重慶市部分學(xué)校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

重慶市高二數(shù)學(xué)考試注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊(cè)第五章，選擇性必修第三冊(cè)．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.現(xiàn)有3幅不同的油畫，4幅不同的國畫，3幅不同的水彩畫，從這些畫中選一幅布置房間，則不同的選法共有（）A.10種 B.12種 C.20種 D.36種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理求得正確答案.【詳解】依題意，不同的選法共有種.故選：A2.某物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其位移（單位：m）與時(shí)間t（單位：s）之間關(guān)系為，則在這段時(shí)間內(nèi)，該物體位移的平均速度為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均速度的求法求得正確答案.【詳解】，所以平均速度為.故選：B3.隨機(jī)變量的分布列為123n則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出，再根據(jù)方差公式可求出結(jié)果.【詳解】由，得，，.故選：A4.已知函數(shù)，且，則（）A.0 B.1 C.2 D.【答案】B【解析】【分析】先求得，由得，再求即可.【詳解】由得，由得，即，，故選：B5.用0，1，2，3，4可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A.16 B.36 C.48 D.60【答案】C【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求出結(jié)果.【詳解】第一步，從中任選一個(gè)數(shù)字排在百位，有種；第二步，從剩下的個(gè)數(shù)字中任選個(gè)排在十位和個(gè)位，有種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得共有個(gè)無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).故選：C6.某小區(qū)物業(yè)在該小區(qū)一個(gè)廣場(chǎng)布置了一個(gè)如圖所示的圓形花壇，花壇分為5個(gè)區(qū)域．現(xiàn)有6種不同的花卉可供選擇，要求相鄰的區(qū)域（有公共邊）不能布置相同的花卉，且每個(gè)區(qū)域只布置一種花卉，則不同的布置方案有（）A.720種 B.1440種 C.1560種 D.2520種【答案】C【解析】【分析】先對(duì)圖中不同的區(qū)域命名，分與布置相同的花卉、與布置不同的花卉兩種情況，再運(yùn)用分步計(jì)數(shù)和分類計(jì)數(shù)的方法從開始計(jì)數(shù)即可.【詳解】如圖，不同的布置方案分兩類：當(dāng)與布置相同的花卉時(shí)，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有5種不同的選擇；再安排，有4種不同的選擇；最后安排，有4種不同的選擇，共有種.當(dāng)與布置不同的花卉時(shí)，先安排，有6種不同的選擇；再安排與，有種不同的選擇；再安排,有3種不同的選擇；最后安排，有3種不同的選擇，共有種.所以不同的布置方案有種.故選：C7.已知是定義在R上的奇函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)為，若恒成立，則的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】令函數(shù)，則，因?yàn)樗?是增函數(shù)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，，所以的解集為，即≥的解集為；故選：D.8.已知，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可得a，b，c的大?。驹斀狻苛?，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，?故選：D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知名同學(xué)排成一排，下列說法正確的是（）A.甲不站兩端，共有種排法B.甲、乙必須相鄰，共有種排法C.甲、乙之間恰有兩人，共有種排法D.甲不排左端，乙不排右端，共有種排法【答案】ACD【解析】【分析】A選項(xiàng)先排甲，再排其他人即可判斷；B選項(xiàng)利用捆綁法進(jìn)行排序；C選項(xiàng)先排列兩人在甲乙之間，再排列其余兩人；D選項(xiàng)采用間接法進(jìn)行排列計(jì)算.【詳解】甲不站兩端，優(yōu)先將甲排在中間四個(gè)位置，故有種排法，A正確；甲、乙必須相鄰，用捆綁法進(jìn)行排列，共有種排法，B錯(cuò)誤；甲、乙之間恰有兩人，先其余四人任選兩人排在甲乙之間，剩余兩人可排在甲或乙旁邊，也可分別排列在甲乙兩邊，共有種排列法，C正確；名同學(xué)排成一排共有種排法，甲排左端有種排法，乙排右端有排法，其中甲乙同時(shí)在左右兩端有種，故用間接法可知甲不排左端，乙不排右端共有種排法，D正確.故選：ACD10.已知為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.C.若B和C是兩個(gè)互斥事件，則D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)條件概率的公式和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋裕瓵正確．，B錯(cuò)誤．若B和C是兩個(gè)互斥事件，則，C正確．因?yàn)?，所以．，D正確．故選：ACD.11.已知，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，令，由此即可判斷；對(duì)于BD，因?yàn)?，然后根?jù)二項(xiàng)式定理分別求出，由此即可判斷；對(duì)于D，分別令，聯(lián)立化簡即可判斷.