若有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學期望_________．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.（13分）為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0050.0100.0013.8416.63510.82816．（15分）設(shè)數(shù)列滿足，（1）證明：為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求．17．（15分）如圖所示的四棱錐中，平面ABCD，．（1）證明：平面平面PAD；（2），P，B，C，D在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為O．（i）證明：O在平面ABCD上；（ⅱ）求直線AC與直線PO所成角的余弦值．18．（17分）設(shè)橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．（i）設(shè)，求點R的坐標（用m，n表示）；（ⅱ）設(shè)O為坐標原點，Q是C上的動點，直線OR的斜率為直線OP的斜率的3倍，求的最大值．19．（17分）設(shè)函數(shù)．（1）求在的最大值；（2）給定，設(shè)a為實數(shù)，證明：存在，使得；（3）若存在使得對任意x，都有，求b的最小值．2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（新1卷）注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號，試室號，座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型和考生號填涂在答題卡相應(yīng)位置上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)的題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再填涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上：如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分.每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.1.的虛部為（）A. B.0 C.1 D.6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則以及虛部的定義即可求出.【詳解】因為，所以其虛部為1，故選：C.2.設(shè)全集，集合，則中元素個數(shù)為（）A0 B.3 C.5 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)補集的定義即可求出．【詳解】因為，所以，中的元素個數(shù)為，故選：C．3.若雙曲線C的虛軸長為實軸長的倍，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由題可知雙曲線中的關(guān)系，結(jié)合和離心率公式求解【詳解】設(shè)雙曲線的實軸，虛軸，焦距分別為，由題知，，于是，則，即.故選：D4.若點是函數(shù)的圖象的一個對稱中心，則a的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正切函數(shù)的對稱中心的結(jié)論求解.【詳解】根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，的對稱中心橫坐標滿足，即的對稱中心是，即，又，則時最小，最小值是，即故選：C5.設(shè)是定義在上且周期為2的偶函數(shù)，當時，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)周期性和奇偶性把待求自變量轉(zhuǎn)化為的范圍中求解.【詳解】由題知對一切成立，于是.故選：A6.帆船比賽中，運動員可借助風力計測定風速的大小和方向，測出的結(jié)果在航海學中稱為視風風速，視風風速對應(yīng)的向量，是真風風速對應(yīng)的向量與船行風速對應(yīng)的向量之和，其中船行風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量大小相等，方向相反.圖1給出了部分風力等級、名稱與風速大小的對應(yīng)關(guān)系.已知某帆船運動員在某時刻測得的視風風速對應(yīng)的向量與船速對應(yīng)的向量如圖2（風速的大小和向量的大小相同），單位（m/s），則真風為（）等級風速大小m/s名稱21.1~3.3輕風33.4~5.4微風45.5~7.9和風58.0~10.1勁風A.輕風 B.微風 C.和風 D.