第05講函數(shù)應(yīng)用（一）（知識(shí)解讀題型精講隨堂檢測(cè)）

第05講函數(shù)應(yīng)用（一）知識(shí)點(diǎn)1一次函數(shù)模型的應(yīng)用一次函數(shù)的一般形式：，其定義域是R，值域是R．知識(shí)點(diǎn)2二次函數(shù)模型的應(yīng)用1．二次函數(shù)的一般形式是其定義域?yàn)镽．2．若，則二次函數(shù)在時(shí)有最小值；若，則二次函數(shù)在時(shí)有最大值．3．建立二次函數(shù)模型解應(yīng)用題的步驟和建立一次函數(shù)模型解應(yīng)用題的步驟一樣：讀題，解題，建模，解答．知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)模型的綜合應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用題是利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題．在數(shù)學(xué)建模的過(guò)程中有若干個(gè)有著明顯區(qū)別的處理階段：第一階段，對(duì)于面臨的實(shí)際問(wèn)題，我們首先需要認(rèn)真審題，熟悉實(shí)際問(wèn)題的背景知識(shí)，明確研究的對(duì)象和研究的目的．第二階段，辯識(shí)并列出與問(wèn)題有關(guān)的因素，明確模型中需要考慮的因素以及它們?cè)趩?wèn)題中的作用，以變量和參數(shù)的形式表示這些因素．第三階段，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)上的技能技巧來(lái)描述問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，通常它可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)描述．第四階段，利用數(shù)學(xué)知識(shí)將得到的數(shù)學(xué)模型予以解答，求出結(jié)果．第五階段，解釋數(shù)學(xué)模型的結(jié)果．根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式，然后利用求函數(shù)最值的方法解決最大、最省等問(wèn)題．求函數(shù)最值的常用方法有：①配方法；②判別式法；③換元法；④數(shù)形結(jié)合法；⑤函數(shù)的單調(diào)性法等．【題型1一次函數(shù)應(yīng)用】【典例1】（杭州新東方高中數(shù)學(xué)試卷388）某種產(chǎn)品每件80元，每天可售出30件，如果每件定價(jià)120元，則每天可售出20件，如果售出件數(shù)是定價(jià)的一次函數(shù)，則這個(gè)函數(shù)解析式為_(kāi)________．【答案】.【解答】設(shè)每件售價(jià)元時(shí)，售出件，設(shè)，因?yàn)?，所以①，因?yàn)?，所以②，解由①②組成的方程組得，，所以.由.故答案為：.【變式1-1】一個(gè)矩形的周長(zhǎng)是20，矩形的長(zhǎng)y關(guān)于寬x的函數(shù)解析式為（）（默認(rèn)y>x）A．y＝10－x(0<x<5)B．y＝10－2x(0<x<10)C．y＝20－x(0<x<5)D．y＝20－2x(0<x<10)【答案】A【解答】由題意可知2y＋2x＝20，即y＝10－x，又10－x>x，所以0<x<5.所以函數(shù)解析式為.故選：A【變式1-2】已知等腰三角形的周長(zhǎng)為，底邊長(zhǎng)是腰長(zhǎng)的函數(shù)，則函數(shù)的定義域?yàn)?)A． B． C． D．【答案】A【解答】由題設(shè)有，由得，故選A.【變式1-3】（多選題）（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）y(km)與時(shí)間x(min)的關(guān)系，下列結(jié)論正確的是（

）A．甲同學(xué)從家出發(fā)到乙同學(xué)家走了60minB．甲從家到公園的時(shí)間是30minC．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度快D．當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y與x的關(guān)系式為y＝x【答案】BD【解答】在A中，甲在公園休息的時(shí)間是10min，所以只走了50min，A錯(cuò)誤；由題中圖象知，B正確；甲從家到公園所用的時(shí)間比從公園到乙同學(xué)家所用的時(shí)間長(zhǎng)，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學(xué)家的速度慢，C錯(cuò)誤；當(dāng)0≤x≤30時(shí)，設(shè)y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD【題型2二次函數(shù)應(yīng)用】【典例2】某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品，年初上市后，公司經(jīng)歷了從虧損到盈利的過(guò)程，二次函數(shù)圖象（部分）刻畫了該公司年初以來(lái)累積利潤(rùn)（萬(wàn)元）與銷售時(shí)間（月）之間的關(guān)系（即前個(gè)月的利潤(rùn)總和與之間的關(guān)系）.