第2章-離散時(shí)間系統(tǒng)課件

2.1引言問題：

通過考察信號在采樣時(shí)刻的行為，如何把一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)？注意：

1.采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)是一個(gè)時(shí)變系統(tǒng)，本章回避這個(gè)問題，僅研究與計(jì)算機(jī)時(shí)鐘相同步的那些時(shí)刻的信號。

2.面向計(jì)算機(jī)的數(shù)學(xué)模型僅僅給出在采樣點(diǎn)上的特性，而物理過程本身仍是一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。2.1引言2.2連續(xù)時(shí)間信號的采樣采樣意味著“連續(xù)時(shí)間信號由一個(gè)數(shù)值序列所代替，這個(gè)序列代表了某些時(shí)刻的信號值”。過程變量——模擬變換器有關(guān)的采樣——數(shù)值序列——處理后新的數(shù)值序列——轉(zhuǎn)換為連續(xù)時(shí)間信號——作用于過程。(采樣過程重構(gòu)過程)計(jì)算機(jī)接收受控過程在離散時(shí)間上的測量值，并在離散時(shí)間上發(fā)送新的控制信號。描述信號在逐個(gè)樣點(diǎn)上的變化，而不關(guān)心樣點(diǎn)之間的特性。(差分方程)圖2.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的原理框圖2.2連續(xù)時(shí)間信號的采樣采樣意味著“連續(xù)時(shí)間信號由一個(gè)數(shù)值2.3連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間系統(tǒng)的采樣問題：

1.利用A/D和D/A變換器可以把一個(gè)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)和計(jì)算機(jī)連接起來，如何描述這樣的系統(tǒng)？

2.計(jì)算機(jī)里的信號序列{u(tk)}和{y(tk)}，如何尋求這兩個(gè)序列的關(guān)系？把尋找一個(gè)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)相對應(yīng)的離散時(shí)間系統(tǒng)稱為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的采樣，所得到的模型亦稱為頻閃模型。

圖2.2連接有A/D和D/A轉(zhuǎn)換器的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)框圖

2.3連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間系統(tǒng)的采樣問題：圖2.2連接有2.3連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間系統(tǒng)的采樣連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)由下列狀態(tài)空間方程表示：

(2.1)

系統(tǒng)具有r個(gè)輸入，p個(gè)輸出，且階數(shù)為n。系統(tǒng)的零階保持采樣

在計(jì)算機(jī)控制中，普遍的把D/A變換器設(shè)計(jì)成這樣，即在指定下一個(gè)變換之前，它一直保持模擬信號恒定不變。通常，這樣稱之為零階保持電路。2.3連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間系統(tǒng)的采樣連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)由下列狀態(tài)空間采樣時(shí)刻上系統(tǒng)變量之間的關(guān)系當(dāng)給定系統(tǒng)在采樣時(shí)刻tk時(shí)的狀態(tài)，則通過求解方程(2.1)便能得到某個(gè)未來時(shí)刻t的系統(tǒng)狀態(tài)。于是，當(dāng)tk

t

tk+1時(shí)，t時(shí)刻的狀態(tài)為：

(2.2)這樣，t時(shí)刻的狀態(tài)變量向量為x(tk)和u(tk)的線性函數(shù)。如果A/D和D/A變換器是完全同步的，并且變換時(shí)間可以忽略不計(jì)，那么我們可以把輸入u和輸出y看作是在同一瞬間進(jìn)行的采樣。

(2.3)采樣時(shí)刻上系統(tǒng)變量之間的關(guān)系當(dāng)給定系統(tǒng)在采樣時(shí)刻tk時(shí)的狀態(tài)采樣系統(tǒng)在采樣時(shí)刻上的系統(tǒng)方程為：

