南理工 電路 第07章 正弦電流電路基礎(chǔ)

第7章正弦電流電路基礎(chǔ)電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院正弦量正弦量的有效值相量法的基本概念電路定律的相量形式RLC的相量模型目

錄7.1正弦量正弦量隨時(shí)間按照正弦規(guī)律變化的物理量，都稱為正弦量在某時(shí)刻的值稱為該時(shí)刻的瞬時(shí)值，則正弦電流和電壓分別用小寫字母i、u表示電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量周期量時(shí)變電壓和電流的波形周期性的重復(fù)出現(xiàn)周期T：每一個(gè)瞬時(shí)值重復(fù)出現(xiàn)的最小時(shí)間間隔，單位：秒（s）頻率f：每秒中周期量變化的周期數(shù)，單位：赫茲（Hz）周期和頻率互為倒數(shù)：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量交變量正弦量不僅是周期量，而且還是交變量0ωt一個(gè)周期量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值為零i(t)Im電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量正弦量的表達(dá)式函數(shù)表示法:Fm：最大值，反映正弦量在整個(gè)變化過程中所能達(dá)到的最大值ωt

+Ψ：相位，反映正弦量變動(dòng)的進(jìn)程ω：角頻率(rad/s),反映正弦量變化的快慢:電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量正弦量的表達(dá)式函數(shù)表示法:Ψ：初相位，反映正弦量初值的大小、正負(fù)Fm

,ω,Ψ：正弦量的三要素已知,則電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量正弦量的表達(dá)式波形表示法:當(dāng)Ψ>0時(shí)，最大值由坐標(biāo)原點(diǎn)向左移Ψ0i(t)ωtIm電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量?jī)蓚€(gè)同頻率正弦量的相位差設(shè):則u(t)與i(t)的相位差：可見，對(duì)兩個(gè)同頻率的正弦量來說，相位差在任何瞬時(shí)都是一個(gè)常數(shù)，即等于它們的初相之差，而與時(shí)間無關(guān)。的單位為rad(弧度)或

(度)。主值范圍為|

|≤π電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量如果

＝Ψu

?Ψi>0

(如下圖所示)，則稱電壓u的相位超前電流i的相位一個(gè)角度度 ，簡(jiǎn)稱電壓u超前電流i角度

，0意指在波形圖中，由坐標(biāo)原點(diǎn)向右看，電壓u先到達(dá)其第一個(gè)正的最大值，經(jīng)過

，電流i到達(dá)其第一個(gè)正的最大值反過來也可以說電流i滯后電壓u角度u(t),

i(t)ωt電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量如果

＝Ψu

?Ψi＜0，則結(jié)論剛好與上述情況相反，即電壓u滯后電流i一個(gè)角度|

|，或電流i超前電壓u一個(gè)角度|

|電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量又設(shè):,當(dāng),則,(1)u1與u同相01u(t),

u

(t)ωt電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量,當(dāng),則(2)u2與u正交0u(t),

u2(t)ωt電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量,當(dāng),則(3)u3與u反相0u(t),