勁風【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題目條件和圖寫出視風風速對應(yīng)的向量和船行風速對應(yīng)的向量，求出真風風速對應(yīng)的向量，得出真風風速的大小，即可由圖得出結(jié)論.【詳解】由題意及圖得，視風風速對應(yīng)的向量為：，視風風速對應(yīng)的向量，是真風風速對應(yīng)的向量與船行風速對應(yīng)的向量之和，船速方向和船行風速的向量方向相反，設(shè)真風風速對應(yīng)的向量為，船行風速對應(yīng)的向量為，∴，船行風速：，∴，，∴由表得，真風風速為輕風，故選：A.7.若圓上到直線的距離為1的點有且僅有2個，則r的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出圓心到直線的距離，然后結(jié)合圖象，即可得出結(jié)論.【詳解】由題意，在圓中，圓心，半徑為，到直線的距離為的點有且僅有個，∵圓心到直線的距離為：，故由圖可知，當時，圓上有且僅有一個點（點）到直線的距離等于；當時，圓上有且僅有三個點（點）到直線的距離等于；當則的取值范圍為時，圓上有且僅有兩個點到直線的距離等于.故選：B.8.若實數(shù)x，y，z滿足，則x，y，z的大小關(guān)系不可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】法一：設(shè)，對討論賦值求出，即可得出大小關(guān)系，利用排除法求出；法二：根據(jù)數(shù)形結(jié)合解出.【詳解】法一：設(shè)，所以令，則，此時，A有可能；令，則，此時，C有可能；令，則，此時，D有可能；故選：B．法二：設(shè)，所以，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，易知各方程只有唯一的根，作出函數(shù)的圖象，以上方程的根分別是函數(shù)的圖象與直線的交點縱坐標，如圖所示：易知，隨著的變化可能出現(xiàn)：，，，，故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.在正三棱柱中，D為BC中點，則（）A. B.平面C.平面 D.【答案】BC【解析】【分析】法一：對于A，利用空間向量的線性運算與數(shù)量積運算即可判斷；對于B，利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷；對于C，利用線面平行的判定定理即可判斷；對于D，利用反證法即可判斷；法二：根據(jù)題意建立空間直角坐標系，利用空間向量法逐一分析判斷各選項即可得解.【詳解】法一：對于A，在正三棱柱中，平面，又平面，則，則，因為是正三角形，為中點，則，則又，所以，則不成立，故A錯誤；對于B，因為在正三棱柱中，平面，又平面，則，因為是正三角形，為中點，則，又平面，所以平面，故B正確；對于C，因為在正三棱柱中，又平面平面，所以平面，故C正確；對于D，因為在正三棱柱中，，假設(shè)，則，這與矛盾，所以不成立，故D錯誤；故選：BC.法二：如圖，建立空間直角坐標系，設(shè)該正三棱柱的底邊為，高為，則，對于A，，則，則不成立，故A錯誤；對于BC，，設(shè)平面的法向量為，則，得，令，則，所以，，則平面，平面，故BC正確；對于D，，則，顯然不成立，故D錯誤；故選：BC.10.設(shè)拋物線的焦點為F，過F的直線交C于A、B，過F且垂直于的直線交于E，過點A作準線l的垂線，垂足為D，則（）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，先判斷得直線為拋物線的準線，再利用拋物線的定義即可判斷；對于B，利用三角形相似證得，進而得以判斷；對于C，利用直線的反設(shè)法（法一）與正設(shè)法（法二），聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理與焦點弦公式可判斷C；利用利用三角形相似證得，，結(jié)合焦半徑公式可判斷D.【詳解】法一：對于A，對于拋物線，則，其準線方程為，焦點，則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對于B，過點作準線的垂線，交于點，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯誤；對于C，易知直線的斜率不為，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，易知，則，又，，所以，當且僅當時取等號，故C正確；對于D，在與中，，所以，則，即，同理，又，，所以，則，故D正確.故選：ACD.法二：對于A，對于拋物線，則，其準線方程為，焦點，則為拋物線上點到準線的距離，為拋物線上點到焦點的距離，由拋物線的定義可知，，故A正確；對于B，過點作準線的垂線，交于點，由題意可知，則，又，，所以，所以，同理，又，所以，即，顯然為的斜邊，則，故B錯誤；對于C，當直線的斜率不存在時，；當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立，消去，得，易知，則，所以，綜上，，故C正確；對于D，在與中，，所以，則，即，同理，當直線的斜率不存在時，，；所以，即；當直線的斜率存在時，，，所以，則；綜上，，故D正確.