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問(wèn)題：（1）由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo)，求累積利潤(rùn)（萬(wàn)元）與時(shí)間（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求截止到第幾個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到萬(wàn)元；（3）求第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn).【答案】（1）；（2）第十個(gè)月；（3）利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】（1）設(shè)與的函數(shù)關(guān)系式為.由題中函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)、、，得，解得，因此，所求函數(shù)關(guān)系式為；（2）把代入，得，整理得，，解得，因此，截止到第十個(gè)月末公司累積利潤(rùn)可達(dá)到萬(wàn)元；（3）第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn)為（萬(wàn)元）.因此，第八個(gè)月公司所獲得的利潤(rùn)為萬(wàn)元.【變式2-1】某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售輛該品牌車的利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為和.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為（）A．90萬(wàn)元 B．60萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 【答案】C【解析】設(shè)公司在甲地銷售輛，則在乙地銷售輛，公司獲利為，∴當(dāng)或10時(shí)，最大，為120萬(wàn)元.故選C.【變式2-2】個(gè)車輛制造廠引進(jìn)了一條摩托車整車裝配流水線，這條流水線生產(chǎn)的摩托車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（元）之間滿足二次函數(shù)關(guān)系．已知產(chǎn)量為時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值也為0；當(dāng)產(chǎn)量為55輛時(shí)，創(chuàng)造的價(jià)值達(dá)到最大6050元．若這家工廠希望利用這條流水線創(chuàng)收達(dá)到6000元及以上，則它應(yīng)該生產(chǎn)的摩托車數(shù)量至少是_____________；【答案】50輛【解析】由題意，設(shè)摩托車數(shù)量（輛）與創(chuàng)造的價(jià)值（元）之間滿足二次函數(shù),又，故，則，解得，故答案為50輛【題型3分段次函數(shù)應(yīng)用】【典例3】某科技公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本是20000元，每生產(chǎn)一臺(tái)產(chǎn)品需要增加投入100元．已知年總收益R（元）與年產(chǎn)量x（臺(tái)）的關(guān)系式是R（x）＝（1）把該科技公司的年利潤(rùn)y（元）表示為年產(chǎn)量x（臺(tái)）的函數(shù)；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該科技公司所獲得的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)為多少元？（注：利潤(rùn)＝總收益﹣總成本）【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由于年產(chǎn)量是x臺(tái)，則總成本為（20000+100x）元．當(dāng)0≤x≤500時(shí)，y＝500x﹣x2﹣（20000+100x），即y＝﹣x2+400x﹣20000；當(dāng)x＞500時(shí)，y＝125000﹣（20000+100x），即y＝105000﹣100x．所以；（2）當(dāng)0≤x≤500時(shí)，y＝﹣（x﹣400）2+60000，所以當(dāng)x＝400時(shí)，ymax＝60000；當(dāng)x＞500時(shí)，y＝105000﹣100x是減函數(shù)，即y＝105000﹣100x＜105000﹣100×500＝55000．綜上，當(dāng)x＝400時(shí)，ymax＝60000．即當(dāng)年產(chǎn)量為400臺(tái)時(shí)，該科技公司所獲得的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)為60000元．【變式3-1】劉先生購(gòu)買了一部手機(jī)，欲使用中國(guó)移動(dòng)的“智慧”卡或加入中國(guó)聯(lián)通網(wǎng)，經(jīng)調(diào)查收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如表：網(wǎng)絡(luò)月租本地話費(fèi)長(zhǎng)途話費(fèi)甲：聯(lián)通12元乙：移動(dòng)無(wú)劉先生每月接打本地電話時(shí)間是長(zhǎng)途電話的5倍（手機(jī)雙向收費(fèi)，接打話費(fèi)相同）．