專題17 立體幾何外接球與內(nèi)切球必刷100題(解析版)

本資料分享自高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854專注收集同步資源期待你的加入與分享聯(lián)系QQ309000116加入百度網(wǎng)盤群2500G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，一勞永逸專題17立體幾何外接球與內(nèi)切球必刷100題任務(wù)一:善良模式(基礎(chǔ))1-30題一、單選題1．已知正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，且正四棱錐的底面面積為6，側(cè)面積為，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)幾何體的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為平面問題，利用勾股定理求解得出球的半徑即可求出球的體積【詳解】設(shè)底面邊長為，側(cè)棱長為，因為底面面積為6，所以，得，因為側(cè)面積為，所以，解得，連接交于點，連接，則可得平面，，所以四棱錐的高，點在上，連接，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的體積為，故選：A2．《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，若三棱錐為鱉臑，平面，，，，若三棱錐的所有頂點都在球上，則球的半徑為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將鱉臑補形為長方體,求出長方體的外接球的半徑即可.【詳解】由題意,將鱉臑補形為長方體如圖,則三棱錐的外接球即為長方體的外接球.外接球的半徑為故選：A3．已知是以為斜邊的直角三角形，為平面外一點，且平面平面，，，，則三棱錐外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由為直角三角形，可知中點為外接圓的圓心，又平面平面，所以球心在過與平面垂直的直線上，且球心為的外心.利用正余弦定理求出外接圓的半徑即為球的半徑，從而求出球的體積.【詳解】解：取中點，過點做直線垂直，因為為直角三角形，所以點為外接圓的圓心，又平面平面，所以平面，根據(jù)球的性質(zhì)，球心一定在垂線上，且球心為的外心.在中，，所以，則外接圓的半徑為即外接球的半徑為，所以體積為.故選：D4．三棱錐中，，，的面積為，則此三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形全等和三角形的面積公式求出高，求解直角三角形得，利用余弦定理得出，可得為三棱錐外接球的直徑，即可求出外接球的表面積.【詳解】，，，又，，則，取中點，連接，又由的面積為，可得的高，則可得，在中，由余弦定理，，解得，則，可得，，，根據(jù)球的性質(zhì)可得為三棱錐外接球的直徑，則半徑為1，故外接球的表面積為.故選：A.5．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biēnào）．已知在鱉臑中，平面，，則該鱉臑的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將問題轉(zhuǎn)化為棱長為的正方體的外接球的求解問題，根據(jù)正方體外接球半徑為體對角線長一半可得所求外接球半徑，根據(jù)球的表面積公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示，鱉臑的外接球即為棱長為的正方體的外接球，該鱉臑的外接球半徑，該外接球表面積.故選：C.6．已知三棱錐中，，，的中點為E，DE的中點恰好為點A在平面BCD上的射影，則該三棱錐外接球半徑的平方為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】如圖，設(shè)點A在面BCD上的射影為點F，根據(jù)題意和勾股定理求出BF、AF，設(shè)球心到平面BCD的距離為h，利用勾股定理求出h，進而可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，如圖，為等腰直角三角形，E是外接圓的圓心，設(shè)點A在面BCD上的射影為點F，則點F為DE的中點，所以，所以，設(shè)球心到平面BCD的距離為h，由BO=AO，在和中，可得，解得，所以.故選：D7．如圖，把兩個完全相同的直三角尺，斜邊重合，沿其斜邊折疊形成一個120°的二面角，其中，且，則空間四邊形外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點作于，連接，證得為二面角的平面角，進而求出的長度，然后取的中點,證得為空間四邊形外接球的球心，從而可知為球直徑，從而結(jié)合球的表面積的公式即可求出結(jié)果.【詳解】過點作于，連接，由于和全等，所以，，所以為二面角的平面角，即，在中，結(jié)合余弦定理得，即，因此，因為，所以，在中，，從而，在中，，又因為，所以，取的中點，連接，由于是和的斜邊，所以，故為空間四邊形外接球的球心，為球直徑，所以空間四邊形外接球的半徑為，所以空間四邊形外接球的表面積為，故選：B.8．已知直三棱柱的各棱長都相等，三棱柱的所有頂點都在球O的表面上，若球O的表面積為28π，則該三棱柱的體積為（）A．6 B．18 C．12 D．16【答案】B【分析】根據(jù)球的表面積求出外接球的半徑，設(shè)出三棱柱的棱長，確認球心位置，結(jié)合勾股定理列出方程，解之即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，則，設(shè)三棱柱的棱長為，連接的外心，則的中點即為球心，且,則，則．．故選：B.9．已知邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，則過，，，四點的球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先對平面圖形進行轉(zhuǎn)換，進一步求出外接球的半徑，最后帶入表面積公式求解.【詳解】邊長為2的等邊三角形，為的中點，以為折痕進行折疊，使折后的，構(gòu)成以D為頂點的三棱錐，且三條側(cè)棱互相垂直，可構(gòu)造以其為長寬高的長方體，其對角線即為球的直徑，三條棱長分別為1，1，，所以，球面積，故選:D.10．已知正四面體的表面積為，且、、，四點都在球的球面上，則球的體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正四面體的性質(zhì)特征，可知它的各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為，則根據(jù)正四面體的表面積即可得出，從而得出對應(yīng)的正方體的棱長為1，而正方體的外接球即為該正四面體的外接球，由正方體的外接球性質(zhì)可得出外接球的半徑為，最后根據(jù)球的體積公式即可得出結(jié)果.