故選：ACD.11.已知的面積為，若，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對由二倍角公式先可推知A選項正確，然后分情況比較和的大小，亦可使用正余弦定理討論解決，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性可推出，然后利用算出取值，最后利用三角形面積求出三邊長，即可判斷每個選項.【詳解】，由二倍角公式，，整理可得，，A選項正確；由誘導公式，，展開可得，即，若，則可知等式成立；若，即，由誘導公式和正弦函數(shù)的單調(diào)性可知，，同理，又，于是，與條件不符，則不成立；若，類似可推導出，則則不成立.綜上討論可知，，即.方法二：時，由，則，于是，由正弦定理，，由余弦定理可知，，則，若，則，注意到，則，于是（兩者同負會有兩個鈍角，不成立），于是，結(jié)合，而都是銳角，則，于是，這和相矛盾，故不成立，則由，由，則，即，則，同理，注意到是銳角，則，不妨設(shè)，則，即，由兩角和差的正弦公式可知，C選項正確由兩角和的正切公式可得，，設(shè)，則，由，則，則，于是，B選項正確，由勾股定理可知，，D選項錯誤.故選：ABC三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.若直線是曲線的切線，則_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算求得切點，進而代入曲線方程即可得解；法二：利用導數(shù)的幾何性質(zhì)與導數(shù)的四則運算得到關(guān)于切點與的方程組，解之即可得解.【詳解】法一：對于，其導數(shù)為，因為直線是曲線的切線，直線的斜率為2，令，即，解得，將代入切線方程，可得，所以切點坐標為，因為切點在曲線上，所以，即，解得.故答案為：.法二：對于，其導數(shù)為，假設(shè)與的切點為，則，解得.故答案為：.13.若一個等比數(shù)列的前4項和為4，前8項和為68，則該等比數(shù)列的公比為_________.【答案】【解析】【分析】法一：利用等比數(shù)列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比數(shù)列的通項公式與前項和的定義，得到關(guān)于的方程，解之即可得解；法三：利用等比數(shù)列的前項和性質(zhì)得到關(guān)于的方程，解之即可得解.【詳解】法一：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，當時，，即，則，顯然不成立，舍去；當時，則，兩式相除得，即，則，解得，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.法二：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，所以，，所以，則，解得，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.法三：設(shè)該等比數(shù)列為，是其前項和，則，設(shè)的公比為，因為，又，所以，解得，所以該等比數(shù)列公比為.故答案為：.14.一個箱子里有5個相同的球，分別以1~5標號，若有放回地取三次，記至少取出一次的球的個數(shù)X，則數(shù)學期望_________.【答案】##【解析】【分析】法一：根據(jù)題意得到的可能取值，再利用分步乘法原理與古典概型的概率公式求得的分布列，從而求得；法二，根據(jù)題意假設(shè)隨機變量，利用對立事件與獨立事件的概率公式求得，進而利用數(shù)學期望的性質(zhì)求得.【詳解】法一：依題意，的可能取值為1、2、3，總的選取可能數(shù)為，其中：三次抽取同一球，選擇球的編號有5種方式，故，：恰好兩種不同球被取出（即一球出現(xiàn)兩次，另一球出現(xiàn)一次），選取出現(xiàn)兩次的球有5種方式，選取出現(xiàn)一次的球有4種方式，其中選取出現(xiàn)一次球的位置有3種可能，故事件的可能情況有種，故，：三種不同球被取出，由排列數(shù)可知事件的可能情有況種，故，所以.故答案為：.法二：依題意，假設(shè)隨機變量，其中：其中，則，由于球的對稱性，易知所有相等，則由期望的線性性質(zhì)，得，由題意可知，球在單次抽取中未被取出的概率為，由于抽取獨立，三次均未取出球概率為，因此球至少被取出一次的概率為：，故，所以故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.為研究某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系，從做過超聲波檢查的人群中隨機調(diào)查了1000人，得到如下列聯(lián)表：超聲波檢查結(jié)果組別正常不正常合計患該疾病20180200未患該疾病78020800合計8002001000（1）記超聲波檢查結(jié)果不正常者患該疾病的概率為P，求P的估計值；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析超聲波檢查結(jié)果是否與患該疾病有關(guān).