u3(t)ωt電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.1正弦量注意！函數(shù)表達(dá)形式應(yīng)相同，均采用cos或sin形式表示函數(shù)表達(dá)式前的正、負(fù)號(hào)要一致。當(dāng)兩個(gè)同頻率正弦量的計(jì)時(shí)起點(diǎn)(即波形圖中的坐標(biāo)原點(diǎn))改變時(shí)，它們的初相也跟著改變，但它們的相位差卻保持不變。所以兩個(gè)同頻率正弦量的相位差與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇無關(guān)電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.2正弦量的有效值正弦量的有效值設(shè)：f(t)—任意周期函數(shù)—方均根值可見，周期量的有效值等于它的瞬時(shí)值的平方在一個(gè)周期內(nèi)積分的平均值取平方根。因此，有效值又稱為方均根值電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.2正弦量的有效值當(dāng)周期量為正弦量時(shí)，將代入上式得：—只適用于正弦量則正弦量的數(shù)學(xué)表達(dá)式也可寫為：對(duì)正弦電流i＝Imcos(ωt+φi)的有效值為：對(duì)正弦電壓u＝Umcos(ωt+φu)的有效值為：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.2正弦量的有效值在工程上，一般所說的正弦電壓、電流的大小均指有效值。例如交流測(cè)量?jī)x表所指示的讀數(shù)、交流電氣設(shè)備銘牌上的額定值都是指有效值。我國所使用的單相正弦電源的電壓U=220V，就是正弦電壓的有效值，它的最大值Um＝U＝1.414×220＝311V應(yīng)當(dāng)指出，并非在一切場(chǎng)合都用有效值表征正弦量的大小。例如，在確定各種交流電氣設(shè)備的耐壓值時(shí)，就應(yīng)按電壓的最大值來考慮電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念相量令正弦量：歐拉公式，可知：,取,根據(jù):則：—最大值相量可以表示一個(gè)正弦量的復(fù)值常數(shù)稱為相量電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念相量—最大值相量—有效值相量電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念可以通過數(shù)學(xué)的方法，把一個(gè)實(shí)數(shù)域的正弦時(shí)間函數(shù)與一個(gè)復(fù)數(shù)域的復(fù)指數(shù)函數(shù)一一對(duì)應(yīng)起來，而復(fù)指數(shù)函數(shù)的復(fù)常數(shù)部分是用正弦量的有效值（最大值）和初相結(jié)合成一個(gè)復(fù)數(shù)表示出來的運(yùn)用相量進(jìn)行正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析和計(jì)算，可同時(shí)將正弦量（最大值）的有效值和初相計(jì)算出來有效值（最大值）上方加的小圓點(diǎn)是用來與普通復(fù)數(shù)相區(qū)別的記號(hào)，在數(shù)學(xué)運(yùn)算上與一般復(fù)數(shù)的運(yùn)算并無區(qū)別電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念虛線相量圖相量既然是復(fù)數(shù)，它也可以在復(fù)平面上用一條有向線段表示如下圖所示為正弦電流i＝Icos(ωt+Ψi)的相量，其中Ψi＞0相量 的長(zhǎng)度是正弦電流的有效值I，相量 與正實(shí)軸的夾角正弦電流的初相。這種表示相量的圖稱為相量圖為了簡(jiǎn)化起見，相量圖中不畫出虛軸，而實(shí)軸改畫為水平的0+j+1I電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念復(fù)指數(shù)函數(shù)的另一部分ejωt，是一個(gè)隨時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)因子它在復(fù)平面上是一個(gè)以原點(diǎn)為中心、以角速度ω等速旋轉(zhuǎn)、模為l的復(fù)數(shù)旋轉(zhuǎn)因子0+j+11ω1電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念取0,-1為旋轉(zhuǎn)因子+j+1,取,取電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念正弦量為旋轉(zhuǎn)相量在實(shí)軸上的投影相量()乘以旋轉(zhuǎn)因子ejωt再乘以 ，即，所以將它稱為旋轉(zhuǎn)相量，稱為旋轉(zhuǎn)相量的復(fù)振幅相量ωu+100+j電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念一個(gè)正弦量在任何時(shí)刻的瞬時(shí)值，等于對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相量該時(shí)刻在實(shí)軸上的投影。這個(gè)關(guān)系可以用上圖分別所示的旋轉(zhuǎn)相量和正弦量f

(t)的波形圖之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系說明對(duì)于任何正弦時(shí)間函數(shù)都可以找到唯一的與其對(duì)應(yīng)的復(fù)指數(shù)函數(shù)，建立起一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而得到表示這個(gè)正弦量的相量。由于這種對(duì)應(yīng)關(guān)系非常簡(jiǎn)單，因而可以直接寫出電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念同頻率正弦量的加減法例：求解：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念上述計(jì)算也可以根據(jù)平行四邊形法則在相量圖上進(jìn)行相量的加減法只對(duì)應(yīng)同頻率正弦量的加減法電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念相量的微分運(yùn)算設(shè)：則而則于是得：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念當(dāng)其中，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)于是得：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念例：已知,求的iL(t)S

(t=0.).

