圓的一般方程高二數(shù)學(xué)精講課件（人教A版2019選擇性）

2.4

圓的方程2.4.2

圓的一般方程

LET’SSTART思考我們知道，方程(x-1)2+(y+2)2=4表示以(1,-2)為圓心，2為半徑的圓，可以將此方程變形為x2+y2-2x+4y+1=0.一般地，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2可以變形為x2+y2+Dx+Ey+F=0 (1)的形式.反過(guò)來(lái)，形如(1)的方程一定能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？問(wèn)題探究對(duì)方程x2+y2-2x-4y+6=0進(jìn)行配方，得(x-1)2+(y-2)2=-1，例如，對(duì)于方程x2+y2-2x-4y+6=0，請(qǐng)檢驗(yàn)其能否變形為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.任意一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都不滿(mǎn)足這個(gè)方程，所以這個(gè)方程不表示任何圖形.所以，形如(1)的方程不一定都能通過(guò)恒等變形變?yōu)閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程.思考方程x2+y2+Dx+Ey+F=0中的D，E，F(xiàn)滿(mǎn)足什么條件時(shí)，這個(gè)方程才表示圓的方程？問(wèn)題探究

問(wèn)題探究

問(wèn)題探究當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程①無(wú)解，不表示任何圖形.

一、圓的一般方程

我們把方程

x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圓的一般方程，其中

D2+E2-4F>0.

練習(xí)鞏固判斷：(1)方程2x2+y2-7y+5=0表示圓. （

）(2)方程x2-xy+y2+6x+7y=0表示圓. （

）(3)方程x2+y2+x+1=0表示圓. （

）(4)若方程x2+y2-2x+Ey+1=0表示圓，則E≠0. （

）×××√練習(xí)鞏固例1求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑.【分析】將點(diǎn)O，M1，M2的坐標(biāo)分別代入圓的一般方程，可得一個(gè)三元一次方程組，解方程組即可求出圓的方程.練習(xí)鞏固例1

求過(guò)三點(diǎn)O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑.

·小結(jié)·求圓的方程常用待定系數(shù)法，其大致步驟是：(1)根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D,E,F的方程組；(3)解出a,b,r或D,E,F，得到標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.思考點(diǎn)M0(x0,y0)在圓C的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0內(nèi)的條件是什么？在圓外的條件是什么？CCCM0M0M0x2+y2+Dx+Ey+F<0x2+y2+Dx+Ey+F=0x2+y2+Dx+Ey+F>0在圓內(nèi)在圓上在圓外練習(xí)鞏固例2判斷下列各點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：(1)點(diǎn)(1,2)，圓:x2+y2-2x-5=0；(2)點(diǎn)(3,-4)，圓:x2+y2+2x-4y-4=0；(3)點(diǎn)(1,1)，圓:x2+y2-2x=0點(diǎn)在圓內(nèi)點(diǎn)在圓外點(diǎn)在圓上練習(xí)鞏固例3已知線(xiàn)段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4,3)，端點(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.分析:如圖，點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程.建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以利用點(diǎn)A的坐標(biāo)所滿(mǎn)足的關(guān)系式得到點(diǎn)M的坐標(biāo)滿(mǎn)足的關(guān)系式，求出點(diǎn)M的軌跡方程.AMBOxy練習(xí)鞏固AMBOxy

·小結(jié)·求軌跡方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，設(shè)所求動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)（2）利用點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)盡可能地表示出題中其他未知點(diǎn)的坐標(biāo)（3）根據(jù)已知條件，列出x，y的方程（4）將上述方程化簡(jiǎn)（5）作答，檢驗(yàn)求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)練習(xí)鞏固練習(xí)

過(guò)原點(diǎn)O的作圓x2+y2-8x=0的弦OA，求弦OA中點(diǎn)M的軌跡方程.OA