附，0.0050.0100.0013.8416.63510.828【答案】（1）（2）有關(guān)【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求出；（2）根據(jù)獨立性檢驗的基本思想,求出,然后與小概率值對應(yīng)的臨界值比較,即可判斷.【小問1詳解】根據(jù)表格可知，檢查結(jié)果不正常的人中有人患病，所以的估計值為；【小問2詳解】零假設(shè)為：超聲波檢查結(jié)果與患病無關(guān)，根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得，，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即認為超聲波檢查結(jié)果與患該病有關(guān)，該推斷犯錯誤的概率不超過.16.設(shè)數(shù)列滿足，（1）證明：為等差數(shù)列；（2）設(shè)，求．【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題目所給條件化簡，即可證明結(jié)論；（2）先求出的通項公式，代入函數(shù)并求導，函數(shù)兩邊同乘以，作差并利用等比數(shù)列前項和得出導函數(shù)表達式，即可得出結(jié)論.【小問1詳解】由題意證明如下，，在數(shù)列中，，，∴，即，∴是以為首項，1為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由題意及（1）得，，在數(shù)列中，首項為3，公差為1，∴，即，在中，，∴，當且時，∴，∴∴.17.如圖所示的四棱錐中，平面，．（1）證明：平面平面；（2），，，，在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為．（i）證明：在平面上；（ⅱ）求直線與直線所成角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）（i）證明見解析；（ii）.【解析】【分析】（1）通過證明，，得出平面，即可證明面面垂直；（2）（i）法一：建立空間直角坐標系并表達出各點的坐標，假設(shè)在同一球面上，在平面中，得出點坐標，進而得出點在空間中的坐標，計算出，即可證明結(jié)論；法二：作出的邊和的垂直平分線，找到三角形的外心，求出，求出出外心到，，，的距離相等，得出外心即為，，，所在球的球心，即可證明結(jié)論；（ii）法一：寫出直線和的方向向量，即可求出余弦值.法二：求出的長，過點作的平行線，交的延長線為，連接，，利用勾股定理求出的長，進而得出的長，在中由余弦定理求出，即可求出直線與直線所成角的余弦值.【小問1詳解】由題意證明如下，在四棱錐中，⊥平面，，平面，平面，∴，，∵平面，平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面.【小問2詳解】（i）由題意及（1）證明如下，法一：在四棱錐中，，，，∥，，，建立空間直角坐標系如下圖所示，∴，若，，，在同一個球面上，則，在平面中，∴，∴線段中點坐標，直線的斜率：，直線的垂直平分線斜率：，∴直線的方程：，即，當時，，解得：，∴在立體幾何中，，∵解得：，∴點在平面上.法二：∵，，，在同一個球面上，∴球心到四個點的距離相等在中，到三角形三點距離相等的點是該三角形的外心，作出和的垂直平分線，如下圖所示，由幾何知識得，，，，∴，∴點是的外心，在Rt中，，，由勾股定理得，∴，∴點即為點，，，所在球的球心，此時點在線段上，平面，∴點在平面上.（ii）由題意，（1）（2）（ii）及圖得，，設(shè)直線與直線所成角為，∴.法2：由幾何知識得，，，∥，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，過點作的平行線，交的延長線為，連接，，則，直線與直線所成角即為中或其補角.∵平面，平面，，∴，在Rt中，，，由勾股定理得，，在Rt中，，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，，即：解得：∴直線與直線所成角的余弦值為：.18.設(shè)橢圓的離心率為，下頂點為A，右頂點為B，．（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動點P不在y軸上，點R在射線AP上，且滿足．（i）設(shè)，求點的坐標（用m，n表示）；（ⅱ）設(shè)O為坐標原點，是橢圓上的動點，直線OR的斜率為直線的斜率的3倍，求的最大值．【答案】（1）（2）(ⅰ)(ⅱ)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列出的關(guān)系式,解方程求出,即可得到橢圓的標準方程；（2）(ⅰ)設(shè),根據(jù)斜率相等以及題目條件列式,化簡即可求出或者利用數(shù)乘向量求出；(ⅱ)根據(jù)斜率關(guān)系可得到點的軌跡為圓（除去兩點），再根據(jù)點與圓的最值求法結(jié)合三角換元或者直接運算即可解出.【小問1詳