【詳解】解：正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長為，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長為，可得正方體的棱長為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球的體積為．故選：C.11．在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，且，則四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用勾股定理判斷平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點即為外接球的球心，求出外接球半徑，由表面積公式即可求解.【詳解】由題意可知，，所以，，又，所以平面，過正方形的中心作垂線，再過中點作此垂線的垂線，交點為，此點即為外接球的球心，則外接球半徑，所以四棱錐外接球的表面積.故選：C12．三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB.則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（）.A． B． C． D．【答案】B【分析】由題可得球心為的中點，即求.【詳解】取的中點為，連接，因為AC⊥CD，AB⊥DB∴即為棱錐D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴，∴三棱錐D-ABC外接球的表面積為.故選：B.13．已知一個圓錐的母線長為，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則該圓錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用圓錐的側(cè)面展開圖為扇形求出圓錐的底面半徑r和圓錐的高h，設(shè)該圓錐的外接球的球心為O，半徑為R,利用勾股定理求出R，即可求出球的體積.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，由側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形得：，解得：.作出圓錐的軸截面如圖所示：設(shè)圓錐的高為h，則.設(shè)該圓錐的外接球的球心為O，半徑為R,則有，即，解得：R=3，所以該圓錐的外接球的體積為.故選：A.14．已知三棱柱的個頂點全部在球的表面上，，，三棱柱的側(cè)面積為，則球表面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)三棱柱的高為，，根據(jù)題意得出，設(shè)的外接圓半徑為、球的半徑為，根據(jù)勾股定理得出的表達式，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)三棱柱的高為，.因為，所以，則該三棱柱的側(cè)面積為，故.設(shè)的外接圓半徑為，則.設(shè)球的半徑為，則（當且僅當時，等號成立），故球的表面積為.故選：B15．三棱錐的頂點均在一個半徑為4的球面上，為等邊三角形且其邊長為6，則三棱錐體積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)球的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)、三棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示：點M為三角形ABC的中心，E為AC中點，當平面時，三棱錐體積最大，此時，，因為，所以，點M為三角形ABC的中心，，中，有，，，故選：B.第II卷（非選擇題）二、填空題16．已知，分別是邊長為2的等邊邊，的中點，現(xiàn)將沿翻折使得平面平面，則棱錐外接球的表面積為_________．【答案】【分析】取的中點，連接，可得為等腰梯形的外接圓的圓心，再過折起后的的外心作平面的垂線，得出兩垂線的交點為棱錐外接球的球心，求出半徑，利用球的表面積公式即可求解.【詳解】取的中點，連接，可知，則為等腰梯形的外接圓的圓心，過作平面的垂線，再過折起后的的外心作平面的垂線，設(shè)兩垂線的交點為，則為四棱錐外接球的球心，的邊長為，，則四棱錐外接球的半徑，四棱錐外接球的表面積為.故答案為：17．如圖，矩形中，為的中點，，將沿直線翻折成（不在平面內(nèi)），連結(jié)，為的中點，則在翻折過程中，下列說法中正確的是_________.①平面；②存在某個位置，使得；③當三棱錐的體積最大時，三棱錐的外接球的表面積是.【答案】①③【分析】取中點，可判斷①；通過不成立，可判斷②；當平面平面時，體積最大，此時中點為外接球球心，可判斷③.【詳解】取中點，連接，，故，，四邊形為平行四邊形，故，即平面，①正確；由底面為矩形，可知，若，則需，由已知可得不成立，故②錯誤；當平面平面時，體積最大，此時中點為外接球球心，則該球的半徑，表面積，故③正確；故答案為：①③.18．如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正方體，正方體的一個面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體的邊長為2，則半球的表面積為____________.

【答案】【分析】過正方體與半球底面垂直的對角面作截面，將問題轉(zhuǎn)化為半圓與矩形的內(nèi)接問題，進而求出半球的半徑，再利用球的表面積公式進行求解.【詳解】設(shè)該半球的半徑為，過正方體與半球底面垂直的對角面作截面，則面截半球面得半圓，截正方體得一個矩形，且矩形內(nèi)接于半圓（如圖所示），在矩形中，，,則，所以半球的表面積為.故答案為：.19．已知球面上有四個點A，B，C，D，球心為點O，O在CD上，若三棱錐的體積的最大值為，則該球O的體積為________．【答案】【分析】易知為該球的直徑，由頂點在底面的射影為球心，且底面為等腰直角三角形時，三棱錐體積最大求解.【詳解】如圖所示：因為球心O在CD上，所以為該球的直徑，由此易知，當頂點在底面的射影為球心時，且底面為等腰直角三角形時，三棱錐體積最大，所以，解得，故所求球的體積為.故答案為：.20．圓臺的上、下底面的圓周都在一個直徑為的球面上，上、下底面半徑分別為和則該圓臺的體積為_______．【答案】【分析】由題意首先確定幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征，求得圓臺的高，然后利用圓臺的體積公式即可求得其體積.【詳解】圓臺的下底面半徑為3，故下底面在外接球的大圓上，如圖所示，設(shè)球的球心為O，圓臺上底面的圓心為，則圓臺的高，據(jù)此可得圓臺的體積：.故答案為：.21．已知三棱錐SABC中，SA平面ABC，且SA＝4，AB＝AC＝2，BAC＝120，則三棱錐SABC的外接球的表面積為_____．【答案】【分析】把三棱錐SABC中補形成一個直三棱柱，找出球心，求出球的半徑即可求解.【詳解】如圖，把三棱錐SABC中補形成一個直三棱柱，設(shè)上、下底面外接圓的圓心分別為，球的半徑為，則外接球的球心O為的中點，由正弦定理，又，則其外接球的表面積為．