.+us(t_)RLiL(t)電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念解：這個(gè)微分方程的完全解由兩部分構(gòu)成，即通解和特解：其中，通解是電路的暫態(tài)電流：特解是電路的穩(wěn)態(tài)電流（正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)），為與電壓u同頻率的正弦量：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念運(yùn)用相量法計(jì)算電路的穩(wěn)態(tài)電流：于是，電路中電流：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念根據(jù)iL(0)=0,確定積分常數(shù)令t

=0,電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.3相量法的基本概念a.取時(shí)：討論(電路立刻進(jìn)入穩(wěn)態(tài))b.取電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院時(shí)：7.3相量法的基本概念分析可知，在經(jīng)過不到四分之一周期，電路中電流將達(dá)到最大。當(dāng)τ

很大時(shí)，約是穩(wěn)態(tài)電流幅值的兩倍0t電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.4基爾霍夫定律的相量形式KCL的相量形式KCL的時(shí)域形式：當(dāng)線性正弦穩(wěn)態(tài)電路的電流都是同頻率的正弦量時(shí)：因此，在所有時(shí)刻，對(duì)任一節(jié)點(diǎn)的KCL可表示為:電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.4基爾霍夫定律的相量形式其中：KCL的相量形式則得到KCL的相量形式：為流出該節(jié)點(diǎn)的第k條支路正弦電流ik對(duì)應(yīng)的相量電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.4基爾霍夫定律的相量形式KVL的相量形式在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，沿任一回路，KVL可表示為：其中：為回路中第k條支路的電壓相量注意：KCL、KVL的相量形式所表示的是相量的代數(shù)和恒等于零，并非是有效值的代數(shù)和恒等于零電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，三種基本電路元件R、L、C的電壓、電流之間的關(guān)系都是同頻率正弦量，所涉及的有關(guān)運(yùn)算都可以用相量進(jìn)行，因此這些關(guān)系的時(shí)域形式都可以轉(zhuǎn)換為相量形式電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件正弦交流電路中的電阻元件電阻元件伏安關(guān)系..+_iR(t)

RuR(t)電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián):電阻R的伏安關(guān)系的時(shí)域形式：當(dāng)正弦電流iR(t)＝IRmcos(ωt+ψi)通過電阻R時(shí)：R的電壓、電流最大值（有效值）之間符合歐姆定律：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件uR與iR同相：令：電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)：電阻的伏安關(guān)系相量形式為：電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件功率瞬時(shí)功率由于瞬時(shí)功率p是由同一時(shí)刻的電壓與電流的乘積來確定的因此當(dāng)流過電阻R的電流為iR

(t)＝IRmcos(ωt+Ψi)時(shí)，電阻所吸收的瞬時(shí)功率為:可以看出，電阻吸收的功率是隨時(shí)間變化的，但pR始終大于或等于零，表明了電阻的耗能特性。上式還表明了電阻元件的瞬時(shí)功率包含一個(gè)常數(shù)項(xiàng)和一個(gè)兩倍于原電流頻率的正弦項(xiàng)，即電流或電壓變化一個(gè)循環(huán)時(shí)，功率變化了兩個(gè)循環(huán)電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件功率平均功率瞬時(shí)功率在一周期內(nèi)的平均值稱為平均功率，記為P在正弦穩(wěn)態(tài)電路中，我們通常所說的功率都是指平均功率而言平均功率又稱為有功率。單位為W電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件正弦交流電路中的電感元件電感元件伏安關(guān)系電壓、電流的參考方向關(guān)聯(lián):電感L的伏安關(guān)系的時(shí)域形式：當(dāng)正弦電流iL

(t)＝ILmcos(ωt+ψi)通過電感L時(shí)：..+_iL(t)

LuL(t)電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件線性電感的相量電路、相量圖如下：..+_L電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件功率瞬時(shí)功率當(dāng)電感兩端的電壓為uL

(t)＝ULmcos(ωt+Ψu)時(shí)，流過電感的電流iL

(t)＝ILmcos(ωt+Ψi)，則瞬時(shí)功率為:電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件0uL(t),

iL(t),pL(t)t電路南京理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院7.5正弦交流電路的三種基本電路元件電壓、電流關(guān)聯(lián)參考方向時(shí)：電容