(2.3)式中，注意：方程(2.3)并不包含任何的近似。由于控制信號在兩個(gè)采樣時(shí)刻之間保持恒定，故方程(2.3)給出了狀態(tài)變量和輸出量在采樣時(shí)刻上的準(zhǔn)確值。把模型(2.3)式稱之為系統(tǒng)(2.1)式的零階保持采樣。式(2.3)也稱之為系統(tǒng)(2.1)的零階保持等價(jià)系統(tǒng)。采樣系統(tǒng)在采樣時(shí)刻上的系統(tǒng)方程為：均勻采樣的離散時(shí)間系統(tǒng)對于周期為h的周期采樣，有：tk=k

h，這時(shí)，式(2.3)表示的模型便可以簡化成時(shí)不變系統(tǒng)：

(2.4)式中：

(2.5)由式(2.5)得：

均勻采樣的離散時(shí)間系統(tǒng)矩陣

和

滿足方程：注意：單位矩陣I的維數(shù)等于輸入信號的個(gè)數(shù)。采樣周期h，矩陣

(h)和

(h)可以由下面的方陣得到：

(2.6)矩陣和滿足方程：如何計(jì)算

和

下面給出可以采用的五種方法：Matlab中的數(shù)值計(jì)算；矩陣指數(shù)級數(shù)展開；Laplace變換；凱萊-哈密頓(Cayley-Hamiton)定理；變換成對角型或者約當(dāng)型。如果n2，矩陣

和

：

如何計(jì)算和下面給出可以采用的五種方法：例1：一階連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：應(yīng)用式(2.5)，得到：因此，采樣系統(tǒng)變?yōu)椋豪?：一階連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：例2雙重積分器雙重積分器的微分方程為：令y=x1，=x2，其狀態(tài)空間表達(dá)式為：得到：雙重計(jì)分器的離散時(shí)間模型為：(2.7)例2雙重積分器(2.7)采樣之逆問題：從離散時(shí)間描述中獲取相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是否可能？需要滿足什么條件下才使可能的？采樣之逆問題：考察一階差分方程：從例子1中發(fā)現(xiàn)，相應(yīng)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是從：得到：表明：當(dāng)a>0時(shí)，才能得到一個(gè)具有實(shí)系數(shù)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)。一般情況下，從式(2.6)可以得到：此處的ln(

)為矩陣對數(shù)函數(shù)。表明：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)可由對一個(gè)方陣取它的矩陣對數(shù)得到。當(dāng)矩陣

在負(fù)實(shí)軸上沒有特征值時(shí)。對數(shù)才唯一存在?？疾煲浑A差分方程：具有時(shí)延的系統(tǒng)的采樣在工業(yè)過程的數(shù)學(xué)模型中，時(shí)間延遲是很常見的。由于具有時(shí)間延時(shí)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)是無限維系統(tǒng)，所以這種系統(tǒng)的理論十分復(fù)雜。設(shè)系統(tǒng)描述為：(2.8)第1種情況：

h圖2.3

u(t)、u(t-

)和h之間的關(guān)系具有時(shí)延的系統(tǒng)的采樣在工業(yè)過程的數(shù)學(xué)模型中，時(shí)間延遲是很常見先計(jì)算系統(tǒng)(2.8)的零階保持采樣。式(2.8)在一個(gè)采樣周期上的積分為：(2.9)信號u(t)在整個(gè)采樣間隔上是分段恒定的，故，延遲信號u(t-

)也是分段恒定的；2.延遲信號在各個(gè)采樣時(shí)刻之間會(huì)有變化。要計(jì)算式(2.9)的積分項(xiàng)，方便的辦法是：把積分區(qū)間分成兩部分，使得u(t-

)在每一部分中都是恒定的，即：先計(jì)算系統(tǒng)(2.8)的零階保持采樣。(2.9)信號u(t)在連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(2.8)的采樣系統(tǒng)為：

(2.10)式中：(2.11)

式(2.10)的狀態(tài)空間模型為：注意：1.引入了r個(gè)狀態(tài)變量u(kh-h)，它表示為控制信號的先前值。2.連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(2.8)是無限維的，但對應(yīng)的采樣系統(tǒng)卻是有限維的。3.要想規(guī)定系統(tǒng)的狀態(tài)，就必須在整個(gè)等于時(shí)間延遲的時(shí)間區(qū)間上存儲輸入信號。4.應(yīng)用零階保持重構(gòu)法，輸入信號總可以用有限數(shù)目的采樣之來表示連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)(2.8)的采樣系統(tǒng)為：(2.10)式中：(2長時(shí)間的延遲第2種情況：

>h設(shè)：其中，d為常數(shù)，于是可以導(dǎo)出如下方程：式中，

0和

1由式(2.11)確定，但需要用

代替原來式中的

對應(yīng)的狀態(tài)空間描述為：

(2.12)