故答案為：.22．一個正四棱錐的頂點都在同一球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則該球的表面積為_________．【答案】【分析】易知球心在正四棱錐的高上，可利用勾股定理構(gòu)造出關(guān)于外接球的半徑，解方程求得后，利用球的表面積公式可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，為底面正方形的中心，則，，則正四棱錐的外接球的球心在上，則外接球的半徑滿足，解得：，該球的表面積．故答案為：.23．已知在四面體中，，則四面體的外接球表面積為______.【答案】【分析】把四面體補成為一個長方體，利用長方體求出外接球的半徑，即可求出外接球表面積.【詳解】對于四面體中，因為，所以可以把四面體還原為一個長方體，如圖：設(shè)從同一個頂點出發(fā)的三條邊長分別為x、y、z，則有：，解得：點A、B、C、D均為長、寬、高分別為，，的長方體的頂點，且四面體的外接球即為該長方體的外接球，于是長方體的體對角線即為外接球的直徑，不妨設(shè)外接球的半徑為，∴，∴外接球的表面積為.故答案為：.24．已知四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，平面BCD，又，且，則球O的體積為__________【答案】【分析】由題可證平面，因此可把四面體ABCD放入長方體中，則易求其外接球的體積.【詳解】∵四面體ABCD的四個頂點都在球O的表面上，平面BCD，又，且，∴，∴，∴平面，∴以為長方體的長、寬、高構(gòu)造長方體，則球的半徑為，∴球O的體積為.故答案為：.25．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.已知在鱉臑中，滿足平面，且有，則此時它外接球的體積為_______.【答案】.【分析】根據(jù)題意，將圖形還原成長方體，進而求該長方體外接球的體積即可.【詳解】因為AB⊥平面BCD，所以AB⊥CD，AB⊥BD，又BD⊥CD，即AB，BD，CD三條直線兩兩垂直，如圖，將鱉臑還原為長方體，則問題轉(zhuǎn)化為求該長方體外接球的體積.設(shè)外接球的半徑為R，則.所以外接球的體積.故答案為：.26．已知S，A，B，C是球O表面上的點，平面，則球O的表面積是_______；【答案】【分析】先確定外接球的球心，再根據(jù)勾股定理得到半徑，進而計算表面積得到答案.【詳解】如圖，取中點，則為的外接圓的圓心易知球心在點的上方，且，此時球的半徑，.故答案為：27．一個正四面體表面積為，其內(nèi)切球表面積為S2.則=___________.【答案】【分析】設(shè)正四面體的棱長為a，用a表示正四面體表面積為，求得正四面體的高，再利用等體積法求得其內(nèi)切球的半徑為r即可.【詳解】如圖所示：設(shè)正四面體的棱長為a，因為正四面體表面積為，所以，正四面體的高為，設(shè)正四面體的內(nèi)切球的半徑為r，則正四面體的體積為，解得，所以，所以故答案為：28．已知四面體ABCD中，AB＝AD＝6，AC＝4，CD＝2，AB⊥平面ACD，則四面體ABCD外接球的表面積為______．【答案】88π．【分析】首先四面體補體為長方體，借助長方體求外接球的半徑，求四面體的外接球的表面積.【詳解】解：因為AD＝6，AC＝4，CD＝2，所以，所以又因為AB⊥平面ACD，由題意可知幾何體是長方體的一部分，如圖，長方體的對角線的長為l，就是外接球的直徑，所以外接球的直徑為，所以球的表面積為：．故答案為：29．設(shè)體積為的正三棱錐外接球的球心為O，其中O在三棱錐內(nèi)部．若球O的半徑為R，且球心O到底面的距離為，則球O的半徑__________．【答案】3【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合球的幾何性質(zhì)、棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】取的中心G．連接，則平面且球心O在上．由條件知，，連接，，則，設(shè)等邊的邊長為，所以等邊的高為：，因此，所以有，于是的邊長為．又，故三棱錐的高是：，所以，得．故答案為：30．在邊長為6的菱形中，，將菱形沿對角線折起成直二面角，則所得三棱錐外接球的表面積等于___________.【答案】【分析】過的外心作平面的垂線，過的外心作平面的垂線，兩垂線交于，則點為三棱錐外接球的球心，然后根據(jù)已知的數(shù)據(jù)求出球的半徑，從而可求得球的表面積【詳解】解：如圖，取的中點，連接，因為邊長為6的菱形中，，所以和均為正三角形，所以,因為二面角為直二面角，所以，設(shè)，分別是和的外心，過作平面的垂線，過作平面的垂線，兩垂線交于，則到的距離相等，所以點為三棱錐外接球的球心，因為,，所以，所以三棱錐外接球的表面積為，故答案為：任務(wù)二:中立模式(中檔)1-50題一、單選題1．已知球O是正三棱錐A-BCD（底面是正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，BC=3，AB=，點E在線段BD上，且BD=3BE．過點E作球O的截面，則所得截面面積的最小值是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，O1是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出O1E=1，當截面垂直于OE時，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】解：如圖，O1是A在底面的射影，由正弦定理得，△BCD的外接圓半徑；由勾股定理得棱錐的高AO1；設(shè)球O的半徑為R，則，解得，所以O(shè)O1=1；在△BO1E中，由余弦定理得所以O(shè)1E=1；所以在△OEO1中，OE=；當截面垂直于OE時，截面面積最小，此時半徑為，截面面積為.故選：A2．在三棱錐中，平面平面，，，，的面積為，則三棱錐的外接球體積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點，過作于，連接，則由已知條件可得為三棱錐的外接球的球心，則為半徑，從而可求出三棱錐的外接球體積【詳解】取的中點，則為的外心，過作于，連接，在中，，，，所以，所以，，因為平面平面，平面平面，，所以平面，因為平面，所以，因為的面積為，，，所以，得，所以，在中由余弦定理得，，所以，所以，所以,所以為三棱錐的外接球的球心，且球的半徑為所以三棱錐的外接球體積為，故選：C3．球的表面積為，三棱柱的頂點在球面上，且三角形是邊長為的正三角形，則所在直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出球半徑和外接圓半徑，即可求出球心到平面的距離，得出側(cè)棱長，取BC中點D，連接，可得即為所在直線與平面所成角，直接求解即可.