課時(shí)21864-7.4.2超幾何分布教學(xué)設(shè)計(jì)-7.4.2超幾何分布

7.4.2超幾何分布本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊(cè)》，第七章《隨機(jī)變量及其分布列》，本節(jié)課主本節(jié)課主要學(xué)習(xí)超幾何分布。超幾何分布是一類應(yīng)用廣泛的概率模型，常常與二項(xiàng)分布問(wèn)題綜合運(yùn)用，本節(jié)是學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了隨機(jī)事件、等可能事件概率、互斥事件概率、條件概率和相互獨(dú)立事件概率的求法、也學(xué)習(xí)了分布列的有關(guān)內(nèi)容。它是對(duì)前面所學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用。節(jié)課是從實(shí)際出發(fā)，通過(guò)抽象思維，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而認(rèn)知數(shù)學(xué)理論，應(yīng)用于實(shí)際的過(guò)程。課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解超幾何分布,能夠判定隨機(jī)變量是否服從超幾何分布;B.能夠利用隨機(jī)變量服從超幾何分布的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題,會(huì)求服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值.1.數(shù)學(xué)抽象：超幾何分布的概念2.邏輯推理：超幾何分布與二項(xiàng)分布的聯(lián)系與區(qū)別3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：超幾何分布的有關(guān)計(jì)算4.數(shù)學(xué)建模：模型化思想重點(diǎn)：超幾何分布的概念及應(yīng)用難點(diǎn)：超幾何分布與二項(xiàng)分布的區(qū)別與聯(lián)系多媒體教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)探究新知問(wèn)題1：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.（1）：采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布嗎？采用有放回抽樣，則每次抽到次品的概率為0.08，且各次抽樣的結(jié)果相互獨(dú)立,此時(shí)X服從二項(xiàng)分布,即X～B(4，0.08).（2）：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么？不服從，根據(jù)古典概型求X的分布列.解：從100件產(chǎn)品中任取4件有C1004種不同的取法，從100件產(chǎn)品中任取4件，次品數(shù)X可能取0,1,2,3,4.恰有k件次品的取法有由古典概型的知識(shí)，得隨機(jī)變量X的分布列為X01234P超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品．從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，則稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布．1.公式中個(gè)字母的含義N—總體中的個(gè)體總數(shù)M—總體中的特殊個(gè)體總數(shù)(如次品總數(shù))n—樣本容量k—樣本中的特殊個(gè)體數(shù)(如次品數(shù))2.求分布列時(shí)可以直接利用組合數(shù)的意義列式計(jì)算,不必機(jī)械記憶這個(gè)概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用組合數(shù)列式.4.各對(duì)應(yīng)的概率和必須為1.二、典例解析例1.一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格，隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.解:設(shè)X表示抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù),則X服從超幾何分布,且N=30，M=3,n=10.因此，分布列為另解，例2.PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動(dòng)力學(xué)當(dāng)量直徑小于或等于2.5微米的可入肺顆粒物,根據(jù)現(xiàn)行國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB3095－2012,PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí);在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo).從某自然保護(hù)區(qū)2018年全年每天的PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中隨機(jī)地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本,監(jiān)測(cè)值頻數(shù)如下表(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)中,隨機(jī)抽出3天,求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級(jí)的概率；(2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù),記X表示抽到PM2.5監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù),求X的分布列．由條件知，X服從超幾何分布，隨機(jī)變量X可能取值為0，1，2，3（1）當(dāng)研究的事物涉及二維離散型隨機(jī)變量(如：次品、兩類顏色等問(wèn)題）時(shí)的概率分布可視為一個(gè)超幾何分布；（2）在超幾何分布中，只要知道參數(shù)N，M，n就可以根據(jù)公式求出X取不同值時(shí)的概率．探究：服從超幾何分布的隨機(jī)變量的均值是什么?設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù).令p=MN，則p是N件產(chǎn)品的次品率，而XE(xn超幾何分布的均值設(shè)隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則X可以解釋為從包含M件次品的N件產(chǎn)品中，不放回地隨機(jī)抽取n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．令p＝eq\f(M,N)，則E(X）＝__np_．例3.一袋中有100個(gè)大小相同的小球,其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1).分別就有放回和不放回摸球，求X的分布列;(2).分別就有放回和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過(guò)0.1的概率.解:(1)對(duì)于有放回摸球,由題意知??~??(20,0.4),??的分布列為對(duì)于不放回摸球,由題意知??服從超幾何分布，??的分布列為（2）樣本中黃球的比例是一個(gè)隨機(jī)變量有放回摸球：P(|f20不放回摸球：P(|f20因此，在相同的誤差限制下，采用不放回摸球估計(jì)的結(jié)果更可靠些。0.050.0500.100.150.200.25兩種摸球方式下,隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布和超幾何分布.這兩種分布的均值相等都等于8.但從兩種分布的概率分布圖看,超幾何分布更集中在均值附近.當(dāng)n遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于N時(shí)，每次抽取一次,對(duì)N的影響很小.此時(shí)，超幾何分布可以用二項(xiàng)分布近似.二項(xiàng)分布與超幾何分布區(qū)別和聯(lián)系1.區(qū)別：一般地,超幾何分布的模型是“取次品”是不放回抽樣,而二項(xiàng)分布的模型是“獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)”對(duì)于抽樣,則是有放回抽樣.2.聯(lián)系：當(dāng)次品的數(shù)量充分大,且抽取的數(shù)量較小時(shí),即便是不放回抽樣,也可視其為二項(xiàng)分布.通過(guò)具體的問(wèn)題情境，引發(fā)學(xué)生思考積極參與互動(dòng)，說(shuō)出自己見解。從而引入超幾何分布的概念，發(fā)展學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過(guò)問(wèn)題分析，讓學(xué)生掌握超幾何分布的概念及其特點(diǎn)。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。通過(guò)典例解析，在具體的問(wèn)題情境中，深化對(duì)超幾何分布的理解。發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。二、達(dá)標(biāo)檢測(cè)練習(xí)1：學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來(lái)自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.練習(xí)2：50張彩票中只有2張中獎(jiǎng)票，今從中任取n張，為了使這n張彩票里至少有一張中獎(jiǎng)的概率大于0.5，n至少為多少？練習(xí)3：在一次購(gòu)物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品，有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品;其余6張沒(méi)有獎(jiǎng)品.(1)顧客甲從10張獎(jiǎng)券中任意抽取1張，求中獎(jiǎng)次數(shù)X的分布列；(2)顧客乙從10張獎(jiǎng)券中任意抽取2張，①求顧客乙中獎(jiǎng)的概率；②設(shè)顧客乙獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值Y元，求Y的分布列．練習(xí)4：袋中裝有大小相同的2個(gè)白球和3個(gè)黑球．采取不放回抽樣方式，從中依次摸出兩個(gè)球，記X為摸出的兩球中白球的個(gè)數(shù)，求X的分布列，并求至少有一個(gè)白球的概率．練習(xí)5：一袋中有7個(gè)大小相同的小球，其中有2個(gè)紅球,3個(gè)黃球，2個(gè)藍(lán)球，從中任取3