注意：如果

>0，那么，額外的引入了d

r個(gè)狀態(tài)變量來描述時(shí)間延遲，這里r是輸入的個(gè)數(shù)。狀態(tài)空間描述的特征多項(xiàng)式為

drA(

)，其中A(

)為矩陣

的特征多項(xiàng)式。長時(shí)間的延遲第2種情況：>h其中，d為常數(shù)，于是可以例3簡單的造紙機(jī)模型

模型的狀態(tài)方程為：采樣間隔h=1。d=3，

=0.6。根據(jù)(2.12)，可得：其中：

例3簡單的造紙機(jī)模型模型的狀態(tài)方程為：采樣間隔h=1。具有內(nèi)部時(shí)延的系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)由下列方程描述：

(2.13)

圖2.4具有內(nèi)部時(shí)間延遲的系統(tǒng)

具有內(nèi)部時(shí)延的系統(tǒng)設(shè)系統(tǒng)由下列方程描述：(2.13)圖2假設(shè)，u(t)在采樣區(qū)間h上分段恒定?，F(xiàn)在，試圖找出x1(kh)和x2(kh)的遞歸方程。對系統(tǒng)(2.13)進(jìn)行采樣，當(dāng)

=0，且采樣區(qū)間h，得到分塊系統(tǒng)：定理：內(nèi)部時(shí)間延遲對系統(tǒng)(2.13)以采樣區(qū)間為h，且0<

h進(jìn)行的周期性采樣，得到的采樣數(shù)據(jù)表達(dá)式為：(2.14)

假設(shè)，u(t)在采樣區(qū)間h上分段恒定。定理：(2.14)(2.14)

式中，(2.15)注意：具有時(shí)間延遲

的采樣數(shù)據(jù)系統(tǒng)(2.14)是由對系統(tǒng)(2.13)采樣而得到的，其中采樣間隔h、

h、

之間無時(shí)間延遲。這樣，相對于所需的采樣時(shí)間間隔給出了

1、

2、

21、

1、

2。這意味著應(yīng)用采樣系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)軟件就可得到式(2.14)。(2.14)式中，(2.15)注意：2.4

離散時(shí)間系統(tǒng)集中討論差分方程的特性。時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)可以用差分方程來表示：(2.16)

為了簡單起見，采樣時(shí)間取作單位時(shí)間，即h=1。系統(tǒng)方程的解為了分析離散時(shí)間系統(tǒng)，需要解系統(tǒng)方程(2.16)。假設(shè)初始條件x(k0)，輸入信號u(k0),

u(k0+1)，…均為已知。那么，狀態(tài)如何演變呢？2.4離散時(shí)間系統(tǒng)集中討論差分方程的特性。(2.16)為通過下列簡單的迭代法可以求解式(2.16)：(2.17)

上述的解包括有兩個(gè)部分：一個(gè)依賴于初始條件；另一個(gè)為輸入信號的加權(quán)和。通過下列簡單的迭代法可以求解式(2.16)：(2.17)上例4差分方程的解考察離散時(shí)間系統(tǒng)：已知x(0)=[11]T，很容易證得：如果

i

<1，i=1，2，則x(k)將收斂于原點(diǎn)。如果

的一個(gè)特征值的絕對值大于1，則會(huì)有一個(gè)或兩個(gè)狀態(tài)均發(fā)散。例4差分方程的解考察離散時(shí)間系統(tǒng)：已知x(0)=[12.5狀態(tài)空間模型的坐標(biāo)系變換考察離散時(shí)間系統(tǒng)(2.16)，討論如何引進(jìn)新的坐標(biāo)系。(2.16)

假設(shè)T是一個(gè)非奇異矩陣，且定義新的狀態(tài)向量z(k)=Tx(k)，則：且：狀態(tài)空間表示取決于表示狀態(tài)所選擇的坐標(biāo)系。

2.5狀態(tài)空間模型的坐標(biāo)系變換考察離散時(shí)間系統(tǒng)(2.16)定理2.2

特征方程的不變量當(dāng)通過非奇異變換矩陣T來引入新的狀態(tài)變量時(shí)，特征方程：保持不變。證明：尋找一個(gè)變化矩陣，就如同從線性方程組：中解出T的n2個(gè)元素。可以選擇合適的坐標(biāo)變換，以便獲得形式簡單的系統(tǒng)方程。定理2.2保持不變。證明：尋找一個(gè)變化矩陣，就如同從線性

對角型假設(shè)