【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得，設(shè)三角形的外接圓半徑為，則，解得，則球心到平面的距離，因為三棱柱的頂點在球面上，則三棱柱為直三棱柱，則側(cè)棱長為4，取BC中點D，連接，因為為等邊三角形，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以平面，所以即為所在直線與平面所成角，因為，，所以.故選：C.4．在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑（biēnào）．已知在鱉臑中，平面，，則該鱉臑的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意可得，，，，求出和的面積，再根據(jù)平面結(jié)合勾股定理，推出，，從而可求出和的面積，然后根據(jù)等體積法即可求得該鱉臑的內(nèi)切球的半徑，從而得解.【詳解】∵四個面都為直角三角形，，∴，，則，，∴，，∵平面，平面，∴，即，則，，∵，，∴，即，，設(shè)內(nèi)切球的半徑，由等體積法可得：，即，解得，∴該鱉臑的內(nèi)切球的表面積為，故選：A.5．已知圓錐的底面半徑為母線長為則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積與圓錐外接球的表面積之比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】圓錐內(nèi)半徑最大的球即圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為利用面積的等量關(guān)系求出，再求出圓錐外接球的半徑，即得解.【詳解】圓錐內(nèi)半徑最大的球即圓錐的內(nèi)切球，設(shè)其半徑為設(shè)圓錐的一個軸截面為如圖所示，則內(nèi)切圓的半徑為圓錐內(nèi)切球的半徑．在中，為的中點，所以為等邊三角形．由，得解得．又外接圓的直徑，所以外接球的半徑所以該圓錐內(nèi)半徑最大的球的表面積與圓錐外接球的表面積之比為.故選：B6．已知三棱錐S-ABC的外接球O的表面積為，SA=2，SA⊥平面ABC，△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，點P在球O的表面上運動，則三棱錐P-ABC體積的最大值為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出球O半徑和線段AC長，進而求出△ABC面積最大值，點P到平面ABC的最大距離即可得解.【詳解】因SA⊥平面ABC，平面ABC，則SA⊥BC，又AB⊥BC，于是得BC⊥平面SAB，而平面SAB，則有SB⊥BC，SC中點為O，連OB，OA，如圖，于是得OB=OA=OC=OS，即點S，A，B，C在給定的球O的表面上，OA長為該球半徑，由得，，而SA⊥AC，SA=2，則AC=2，在中，，當且僅當時等號成立，則，又，于是得，取AC中點O1，連OO1，則O1為外接圓圓心，OO1⊥平面ABC，，而球O表面上的點P到平面ABC的距離最大值為，所以三棱錐體積最大值為.故選：A7．已知，，，在球的表面上，為等邊三角形且其面積為，平面，，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意求出△外接圓的半徑，進而根據(jù)AD⊥平面ABC，得出，然后由勾股定理求得答案.【詳解】由等邊三角形面積為可得，設(shè)△外接圓半徑為r，則直徑，所以r=1，如圖，因為AD⊥平面ABC，則，易知△是等腰三角形，所以，球半徑，，故選：D.8．在四面體中，平面，，，，則該四面體的外接球的表面積是（）A． B．100π C． D．20π【答案】D【分析】由題知，，，設(shè)為三角形的外心，進而得，過作三角形的垂線，球心在上，且，進而得外接球半徑，再計算表面積即可得答案.【詳解】如圖：因為平面，，所以，，因為，由余弦定理可解得，設(shè)為三角形的外心，則由正弦定理得三角形外接圓半徑為2，即，過作三角形的垂線，球心在上，則，可求外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積是，故選：D.9．已知四棱錐，底面為矩形，側(cè)面平面，，.若點為的中點，則下列說法正確的為（）A．平面 B．面C．四棱錐外接球的表面積為 D．四棱錐的體積為6【答案】B【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，從而可判斷出選項A錯誤；證明出即可判斷出選項B正確；判斷出的交點為四棱錐外接球的球心，從而求四棱錐外接球的體積，從而判斷選項C錯誤；通過求四棱錐的體積來求四棱錐的體積，從而判斷選項D錯誤.【詳解】在四棱錐中,因為側(cè)面平面，面平面，，所以平面，因為過點B只能作一條直線與已知平面垂直，所以選項A錯誤；連接交于，連接，在中，，面，面，所以面，所以選項B正確；取中點，連接，在矩形中，易得，在中，，在中，，所以，所以O(shè)為四棱錐外接球的球心，半徑為，所以其體積為，所以選項C不正確；四棱錐的體積是四棱錐的體積的一半，因為，側(cè)面平面，面平面，所以平面，，所以四棱錐的體積，所以選項D錯誤.故選：B.10．已知四棱錐的側(cè)棱均相等，其各個頂點都在球的球面上，，，，，三棱錐的體積為，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由四點共圓，可得出，進而求出截面圓的直徑，再根據(jù)體積可求出四棱錐的高，然后根據(jù)勾股定理，可求出外接球的半徑，最后直接套表面積公式，可求得答案.【詳解】如圖，F(xiàn)為AC中點，由題意可知PF為四棱錐的高，∵各個頂點都在球的球面上，，∴四點共圓，且為直徑，∴，又∵，，∴在，解得，同理可得.∵三棱錐的體積為,∴，解得，設(shè)，則，在中，，解得.球的表面積為.故選：A11．三棱錐的各個頂點都在球的表面上，且是等邊三角形，底面，，.若點在線段上，且，則過點的平面截球所得截面的最小面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)外接圓的圓心為，求出和外接球的半徑,取的中點，求出,即得解.【詳解】如圖，設(shè)外接圓的圓心為，則外接圓半徑，設(shè)三棱錐的外接球的球心為，則外接球的半徑.取的中點，由，，得，.則過點的平面截球所得截面圓的最小半徑為，過點的平面截球所得截面的最小面積為.故選：A12．如圖，三棱臺ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝4，AA1＝5，平面BCC1B1⊥平面ABC，則該三棱臺外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合球的幾何性質(zhì)、球體積進行求解即可.【詳解】設(shè)的中點分別為，連接，如下圖所示：顯然，因為平面BCC1B1⊥平面ABC，平面BCC1B1⊥平面ABC，所以平面ABC，顯然該三棱臺外接球的球心在直線上，設(shè)球心為因為AB⊥AC，BC＝6，A1B1＝A1C1＝，所以，因此，當在線段上時，如下圖所示：設(shè)，由勾股定理可知：，所以球的體積為：，當不在線段上時，如下圖所示：，由勾股定理可知：，方程組無實數(shù)解，故選：A13．