（1）設(shè)劉先生每月通話時(shí)間為x分鐘，求使用甲種入網(wǎng)方式所需話費(fèi)的函數(shù)f（x）及使用乙種入網(wǎng)方式所需話費(fèi)的函數(shù)g（x）；（2）請(qǐng)你根據(jù)劉先生每月通話時(shí)間為劉先生選擇較為省錢的入網(wǎng)方式．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵劉先生每月接打本地電話時(shí)間是長(zhǎng)途電話的5倍，∴設(shè)劉先生每月通話時(shí)間為x分鐘，使用甲種入網(wǎng)方式所需話費(fèi)的函數(shù)f（x）及使用乙種入網(wǎng)方式所需話費(fèi)的函數(shù)g（x）；則他每月接打本地電話時(shí)間為x．接打長(zhǎng)途x，若選擇甲種入網(wǎng)分式，則月租12元，本地話費(fèi)0.3×xx，長(zhǎng)途話費(fèi)0.6×xx，則f（xxxx，（x＞0）．若選擇乙種入網(wǎng)分式，則月租0元，本地話費(fèi)0.5×x＝x，長(zhǎng)途話費(fèi)0.8×x＝x，則g（x）＝x+xx，（x＞0）．（2）f（x）﹣g（xxxx，x＞0時(shí)，即x＜60時(shí)，f（x）＞g（x），此時(shí)應(yīng)選擇乙方式入網(wǎng)，省錢，x＜0時(shí)，即x＞60時(shí)，f（x）＜g（x），此時(shí)應(yīng)選擇甲方式入網(wǎng)，省錢，x＝0時(shí)，即x＝60時(shí)，f（x）＝g（x），此時(shí)甲乙兩種方式話費(fèi)一樣．【變式3-2】有一種新型的洗衣液，去污速度特別快，已知每投放k（1≤k≤4，k∈R）個(gè)單位的洗衣液在一定量水的洗衣機(jī)中，它在水中釋放的濃度y（克/升）隨著時(shí)間x（分鐘）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝k?f（x），其中f（x）＝．根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)水中洗衣液的濃度不低于4（克/升）時(shí)，它才能起到有效去污的作用．（1）若只投放一次k個(gè)單位的洗衣液，兩分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3（克/升），求k的值；（2）若只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)幾分鐘？【答案】（1）k＝1；（2）只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘．【解答】解：（1）f（x）＝，由2分鐘時(shí)水中洗衣液的濃度為3（克/升），得k?f（2）＝，解得：k＝1；（2）∵k＝4，∴y＝k?f（x）＝，則當(dāng)0≤x≤4時(shí)，由，解得x≥﹣4，∴0≤x≤4；當(dāng)4＜x≤14時(shí)，由28﹣2x≥4，解得x≤12，∴4＜x≤12．綜上可得，0≤x≤12，即只投放一次4個(gè)單位的洗衣液，則有效去污時(shí)間可達(dá)12分鐘．【題型4基本不等式應(yīng)用】【典例4】如圖，某房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)公司計(jì)劃在一棟樓區(qū)內(nèi)建造一個(gè)矩形公園，公園由矩形的休閑區(qū)（陰影部分）和環(huán)公園人行道組成，已知休閑區(qū)的面積為1000平方米，人行道的寬分別為4米和10米，設(shè)休閑區(qū)的長(zhǎng)為x米．（1）求矩形所占面積S（單位：平方米）關(guān)于x的函數(shù)解析式；（2）要使公園所占面積最小，問(wèn)休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為多少米？【答案】（1）；（2）休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為米，米.【解析】（1）因?yàn)樾蓍e區(qū)的長(zhǎng)為x米，休閑區(qū)的面積為1000平方米，所以休閑區(qū)的寬為米；從而矩形長(zhǎng)與寬分別為米米，因此矩形所占面積，（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)因此要使公園所占面積最小，休閑區(qū)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為米，米.【變式4-1】（全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）要建造一個(gè)容積為，深為6m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋蓄水池，池壁的造價(jià)為95元/，池底的造價(jià)為135元/，如何設(shè)計(jì)水池的長(zhǎng)與寬，才能使水池的總造價(jià)控制在7萬(wàn)元以內(nèi)（精確到0.1m）？【答案】長(zhǎng)度應(yīng)該在內(nèi)【解析】設(shè)水池的長(zhǎng)為，寬為；總造價(jià)為元；則，故；；則；解得，故水池的長(zhǎng)在到時(shí)，才能使水池的總造價(jià)控制在萬(wàn)元以內(nèi)．1.某廠印刷某圖書總成本y（元）與圖書日印量x（本）的函數(shù)解析式為y=5x+3000，而圖書出廠價(jià)格為每本10元，則該廠為了不虧本，日印圖書至少為（）A．200本 B．400本 C．600本 D．800本【答案】C【解析】該廠為了不虧本，日印圖書至少為x本，則利潤(rùn)函數(shù)f（x）=10x-（5x+3000）≥0，解得x≥600．∴該廠為了不虧本，日印圖書至少為600本．故選C．2.