【詳解】對(duì)于A，令，則，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，則，令，則，所以，故C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)B可知，，，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.在上單調(diào)遞增B.的最大值為1C.當(dāng)時(shí)，D.若函數(shù)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于選項(xiàng)AB，通過對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，直接求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值，即可判斷出選項(xiàng)AB的正誤；對(duì)選項(xiàng)C，通過構(gòu)造函數(shù)，利用的單調(diào)性即可判斷出選項(xiàng)C的正誤；對(duì)于選項(xiàng)D，令，從而得到，再利用的單調(diào)性即可判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)AB，易知的定義域?yàn)?，，所以，?dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C，令，則，因?yàn)?，所以，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，即，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，令，由，得到，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于0，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以時(shí)，恒有，所以，如圖1，當(dāng)或時(shí)，無解，則無零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，由，得到，即時(shí)，則有且只有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)解，因?yàn)?，如圖2，有且僅有兩解，，無解，則有且兩個(gè)零點(diǎn)，符合題意；所以恰有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的相關(guān)問題，利用導(dǎo)數(shù)和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想來求解．這類問題求解的通法是：（1）構(gòu)造函數(shù)，這是解決此類題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)，并求其定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)，得單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；（3）數(shù)形結(jié)合，挖掘隱含條件，確定函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)情況進(jìn)而求解．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知隨機(jī)變量，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式求解即可．【詳解】因?yàn)?，所?故答案：14.某科研院校培育枇杷新品種，新培育的枇杷單果質(zhì)量（單位：g）近似服從正態(tài)分布，現(xiàn)有該新品種枇杷100000個(gè)，估計(jì)單果質(zhì)量不低于28g的枇杷有______個(gè).附：若，則，，.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布特殊區(qū)間的概率可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，，所以，所以估?jì)單果質(zhì)量不低于28g的枇杷有個(gè).故答案為：.15.已知函數(shù)，直線．若A，B分別是曲線和直線l上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是__________【答案】【解析】【分析】求出與平行的切線為，從而得到與的距離即為的最小值，得到答案.【詳解】，設(shè)在點(diǎn)處的切線與平行，即斜率為-2，所以，解得，則在點(diǎn)處的切線方程為，即則與的距離即為的最小值，即，故的最小值為.故答案為：16.某地區(qū)一個(gè)家庭中孩子個(gè)數(shù)的情況如下：1230每個(gè)孩子的性別是男是女的概率均為，且相互獨(dú)立，則一個(gè)家庭中男孩比女孩多的概率為________．【答案】【解析】【分析】家庭孩子個(gè)數(shù)不同將其分為4個(gè)互斥事件，在每個(gè)互斥事件的條件下發(fā)生男孩比女孩多的事件可用條件概率計(jì)算，再用全概率計(jì)算家庭中男孩比女孩多的概率.【詳解】記事件：“一個(gè)家庭有個(gè)孩子”，事件：“一個(gè)家庭的男孩比女孩多”．，，，由全概率公式得:．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知函數(shù)．曲線在處的切線方程是．（1）求的值；（2）求的極值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)后，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求解即可；（2）由（1）知，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而可求解.【小問1詳解】，所以曲線在處的切線斜率為，又，因?yàn)樵谔幥芯€的方程為，所以，解得.【小問2詳解】由（1）知，令得或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.18.某校為校級(jí)元旦晚會(huì)選拔主持人，現(xiàn)有來自高一年級(jí)的參賽選手5名，其中男生2名：高二年級(jí)的參賽選手5名，其中男生3名.從這10名參賽選手中隨機(jī)選擇4人組成搭檔參賽.