已知正三棱錐的底面邊長為，高為，則三棱錐的內(nèi)切球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三棱錐內(nèi)切球的性質(zhì)，結(jié)合球的表面積公式、三棱錐的體積公式進行求解即可.【詳解】如圖所示：設(shè)正三棱錐為，設(shè)為三棱錐的內(nèi)切球的球心，為正三角形的中心，所以為正三棱錐的高，，設(shè)是的中點，正三棱錐的底面邊長為，所以，，因為為正三棱錐的高，所以，由正棱錐的性質(zhì)可知：，，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為：，故選：C14．已知正三棱錐P﹣ABC的外接球的球心O滿足，則二面角A﹣PB﹣C的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，得到為的外心，設(shè)的邊長為，求得三棱錐的高、側(cè)棱長及斜高，取的中點，連接，證得，再作，交證得，得到是二面角的平面角，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】因為正三棱錐的外接球的球心滿足，可得為的重心，因為為等邊三角形，所以也為外心，設(shè)的邊長為，則此三棱錐的高為，所以側(cè)棱長，側(cè)面的斜高，取的中點，連接，則，因為，所以平面，因為平面，所以，作，交于點，連接，因為，所以平面，因為平面，所以，所以是二面角的平面角，在中，由，可得，所以，所以，所以二面角的正弦值為.故選：C.15．蹴鞠（如圖所示），又名蹴球、蹴圓、筑球、踢圓等，蹴有用腳蹴、踢的含義，鞠最早系外包皮革、內(nèi)實米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以腳蹴、塌、踢皮球的活動，類似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國務(wù)院批準列入第一批國家非物質(zhì)文化遺傳名錄.已知某蹴鞠（近似看作球體）的表面上有四個點、、、，滿足為正三棱錐，是的中點，且，側(cè)棱，則該蹴鞠的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】若，為中點易得，再應(yīng)用余弦定理、勾股定理求得，即為直三棱錐，即可求外接球半徑，進而求表面積.【詳解】如下圖，若為中點，則，又，∴，又為正三棱錐且側(cè)棱，∴，若，則，，在中，，即，可得，，∴，即為直三棱錐，易得外接球半徑，∴該蹴鞠的表面積為.故選：A16．如圖，在四棱錐中，已知底面，且，則該四棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接先證明點就是四棱錐外接球的球心，再求出外接球的半徑即得解.【詳解】取中點，連接由題得，又，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，又.同理,所以，所以點就是四棱錐外接球的球心.因為，所以.所以所以外接球的半徑為.所以該四棱錐外接球的表面積．故選：B17．已知球是正三棱錐(底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心)的外接球，，，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，，，，首先在中可得，解出，然后求出，然后過點作球的截面，當截面與垂直時，截面的面積最小，當截面過球心時，截面面積最大，然后可得答案.【詳解】如圖，設(shè)的中心為，球的半徑為，連接，，，，則，.在中，，解得，則，由，得.在中，.所以.過點作球的截面，當截面與垂直時，截面的面積最小，此時截面圓的半徑為，則最小面積為.當截面過球心時，截面面積最大，最大面積為

故選：C18．已知邊長為的菱形中，，現(xiàn)沿對角線折起，使得，此時點在同一個球面上，則該球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】正確作出圖形，利用勾股定理建立方程，求出四面體的外接球的半徑，再利用球的表面積公式即可求解.【詳解】如圖所示，取的中點，連接，則，因為，在中，所以，過點作面交的延長線于點可得，所以，，設(shè)外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為，則面，設(shè)，因為，所以，過點作于點，在中，，，由勾股定理可得：，解得：，，所以該球的表面積為，故選：C19．正方體的棱長為2，的中點分別是P，Q，直線與正方體的外接球O相交于M，N兩點點G是球O上的動點則面積的最大值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過球心O作，垂足為H，可得H為的中點，由已知數(shù)據(jù)可求得的長是定值，而點G是球O上的動點，所以當點G到的距離最大時，面積的面積最大，而點G到的最大距離為，從而利用三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】如圖，設(shè)正方體外接球球O的半徑為r，過球心O作，垂足為H，易知H為的中點．因為正方體的棱長為2，所以，所以，，所以．因為點G是球O上的動點，所以點G到的最大距離為，故面積的最大值為．故選：A20．已知四棱錐，平面，，，，，二面角的大小為.若四面體的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定出三角形外接圓的圓心，然后過作垂直于平面的垂線，再過中點向作垂線，垂足即為球心，根據(jù)線段長度可求解出球的半徑，則球的體積可求.【詳解】因為，，所以，所以，所以外接圓的圓心為的中點，記為，過作直線使得平面，取中點，過作垂足為，則，所以為四面體外接球的球心，因為，所以平面，，又，所以二面角的平面角為，所以，因為，所以，所以，所以，又因為，所以，所以四面體外接球的體積為，故選：A.第II卷（非選擇題）二、填空題21．已知菱形的邊長為，，若沿對角線將折起，所得的二面角為鈍二面角，且A，，，四點所在球的表面積為，則四面體的體積為________．【答案】【分析】以等邊三角形，的中心，分別作兩個平面的垂線，交點為外接球球心，求得各個長度，根據(jù)外接球表面積，求得外接球半徑，即可求得的值，進而可得，即可得，即可求得點到平面的距離，代入椎體體積公式，即可得答案.【詳解】由已知可得，，均為等邊三角形．以等邊三角形，的中心，分別作兩個平面的垂線，交點為外接球球心，如圖所示，由已知得，則，，又外接球的表面積，所以外接球的半徑，所以在中，由勾股定理得，所以在中，，所以，同理可得，所以，則點到平面的距離．因為．所以四面體的體積．故答案為：22．已知三棱錐中，底面，，，則三棱錐外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由球的性質(zhì)可得三棱錐外接球的球心在過且與平面垂直的直線上.求出外接圓半徑，從而可得答案.【詳解】設(shè)三棱錐外接球半徑為.設(shè)為的外接圓的圓心，則三棱錐外接球的球心在過且與平面垂直的直線上.即設(shè)球心為,則平面，又底面，則連接結(jié),過作,由,則為的中點.因為外接圓半徑，即所以三棱錐外接球半徑，所以三棱錐外接球的表面積.