人教A版數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)課件第四章習(xí)題課對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用

習(xí)題課對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)的應(yīng)用第四章2021課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一解對(duì)數(shù)不等式例1(1)滿足不等式log2(2x-1)<log2(-x+5)的x的取值集合為

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反思感悟

對(duì)數(shù)不等式的三種考查類型及求解方法(1)形如logax>logab(a>0,a≠1,b>0)的不等式,借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解,如果a的取值不確定,需分a>1與0<a<1兩種情況進(jìn)行討論.(2)形如logax>b的不等式,應(yīng)將b化為以a為底數(shù)的對(duì)數(shù)的形式,再借助函數(shù)y=logax的單調(diào)性求解.(3)形如logax>logbx的不等式,利用換底公式化為同底的對(duì)數(shù)進(jìn)行求解或利用圖象求解.變式訓(xùn)練1解不等式2loga(x-4)>loga(x-2)(a>0,a≠1).探究二與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問題例2已知函數(shù)g(x)=log2(3x-1),f(x)=log2(x+1),(1)求不等式g(x)≥f(x)的解集;(2)在(1)的條件下求函數(shù)y=g(x)+f(x)的值域.解

(1)由g(x)≥f(x)得log2(3x-1)≥log2(x+1),故不等式g(x)≥f(x)的解集為{x|x≥1}.(2)y=g(x)+f(x)=log2(3x-1)+log2(x+1)=log2(3x-1)(x+1)=log2(3x2+2x-1),令t=3x2+2x-1,則y=log2t,由(1)可得{x|x≥1},函數(shù)t=3x2+2x-1的對(duì)稱軸為x=-?[1,+∞),故x=1時(shí),tmin=4,即t≥4.又y=log2t在t∈[4,+∞)上單調(diào)遞增,∴當(dāng)x≥1時(shí),y≥log24=2.即所求函數(shù)的值域?yàn)閇2,+∞).反思感悟

與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的值域與最值問題的處理方法(1)求解最值問題,一定要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的二次函數(shù)的最大值、最小值問題,一般要轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題,求二次函數(shù)的最值時(shí)常用配方法,配方時(shí)注意自變量的取值范圍.(2)求形如y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的復(fù)合函數(shù)值域的步驟:①分解成兩個(gè)函數(shù)y=logau,u=f(x);②求f(x)的定義域;③求u的取值范圍;④利用單調(diào)性求解y=logaf(x)(a>0,且a≠1)的值域.變式訓(xùn)練2求下列函數(shù)的值域.(1)y=log2(x2+4);解

(1)y=log2(x2+4)的定義域?yàn)镽.∵x2+4≥4,∴l(xiāng)og2(x2+4)≥log24=2.∴y=log2(x2+4)的值域?yàn)閇2,+∞).(2)設(shè)u=8-2x-x2=-(x+1)2+9≤9,又u>0,∴0<u≤9.探究三對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題例3(1)求函數(shù)f(x)=(x2-2x-3)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)f(x)=lg(x2+ax-a-1)在區(qū)間[2,+∞)上單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.反思感悟

對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的求解方法及注意問題(1)對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)一般可分為兩類:一類是外層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),即y=logaf(x)(a>0,且a≠1);另一類是內(nèi)層函數(shù)為對(duì)數(shù)函數(shù),即y=f(logax)(a>0,且a≠1).①對(duì)于y=logaf(x)(a>0,且a≠1)型的函數(shù)的單調(diào)性,有以下結(jié)論:函數(shù)y=logaf(x)的單調(diào)性與函數(shù)u=f(x)(f(x)>0)的單調(diào)性在a>1時(shí)相同,在0<a<1時(shí)相反.②研究y=f(logax)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一般用換元法,即令t=logax,則只需研究t=logax及y=f(t)的單調(diào)性即可.(2)研究對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,一定要注意先研究函數(shù)的定義域,也就是要堅(jiān)持“定義域優(yōu)先”的原則.

素養(yǎng)形成定義域、值域?yàn)镽的對(duì)數(shù)型函數(shù)的求解典例

已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若f(x)的值域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;(2)若f(x)的定義域?yàn)镽,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【規(guī)范答題】解

(1)令u=ax2+2x+1.∵f(x)的值域?yàn)镽,則函數(shù)u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞).當(dāng)a<0時(shí),顯然不可能;當(dāng)a=0時(shí),u=2x+1∈R成立;當(dāng)a>0時(shí),若u=ax2+2x+1的值域包含(0,+∞),則Δ=4-4a≥0,解得0<a≤1.綜上,可知a的取值范圍是[0,1].(2)由題知,ax2+2x+1>0恒成立,解得a>1,故a的取值范圍是(1,+∞).方法點(diǎn)睛

當(dāng)對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí),其真數(shù)要取遍(0,+∞)內(nèi)的所有值,此時(shí)若對(duì)數(shù)的真數(shù)為二次函數(shù),則該二次函數(shù)的圖象應(yīng)開口向上,且與x軸有公共點(diǎn),而此時(shí)對(duì)應(yīng)的定義域?yàn)楹瘮?shù)與x軸左右兩邊的x的取值.若對(duì)數(shù)函數(shù)的值域?yàn)镽時(shí),則函數(shù)應(yīng)取遍所有的實(shí)數(shù)值,此時(shí)若對(duì)數(shù)的真數(shù)為二次函數(shù),則轉(zhuǎn)化為該二次函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式大于0恒成立問題.變式訓(xùn)練(2021浙江寧波高二期末)已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+6x+18).若f(x)的定義域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

;若f(x)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

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當(dāng)堂檢測(cè)A.(3,5] B.[-3,5]C.[-5,3) D.[-5,-3]答案

C解析

要使函數(shù)有意義,則3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)≤3,∴0<3-x≤8,∴-5≤x<3.A.(0,+∞) B.(-∞,0)C.(2,+∞) D.(-∞,-2)答案

D解析

令t=x2-4>0,可得x>2或x<-2.故函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-∞,-2)∪(2,+∞),3.(2021四川綿陽(yáng)高一期末)若logab>1,其中a>0且a≠1,b>1,則(

)<a<1<b B.1<a<bC.1<b<a D.1<b<a2答案

B解析

由于logab>1,其中a>0且a≠1,且b>1,則a>1,對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax為增函數(shù),則logab>logaa=1,所以b>a>1.故選B.4.函數(shù)y=lnx,x∈(1,e3]的值域是

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