（1）設(shè)事件A為“選出的4人中恰有2名男生，且這2名男生來自同一個(gè)年級(jí)”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)為選出的4人中男生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列.【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式即可求得答案；（2）確定X的可能取值，求出每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列.【小問1詳解】由題意可知，從這10名參賽選手中隨機(jī)選擇4人組成搭檔參賽共有種選法，事件A選法共有種，故.【小問2詳解】由題意知X的取值可能為，由于，故X的分布列為：X01234P19.某數(shù)師某天需要給甲、乙2個(gè)班級(jí)上課，每個(gè)班級(jí)上1節(jié)課，已知一天共7節(jié)課，上午4節(jié)，下午3節(jié)．（1）若要求該教師先給甲班上課，再給乙班上課，試問不同的課表安排有多少種？（2）若要求該教師不能連上節(jié)課（第4節(jié)和第5節(jié)不算連上），試問不同的課表安排有多少種？【答案】（1）種（2）種【解析】【分析】（1）根據(jù)組合數(shù)的知識(shí)求得正確答案.（2）利用對(duì)立事件的方法，結(jié)合排列數(shù)求得正確答案.【小問1詳解】若要求該教師先給甲班上課，再給乙班上課，則不同的課表安排有種.【小問2詳解】如果沒有特殊要求，則排課方法有種，其中連上節(jié)課的可能是節(jié)、節(jié)、節(jié)、節(jié)，節(jié)，則連上節(jié)課的方法數(shù)有種，所以不連上節(jié)課的方法有種.20.為慶祝共青團(tuán)成立一百周年，某校高二年級(jí)組織了一項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，有三個(gè)問題.規(guī)則如下：只有答對(duì)當(dāng)前問題才有資格回答下一個(gè)問題，否則停止答題：小明是否答對(duì)三個(gè)問題相互獨(dú)立，答對(duì)三個(gè)問題的概率及答對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的榮譽(yù)積分如下表：問題答對(duì)的概率獲得的榮譽(yù)積分（1）若小明隨機(jī)選擇一道題，求小明答對(duì)的概率；（2）若小明按照的順序答題所獲得的總積分為，按照___________（在下列條件①②③中任選一個(gè)）的順序答題所獲得的總積分為，請(qǐng)分別求的分布列，并比較它們數(shù)學(xué)期望的大小.①；②：③注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)全概率公式計(jì)算可求得結(jié)果；（2）首先確定和所有可能的取值，根據(jù)獨(dú)立事件概率乘法公式依次確定每個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率，由此可得分布列；根據(jù)數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式可得期望，從而得到數(shù)學(xué)期望的大小關(guān)系.【小問1詳解】記事件：小明隨機(jī)選擇一道題并答對(duì)；事件：小明選擇問題；事件：小明選擇問題；事件：小明選擇問題；則，且兩兩互斥；事件分別為：小明答對(duì)問題；由題意知：，，，；.【小問2詳解】由題意知：所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望；若選條件①，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望，；若選條件②，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望；；若選條件③，所有可能的取值為，；；；；的分布列為：則數(shù)學(xué)期望；.21.甲，乙兩人進(jìn)行了一次羽毛球比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利比賽結(jié)束．假設(shè)在一局比賽中若甲先發(fā)球，則這局甲獲勝的概率是；若乙先發(fā)球，則這局比賽甲獲勝的概率是．已知第1局比賽甲先發(fā)球，以后每局比賽由前1局獲勝的一方先發(fā)球，且各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．每局比賽都分出勝負(fù)．（1）求比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率；（2）記比賽結(jié)束后，甲獲勝的局?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，期望為.【解析】【分析】（1）分兩種情況（甲獲勝和乙獲勝）討論，利用獨(dú)立事件的概率公式求解；（2）由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，再求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.【小問1詳解】比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的情況有兩種：第一種情況是甲3：0獲勝，其概率，第二種情況是乙3：0獲勝，其概率，故比賽只進(jìn)行3局就結(jié)束的概率.【小問2詳解】由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3．，，，，，則X的分布列為X0123P故22.已知函數(shù)，．（1）判斷和的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）求得，分和，兩種情況討論，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；再求得，令，求得，得到的單調(diào)性與最大值，進(jìn)而求得的單調(diào)性；（2）根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為在內(nèi)恒成立，令，求得，再，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，進(jìn)而得到在和中各存唯一的，使得，