故答案為：23．如圖，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，，是邊長為6的正三角形，二面角的大小為120°，則球的體積為______．【答案】/【分析】因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，其中的外心就是其中心，的外心是的中點，由此可構(gòu)造直角三角形求解的長，再利用球的體積公式求解即可．【詳解】解：取的中點，連接，設(shè)為的外心，則點在上且，因為，則為的外心，根據(jù)球的幾何性質(zhì)，則平面，平面，因為二面角的大小為，平面平面，則二面角的大小為，所以，因為是邊長為6的正三角形，則，所以，在中，，在中，因為，則，所以球的半徑，表面積為．故答案為：．24．已知四面體中和是等邊三角形，二面角為直二面角．若，則四面體外接球的體積為_______．【答案】【分析】設(shè)為的中心，O為四面體的外接球的球心，過O作，然后在中，由求解.【詳解】如圖所示：設(shè)為的中心，O為四面體的外接球的球心，則平面．設(shè)M為線段的中點，外接球的半徑為R，連接，過O作于點G，易知G為的中心，則，因為，故，在中，，故，則．所以外接球的體積為，故答案為：25．已知矩形中，，，是邊的中點.現(xiàn)以為折痕將折起，當三棱錐的體積最大時，該三棱錐外接球的體積為___________.【答案】【分析】求得三角形邊上的高，然后求得外接球的半徑，進而求得外接球的體積.【詳解】過作交于，，在中有，.三角形是等邊三角形，邊長為，由可得三角形外接圓半徑為，設(shè)外接圓圓心為，.當平面平面時，三棱錐的體積最大，此時平面.由于，，所以是三棱錐外接球的球心，設(shè)外接球半徑為，則，所以外接球的體積為.故答案為：26．在一次數(shù)學(xué)探究活動中，某手工制作小組利用硬紙板做了一個如圖所示的幾何模型，底面為矩形，，半圓面底面．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當點P在半圓弧上（不含A，D點）運動時，四棱錐的外接球始終保持不變，則該外接球的體積為____．【答案】【分析】由題意可得矩形的中心即為三棱錐的外接球的球心，求其對角線長，可得外接球的半徑，代入球的表面積公式得答案．【詳解】解：由題意，為直角三角形，取中點，則，取正方形的中心，連接，則，面底面，且面底面，面，平面，得到四棱錐各頂點的距離相等，為四棱錐的外接球的球心，即三棱錐的外接球的球心，半徑，外接球的表面積為．故答案為：．27．在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】根據(jù)題設(shè)長度關(guān)系，可證明平面，由正弦定理可得的外接圓半徑為，又在線段的垂直平分線上，可得，即可得，利用球的表面積公式即得解【詳解】

在中，，，所以，所以，在中，，，所以，所以.又，，平面，所以平面，在中，，所以的外接圓半徑為，不妨設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為連接，由于，故在線段的垂直平分線上，即故三棱錐的外接球半徑，外接球的表面積為.故答案為：28．四棱錐的各頂點都在同一球面上，底面，底面為梯形，，且，則此球的體積等于______．【答案】【分析】先確定底面四邊形的外接圓的圓心為的位置，由于為線段的垂直平分線的交點，可得當為中點時，滿足，設(shè)四棱錐外接球的球心為，可知平面，再由確定的位置【詳解】由已知可得，底面四邊形為等腰梯形，如下圖所示，設(shè)底面外接圓的圓心為，故到四個頂點的距離相等，因此為線段的垂直平分線的交點由于，當為中點時，滿足故底面外接圓的圓心為在中點設(shè)四棱錐外接球的球心為，需保證由于，當平面有可得下面由確定的位置：取為中點，連結(jié)由于平面，底面，故若，則，又，故故四邊形為平行四邊形，，即四棱錐外接球的半徑為．∴此球的體積等于．故答案為：29．空間四面體中，，，，則該四面體的外接球的表面積為_________【答案】【分析】對角線長分別為，，的長方體，則該長方體的外接球即為四面體的外接球，即得解【詳解】如圖所示，構(gòu)造對角線長分別為，，的長方體，則該長方體的外接球即為四面體的外接球不妨設(shè)從A點出發(fā)的三條棱長分別為，外接球半徑為，如圖所示則解得，即外接球的表面積為故答案為：30．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐外接球的半徑為___________.【答案】【分析】由已知求解三角形可得為等邊三角形，取的外心為，連接，可得，設(shè)垂足為，連接，可得平面，確定三棱錐外接球的球心，利用勾股定理求半徑【詳解】如圖，在中，由余弦定理可得，所以，因為，所以為等邊三角形，設(shè)的外心為，連接，，，連接，由題意可得，，，，因為，所以，因為，所以平面，設(shè)為三棱錐外接球的球心，連接，過作于，則外接球的半徑滿足，將，代入得，所以，所以故答案為：31．如圖，在底面邊長為4，高為6的正四棱柱中，大球與該正四棱柱的五個面均相切，小球在大球上方且與該正四棱柱的三個面相切，也與大球相切，則小球的半徑為_____________.【答案】【分析】結(jié)合圖形，由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，利用已知條件，結(jié)合勾股定理，推出結(jié)果即可．【詳解】解：由題意可知大球的半徑為，設(shè)小球的半徑為，如圖，設(shè)大圓的圓心為O，小圓的圓心為C，E為小圓與上底面的切點，作交于點D，由題意可知，，，，所以，即，，解得，故答案為：．32．已知三棱錐的四個頂點都在球的表面上，平面，，，，，若為的中點，過點作球的截面，則截面面積的最小值是___________.【答案】【分析】過底面外接圓的圓心作垂直于底面的直線，則球心在該直線上，若是的中點，則，重合，過點作球的截面，則截面面積最小時是與垂直的面，即是三角形的外接圓，然后算出答案即可.【詳解】如圖所示：由題意知，，則底面三角形為直角三角形，若是的中點，則，重合，過點作球的截面，則截面面積最小時是與垂直的面，即是三角形的外接圓，而三角形的外接圓半徑是斜邊的一半，即，所以截面面積為.故答案為：.33．在三棱錐中，和都是邊長為的正三角形，.若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為_________.【答案】【分析】設(shè)中點為，可證明，設(shè)和的外心分別為和，過和分別作兩個平面的垂線交于點即為三棱錐外接球的球心，求出外接球的半徑的長，到平面的距離即可求解.【詳解】設(shè)中點為，的外心為，的外心為，過點作面的垂線，過點作直線面的垂線，兩條垂線的交點即為三棱錐外接球的球心，因為和都是邊長為的正三角形，可得，又，所以，所以，又因為，，所以面，因為平面，所以平面平面，且，所以四邊形是邊長為的正方形，所以外接球半徑，到平面的距離，故答案為：.34．球的球面上有四點、、、，其中、、、四點共面，是邊長為的正三角形，平面平面，則棱錐體積的最大值為___________【答案】3【分析】由于面面，所以點在平面上的射影落在上，根據(jù)球體的對稱性可知，當在“最高點”，也就是說為中點時，最大，棱錐的體積最大．