若矩形的一邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)為，則當(dāng)矩形面積最大時(shí)，（）A． B． C． D．【答案】C【解析】矩形另一邊長(zhǎng)為，且有，面積為，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值．故選：C.3.在自然界中，某種植物生長(zhǎng)發(fā)育的數(shù)量y與時(shí)間x的關(guān)系如下表所示：x123…y135…下面的函數(shù)關(guān)系式中，能表達(dá)這種關(guān)系的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)可判斷函數(shù)為一次函數(shù)，將各數(shù)據(jù)代入中均成立，故選：．4.用一段長(zhǎng)為的鐵絲圍成一個(gè)矩形模型，則這個(gè)模型的最大面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)矩形模型的長(zhǎng)和寬分別為，，則，，由題意可得，所以，所以矩形菜園的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)矩形菜園的長(zhǎng)和寬都為時(shí)，面積最大，為．故選：．5.2019年1月1日起新的個(gè)人所得稅法開(kāi)始實(shí)施，依據(jù)《中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法》可知納稅人實(shí)際取得工資、薪金（扣除專項(xiàng)、專項(xiàng)附加及依法確定的其他）所得不超過(guò)5000元（俗稱“起征點(diǎn)”）的部分不征稅，超出5000元部分為全月納稅所得額.新的稅率表如表：2019年1月1日后個(gè)人所得稅稅率表全月應(yīng)納稅所得額稅率（%）不超過(guò)3000元的部分3超過(guò)3000元至12000元的部分10超過(guò)12000元至25000元的部分20超過(guò)25000元至35000元的部分25個(gè)人所得稅專項(xiàng)附加扣除是指?jìng)€(gè)人所得稅法規(guī)定的子女教育、繼續(xù)教育、大病醫(yī)療、住房貸款利息、住房租金和贍養(yǎng)老人等六項(xiàng)專項(xiàng)附加扣除.其中贍養(yǎng)老人一項(xiàng)指納稅人贍養(yǎng)60歲（含）以上父母及其他法定贍養(yǎng)人的贍養(yǎng)支出，可按照以下標(biāo)準(zhǔn)扣除：納稅人為獨(dú)生子女的，按照每月2000元的標(biāo)準(zhǔn)定額扣除；納稅人為非獨(dú)生子女的，由其與兄弟姐妹分?jǐn)偯吭?000元的扣除額度，每人分?jǐn)偟念~度不能超過(guò)每月1000元.某納稅人只有一個(gè)姐姐，且兩人僅符合規(guī)定中的贍養(yǎng)老人的條件，如果他在2020年5月份應(yīng)繳納個(gè)人所得稅款為180元，那么他當(dāng)月的工資、薪金稅后所得是_____元.【答案】9720【解析】設(shè)他的工資是元，工資是8000元時(shí)納稅為，由于他有專項(xiàng)附加扣1000元，因此他工資是9000元時(shí)，納稅90元，，，納稅后收入為9900－180＝9720（元）．故答案為：9720．6.元時(shí)，可全部租出.當(dāng)每輛車的月租金每增加50元時(shí)，未租出的車將會(huì)增加一輛.租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)150元，未租出的車每輛每月需要維護(hù)費(fèi)50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應(yīng)該定為_(kāi)_________．【答案】4050【解析】設(shè)每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益：當(dāng)時(shí)，最大，最大值為，即當(dāng)每車輛的月租金定為元時(shí)，租賃公司的月收益最大，最大月收益是，故答案為.7．甲廠根據(jù)以往的生產(chǎn)銷售經(jīng)驗(yàn)得到下面有關(guān)生產(chǎn)銷售的統(tǒng)計(jì)規(guī)律：每生產(chǎn)產(chǎn)品x（百臺(tái)），其總成本為G（x）（萬(wàn)元），其中固定成本為3萬(wàn)元，并且每生產(chǎn)1百臺(tái)的生產(chǎn)成本為1萬(wàn)元（總成本＝固定成本+生產(chǎn)成本），銷售收入R（x）＝，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡（即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉），根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題：（1）寫出利潤(rùn)函數(shù)y＝f（x）的解析式（利潤(rùn)＝銷售收入﹣總成本）；（2）甲廠生產(chǎn)多少臺(tái)新產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由題意得G（x）＝3+x，由R（x）＝，∴f（x）＝R（x）﹣G（x）＝，（2）當(dāng)x＞5時(shí)，∵函數(shù)y＝f（x）遞減，∴f（x）＜8.2﹣5＝3.2（萬(wàn)元），當(dāng)0≤x≤5時(shí)，f（x）＝﹣0.4（x﹣4）2+3.6，當(dāng)x＝4時(shí)，f（x）有最大值為3.6（萬(wàn)元）．答：當(dāng)工廠生產(chǎn)4