的具有相異的特征值，那么存在矩陣T，使得：成立。式中，

i為矩陣

的特征值，矩陣T的計(jì)算以后討論。得到一組解耦的一階差分方程：上述方程組的解就很簡單，每一種振型都具有如下形式的解：(2.18)對角型假設(shè)的具有相異的特征值，那么存在矩陣T，使得：成立

約當(dāng)型如果

具有多重特征值，則通常

無法對角化。設(shè)

是一個(gè)n

n的矩陣，則引入表示式：式中，Lk為k

k的矩陣，于是存在矩陣T使得：(2.19)

式中，k1+k2+

+kr=n。

i矩陣

的特征值，它們未必是相異的。方程(2.19)稱作為約當(dāng)型。約當(dāng)型如果具有多重特征值，則通常無法對角化。式中，Lk2.6輸入－輸出模型1.脈沖響應(yīng)函數(shù)在單輸入－單輸出的離散時(shí)間系統(tǒng)中，在一個(gè)有限區(qū)間上的輸入和輸出信號，可用下列有限維的向量來表示：把向量Y和U關(guān)聯(lián)起來的一般線型模型便可寫成：其中是N

N矩陣，Yp是考慮初始條件的結(jié)果。2.6輸入－輸出模型1.脈沖響應(yīng)函數(shù)把向量Y和U關(guān)聯(lián)起如果Y與U有因果關(guān)系，那么，一定是下三角矩陣，它的元素在m>k時(shí)為零。于是普通線性系統(tǒng)的輸入和輸出關(guān)系便可以寫成：函數(shù)稱為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)其中yp一項(xiàng)表示考慮了系統(tǒng)的初始條件的結(jié)果。說明：對于零初始條件，脈沖響應(yīng)的取值表示在m時(shí)刻上的單位脈沖在k時(shí)刻產(chǎn)生的輸出。對于多輸入和多輸出系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)就直接是一個(gè)簡單的矩陣值函數(shù)。對于是不變系統(tǒng)，脈沖響應(yīng)只是k－m的函數(shù)，即：如果Y與U有因果關(guān)系，那么，一定是下三角矩陣，它的元素其因此，可得：離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為：性質(zhì)（脈沖響應(yīng)的不變量）離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)與狀態(tài)空間模型的坐標(biāo)變換無關(guān)。因此，可得：離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為：性質(zhì)（脈沖響應(yīng)的不脈沖傳遞算子位移算子運(yùn)算法把系統(tǒng)看成是輸入信號映射到輸出信號的一種算子。該算子運(yùn)算中，所有的信號都是看成是雙向無限序列，采用周期為單位采樣。正向平移算子用符號q表示：后向平移算子用符號q－1表示：性質(zhì)：位移算子具有單位范數(shù)。脈沖傳遞算子應(yīng)用平移算子簡化高階差分方程的運(yùn)算，考慮方程：其中，d＝na－nb，稱為系統(tǒng)的極點(diǎn)盈數(shù)，

na

nb。應(yīng)用平移算子可得：如果引入多項(xiàng)式：和上述差分方程可以表示為：應(yīng)用平移算子簡化高階差分方程的運(yùn)算，考慮方程：其中，d＝n同樣，如果采用后向平移算子，上述差分方程可以寫成：把多項(xiàng)式A的系數(shù)順序反過來就獲得下列多項(xiàng)式：該多項(xiàng)式稱之為互反多項(xiàng)式，引入互反多項(xiàng)式后，系統(tǒng)可以寫成：平移算子何時(shí)可以進(jìn)行乘法，除法，加法和減法的運(yùn)算呢？同樣，如果采用后向平移算子，上述差分方程可以寫成：把多項(xiàng)式A如果成立，那么，是否亦成立？需要條件嗎？舉例說明：考慮差分方程：采用平移算子表示為：可得解為：如果采用迭代結(jié)果，如果y(k0)=y0，得到方程的解為：由于q－1具有單位范數(shù)，等式右邊可以表示為收斂級數(shù)：顯然，兩種結(jié)果不一致。采用迭代結(jié)果，如果y(k0)=y0，得到方程的解為：由于q注意：如果假設(shè)存在某個(gè)k0，使得k