【詳解】解：由題意畫出幾何體的圖形如圖由于面面，所以點在平面上的射影落在上，根據(jù)球體的對稱性可知，當在“最高點”，也就是說為中點時，最大，棱錐的體積最大．是邊長為的正三角形，球的半徑，在中，，，求得，體積．故答案為：3.35．已知球為三棱錐外接球，為邊長為1的等邊三角形，，，且，則球的表面積為______【答案】【分析】取中點，連接，證明線面垂直后得線線垂直，從而得，再證得平面，過外心作底面的垂線，?。ㄅc同方向），即為外接球球心，求出球半徑可得表面積．【詳解】如圖，取中點，連接，是等邊三角形，則，又，，平面，所以平面，平面，所以，所以，因此，，同理，平面，所以平面，設(shè)在上且，則是等邊三角形的外心，作平面，取，如圖，則是三棱錐外接球球心．，，則，所以球表面積為．故答案為：．36．在正三棱錐中，?分別是棱?的中點，且，若側(cè)棱，則該正三棱錐外接球的體積是___________.【答案】【分析】取中點，連接，利用線面垂直的判定與性質(zhì)，結(jié)合三角形中位線的性質(zhì)可確定兩兩互相垂直，由此可將所求的外接球轉(zhuǎn)化為以為棱的正方體的外接球的求解問題，根據(jù)正方體外接球的半徑可求得結(jié)果.【詳解】解：如圖所示：取中點，連接，三棱錐為正三棱錐，，，又為中點，，，平面，，平面，又平面，，又分別為中點，，，又，，平面，平面，平面，又平面，，，由正三棱錐特點知：兩兩互相垂直，三棱錐的外接球，即為以為棱的正方體的外接球，三棱錐的外接球半徑為：，三棱錐的外接球體積為：.故答案為：.37．在菱形中，，，將沿折起到的位置，若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】設(shè)菱形中心為，則為等邊三角形，利用球的對稱性可知，利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出球的半徑可得答案.【詳解】過球心作平面，平面，則為等邊三角形的中心，為等邊三角形的中心，，∵四邊形是菱形，，∴、都是邊長為2等邊三角形，連接，，所以，設(shè)，交于點，則，，，則，∴.∵，∴，∴，，∴，∴球的半徑，∴三棱錐的外接球的表面積為.故答案為：.38．已知長方體中，，，與平面所成角的正弦值為，則該長方體的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】作，垂足為E，連接，BE，證得是與平面所成的平面角，進而可以求出的長度，然后根據(jù)長方體的對角線是其外接球的直徑，進而可以求出球直徑，從而結(jié)合球的表面積公式可以求出結(jié)果.【詳解】作，垂足為E，連接，BE，因為平面，且平面，所以平面平面，又因為平面平面，平面ABC，所以平面，因此是與平面所成的平面角.又，.∴，解得.故該長方體的體對角線為.設(shè)長方體的外接球的半徑為，則，解得.∴該長方體的外接球的表面積為.故答案為：.39．已知三棱錐，平面ABC，，，直線SB和平面ABC所成的角大小為.若三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的表面積為________.【答案】【分析】由于平面，則為直線SB和平面所成的角，從而由已知條件可求出，設(shè)為三棱錐外接球的球心，G為外接圓圓心，在中利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓的半徑，即的長，然后利用勾股定理可求出球的半徑，進而求出球的表面積【詳解】如圖：平面，則為直線SB和平面所成的角，即在中：，如圖，設(shè)為三棱錐外接球的球心，G為外接圓圓心，連結(jié)，則必有面在，，則其外接圓半徑，又，所以三棱錐外接球半徑為該球的表面積為，故答案為：.40．在四棱錐中，若，四棱錐外接球表面積為__________.【答案】【分析】根據(jù)題意，四棱錐的外接球與三棱錐的外接球為同一個，三棱錐為正四面體，進而構(gòu)造正方體，利用正方體求解即可.【詳解】因為，∠所以，即四邊形四點共圓，四棱錐的外接球與三棱錐的外接球為同一個，又，，所以三棱錐為正四面體，如圖，構(gòu)造棱長為1的正方體，正四面體的外接球即為正方體的外接球，易求得外接球半徑，所以外接球表面積.故答案為：任務(wù)三:邪惡模式(困難)1-20題一、單選題1．已知點???都在球的球面上，，△是邊長為1的等邊三角形，與平面所成角的正弦值為，若，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】若是的中點，則是△的中心，連接，由線面垂直、面面垂直的判定可得面面，過作面，由面面垂直的性質(zhì)知必在直線上，即為與面所成角，再過作交于，結(jié)合已知可知是中點，為的中點，即可確定球心的位置，進而求表面積.【詳解】由題設(shè)，若是的中點，則是△的中心，連接，如下圖示：由題設(shè)知：，，又，則面，而面，即面面，過作面，則必在直線上，易知：為與平面所成角的平面角，又與平面所成角的正弦值為，，可得.過作交于，易知：，而，即，又，故為的中點，，∴，即是球心，故球的半徑為1，∴球的表面積為.故選：B2．在三棱錐中，，，.若三棱錐的體積為1，則該三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由條件可知和為以為斜邊的直角三角形，則的中點為外接球的球心.過做平面，垂足為，由三棱錐的體積可求出高，根據(jù)三角形全等可證明在的角平分線上，即，由線面垂直的定理可知，從而可計算，勾股可知的長，從而計算外接球的半徑和表面積.【詳解】解：因為，所以和為以為斜邊的直角三角形，則的中點到各個頂點的距離都相等，則為外接球的球心.即為直徑.過做平面，垂足為，連結(jié)，，則，解得：.，，，，則分別為在平面內(nèi)的射影，所以有，又，為公共邊，所以，則，所以在的角平分線上，，，，，所以有平面，平面，則有，因為，，所以，則，則故外接球的表面積為.故選：D.3．已知四棱錐中，側(cè)面底面，，且，則此四棱錐外接球的表面積等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先分別找出等腰梯形和等邊三角形ABC外接圓的圓心N，G；根據(jù)來求外接球的半徑OA，從而求四棱錐外接球的表面積.【詳解】易知四邊形為等腰梯形，又，所以梯形的高為，所以，，所以，即為直角三角形，取ED的中點，則為梯形外接圓的圓心.設(shè)等邊三角形ABC外接圓的圓心為，則，因為側(cè)面底面，所以四棱錐外接球的，所以四棱錐外接球的表面積為.故選：D.4．已知直四棱柱，其底面是平行四邊形，外接球體積為，若，則其外接球被平面截得圖形面積的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件可得為矩形，進而可得平面，所以，則四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱，設(shè)，由余弦定理可得的值，求出的值，由正弦定理可得的外接圓的半徑為，由均值不等式可得的最小值，從而得出答案.【詳解】由直四棱柱內(nèi)接于球，則四點在球面上，所以四邊形為球的一截面圓的內(nèi)接四邊形，所以對角互補.又四邊形是平行四邊形，所以為矩形.在直四棱柱中，平面，所以又，，所以平面，所以所以四邊形為正方形，所以直四棱柱為正四棱柱.由外接球體積為，則球的半徑為,由為該外接球的直徑，則設(shè)，則，則在中,，由余弦定理可得所以設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得所以當且僅當,即時取得等號，即的最小值為其外接球被平面截得圖形面積的最小值為：故選：A5．已知邊長為的菱形，，沿對角線把折起，二面角的平面角是，則三棱錐的外接球的表面積是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，利用勾股定理建立方程，求三棱錐的外接球的半徑，進而求得外接球的表面積.【詳解】如圖所示，設(shè)菱形的對角線交于，頂點A在底面的投影為，由菱形的性質(zhì)可得，二面角的平面角是，，因為菱形的邊長為，，，，設(shè)底面外接圓圓心為，外接球球心為，連接，過作，設(shè)，則，由勾股定理可得，，即，解得，，三棱錐的外接球的表面積為，故選：B.6．在三棱錐中，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】在中由余弦定理求得，即知為等邊三角形，又由已知，若的外接圓的圓心為有為菱形，則平面ABC，進而確定外接球球心O，由球心與相關(guān)點的位置關(guān)系求球的半徑，最后求表面積即可.【詳解】在中，，即，又，∴為等邊三角形根據(jù)題意，有如下示意圖：如圖，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，，連接PH.由題意可得，且，.∴由上知：且，又，∴，由，平面ABC.設(shè)O為三棱錐外接球的球心，連接，，OC過O作，垂足為D，則外接球的半徑R滿足，，，代入解得，即有，∴三棱錐外接球的表面積為.故選：A.7．在菱形中，，，將△沿折起到△的位置，二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意作示意圖，找到底面等邊△的外接圓圓心，以及三棱錐的外接球的球心，過作于，則面為球體最大截面，進而根據(jù)已知條件即可求外接球半徑，即可求外接球表面積.【詳解】由題意可得如下示意圖，設(shè)交于，則，即所以為二面角的平面角，即，又，所以平面，過作于，，所以平面，若分別是面的外接圓圓心、三棱錐的外接球的球心，則平面，所以，所以必共面且該面為球體的最大截面，連接，有為外接球半徑，為面的外接圓半徑，若設(shè)，則：，，∵菱形中，，，∴，，，且，，，，∴，即，解得，∴，所以三棱錐的外接球的表面積，故選：D8．已知三棱錐的四個頂點在球的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，連接，證明平面，故為與平面所成的角為，球心在平面的投影為的外心，計算得到答案.【詳解】取中點，連接，，則.平面，平面，故.，故平面，故為與平面所成的角為.，故，，，故.球心在平面的投影為的外心，根據(jù)知，，故，故球的表面積為.故選：.9．已知三棱錐中，平面，，，則三棱錐體積最大時，其外接球的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先根據(jù)題意得到當?shù)拿娣e最大時，此時三棱錐的體積最大，設(shè)，利用正弦定理和余弦定理得到，從而得到當時，最大，再將三棱錐放入直三棱柱中，求外接球體積即可.【詳解】如圖所示：因為平面，，所以當?shù)拿娣e最大時，此時三棱錐的體積最大.設(shè)，則，，所以.所以，當，即時，最大.當時，，則.將三棱錐放入直三棱柱中，，分別為上下底面外接圓圓心，設(shè)外接圓半徑為，則的中點為直三棱柱外接球球心，設(shè)外接球半徑為，如圖所示：根據(jù)正弦定理，解得，所以.故外接球體積.故選：D10．已知球內(nèi)接正四面體，為棱的中點，是棱上的一點，且，則球與四面體的體積比為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出正四面體與球，頂點在底面的射影為，球心在上.設(shè)正四面體的棱長為，令，由，可得的關(guān)系，再分別求出體積，即可得答案；【詳解】如圖，正四面體中，頂點在底面的射影為，球心在上.設(shè)正四面體的棱長為，則正四面體高.設(shè)外接球半徑為，在直角三角形中，，即，解得.令，在中，由余弦定理得①，同理，在中，由余弦定理得②.由題設(shè)，解得.由于到平面的距離與到平面的距離相等，都等于，，故，.所以.故選：D.第II卷（非選擇題）二、填空題11．在梯形中，，，為的中點，將沿直線翻折成，當三棱錐的體積最大時，過點的平面截三棱錐的外接球所得截面面積的最小值為______.【答案】【分析】分析出當平面平面時，三棱錐的體積最大，取的中點，分析出點為三棱錐的外接球的球心，求出球的半徑，計算出截面圓半徑為最小值，結(jié)合圓的面積公式可得結(jié)果.【詳解】如下圖所示，連接，則，則，故，設(shè)二面角的平面角為，設(shè)三棱錐的高為，則，，當且僅當時，等號成立，即當平面平面時，三棱錐的體積最大，，，，故為等腰直角三角形，且，在梯形中，，則，所以，，在中，，，，由余弦定理可得，故，，因為平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，則，因為，，平面，平面，所以，，記中點為，由得為三棱錐的外接球的球心，且球的半徑為，設(shè)與過點的平面所成的角為，設(shè)點到截面的距離為，則，故截面圓的半徑為，當且僅當時，過點的平面截三棱錐外接球所得截面面積最小，所以截面圓面積的最小值為.故答案為：.12．已知在平面四邊形中，，，將沿對角線折起，使點到達點的位置，當時，三棱錐的外接球的體積為______．【答案】【分析】根據(jù)三棱錐的特殊性找到外接球球心的位置，再根據(jù)幾何關(guān)系列出關(guān)于外接球半徑的等量關(guān)系，從而求出外接球的半徑【詳解】記的中點為，連接，，可得，則，作的邊的中垂線，且過正三角形的中心作平面垂線，則外接球的球心在與的交點處，如右圖所示，在中，過點作于點，設(shè)外接球的半徑為，則，因為點是正三角形的中心，,所以,所以,，所以在中，，解得，故三棱錐的外接球的體積為．故答案為：.13．已知球的表面積為，點均在球的表面上，且，則四面體體積的最大值為___________.【答案】【分析】由題意，利用球的表面積公式、正弦定理，求出球的半徑、△外接圓半徑，根據(jù)余弦定理及基本不等式可得，再由球體的性質(zhì)判斷四面體體積的最大時的位置，最后應(yīng)用三角形面積公式、錐體的體積公式有最大即可求最大值.【詳解】若球的半徑為，則，即，在△中，外接圓半徑為，則，且，∵，故當且僅當?shù)忍柍闪?，∴，∴要使四面體體積的最大，是過△外接圓圓心且垂直于外接圓的垂線與球垂直于面的最大截面圓的最遠交點，令到面距離為，則此時，∴四面體體積的最大值.故答案為：.14．體積為的四棱錐的底面是邊長為的正方形，底面的中心為，四棱錐的外接球球心到底面的距離為，則點的軌跡長度為_______________________．【答案】【分析】由已知可得到底面的距離為3，進而可求外接球的半徑，即可知與不可能在面的兩側(cè)，則在垂直于且與球心距離