k0時(shí)的序列全部為零，那么就有可能建立一個(gè)算子代數(shù)學(xué)，它允許除以q的任意多項(xiàng)式。也就是說，當(dāng)差分方程的初始條件為零時(shí)，可以進(jìn)行代數(shù)學(xué)的運(yùn)算。（2）脈沖傳遞算子采用算子演算可以很方便的把輸入－輸出關(guān)系表示成正向平移算子或者后向平移算子的有理函數(shù)，這種有理函數(shù)稱為脈沖傳遞算子。根據(jù)狀態(tài)空間模型，可得：因此，注意：（2）脈沖傳遞算子因此，從而導(dǎo)出：于是系統(tǒng)的脈沖傳遞算子為：同樣，系統(tǒng)的脈沖傳遞算子也可以用后向平移算則表示為：性質(zhì)（脈沖傳遞算子的不變量）離散時(shí)間系統(tǒng)的脈沖傳遞算子H(q)與狀態(tài)空間模型的坐標(biāo)變換無關(guān)。從而導(dǎo)出：于是系統(tǒng)的脈沖傳遞算子為：同樣，系統(tǒng)的脈沖傳遞算子第2章--離散時(shí)間系統(tǒng)課件第2章--離散時(shí)間系統(tǒng)課件第2章--離散時(shí)間系統(tǒng)課件3脈沖傳遞函數(shù)（1）z變換它是一種研究帶初始條件和不帶初始條件的線性差分方程的便利工具。將一個(gè)半無限的時(shí)間序列映射為一個(gè)復(fù)變量的函數(shù)。說明平移算子和z變換變量范圍。算子運(yùn)算考慮的是雙無限時(shí)間序列，z變換考慮的是半無限時(shí)間序列。初始條件。z變換考慮初始條件，變量z為復(fù)變量。形式。平移算子演算與z變換計(jì)算形式上非常緊密，處理差分方程可以任選其一。q是一個(gè)作用與序列的算子，z是一個(gè)復(fù)變量。從純數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)來說，可以明顯的看出兩者的不同，在舉例2中說明。3脈沖傳遞函數(shù)（1）z變換定義z變換：考慮離散時(shí)間信號{f(kh)：k=0,1,…}，z變換定義為：其中，

z是復(fù)變量，f的z變換記作為Zf或者F。z反變換定義為：式中，積分周線包含F(xiàn)(z)的全部奇點(diǎn)。定義z變換：考慮離散時(shí)間信號{f(kh)：k=0,1,…z變換的性質(zhì)線性性質(zhì)：時(shí)移性質(zhì)：卷積性質(zhì)：z變換的性質(zhì)線性性質(zhì)：時(shí)移性質(zhì)：卷積性質(zhì)：初值定理：終值定理：如果(1－z－1)F(z)在單位圓上或者在單位圓外沒有任何極點(diǎn)的話，那么初值定理：終值定理：（2）脈沖傳遞函數(shù)差分方程：如果對等式兩邊取z變換，可得：因此：且（2）脈沖傳遞函數(shù)差分方程：如果對等式兩邊取z變換，可得：離散系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)與脈沖傳遞函數(shù)是z變換對，即：Z{h(k)}=H(z))系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞算子與脈沖傳遞函數(shù)形式相同，但是含義不同。離散系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)與脈沖傳遞函數(shù)是z變換對，即：系統(tǒng)的脈沖傳離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算根據(jù)連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)來直接確定脈沖傳遞函數(shù)。設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為G(s)，它前面接一個(gè)零階保持器。脈沖傳遞函數(shù)由給定的信號的響應(yīng)所惟一確定。圖連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的采樣步驟如下：1）確定傳遞函數(shù)G(s)的系統(tǒng)的階躍響應(yīng)。2）確定相應(yīng)的階躍響應(yīng)的z變換。3）用階躍函數(shù)的z變換除。離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算根據(jù)連續(xù)時(shí)間傳遞函數(shù)來直接確定脈沖通過使用上述方法，就可以推導(dǎo)下面的表達(dá)式：如果對于一個(gè)大數(shù)值的s來說，傳遞函數(shù)G(s)以至少等于

s

－1的遞減速率趨于零，并有相異的均不在原點(diǎn)的極點(diǎn)，則得到：式中，si為G(s)的極點(diǎn)，Res表示為殘數(shù)。通過使用上述方法，就可以推導(dǎo)下面的表達(dá)式：如果對于一個(gè)大數(shù)值舉例1（脈沖傳遞函數(shù)的計(jì)算）：考察一個(gè)單位階躍輸入，這樣序列{u(kh)}是1的