第二節(jié)構(gòu)造函數(shù)求極值最值解函數(shù)不等式問(wèn)題

第二節(jié)構(gòu)造函數(shù)法求極值、最值及求解函數(shù)不等式考點(diǎn)梳理1、多元?dú)w一構(gòu)造法：（1）對(duì)于形如的問(wèn)題，令，確定關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求解；（2）對(duì)于形如的函數(shù)，令，構(gòu)造函數(shù)求解.2、“同構(gòu)法”構(gòu)造新函數(shù)：對(duì)于等式左右兩邊結(jié)構(gòu)特征相同的問(wèn)題可利用“同構(gòu)法”構(gòu)造新函數(shù)求解（主要是“指數(shù)”“對(duì)數(shù)”同構(gòu)型函數(shù)問(wèn)題），其常見(jiàn)形式有：（1）積型：的三種構(gòu)造形式：①型，構(gòu)建函數(shù)；②型，構(gòu)建函數(shù)；③型，構(gòu)建函數(shù).（2）商型：的三種構(gòu)造形式為：①型，構(gòu)建函數(shù)；②型，構(gòu)建函數(shù)；③型，構(gòu)建函數(shù).（3）已知和的關(guān)系式，適當(dāng)構(gòu)造新函數(shù)求解函數(shù)不等式或比較大小問(wèn)題，常見(jiàn)類型有：=1\*GB3①型，構(gòu)造函數(shù)=2\*GB3②型，構(gòu)造函數(shù)=3\*GB3③型，構(gòu)造函數(shù)=4\*GB3④型，構(gòu)造函數(shù)=5\*GB3⑤型，構(gòu)造函數(shù)=6\*GB3⑥型，構(gòu)造函數(shù)=7\*GB3⑦型，構(gòu)造函數(shù)=8\*GB3⑧型，構(gòu)造函數(shù).重難點(diǎn)題型突破一、多元?dú)w一構(gòu)造法例1、（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，與，若這兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量分別為，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)，則，，由，得，則，（），設(shè)函數(shù)，（），則，在上為增函數(shù)，且，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.故．故選:B.二、“同構(gòu)法”構(gòu)造新函數(shù)例2、（2022·四川遂寧市·高三模擬）若，則的最大值為（）A． B． C． D．【分析】首先對(duì)進(jìn)行變形，即，由于左右“指”“對(duì)”同構(gòu)，可構(gòu)造函數(shù)，知在上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可得，再進(jìn)行參變分離，求出函數(shù)最值，即可得解.【詳解】原不等式化為，即，令，知在上單調(diào)遞增，原不等式轉(zhuǎn)化為，所以，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)取得最小值，所以的最大值為.故選：C.點(diǎn)睛：對(duì)于等式左右兩邊結(jié)構(gòu)特征相同的問(wèn)題可利用“同構(gòu)法”構(gòu)造新函數(shù)求解：（1）化為是“指”“對(duì)”同構(gòu)型函數(shù)的常用變形技巧，注意掌握；（2）構(gòu)造函數(shù)、參變分離，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解.三、已知和的關(guān)系式，適當(dāng)構(gòu)造新函數(shù)問(wèn)題求解函數(shù)不等式或比較大小問(wèn)題例3、（2023·山東淄博二模）已知定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，設(shè),則，因?yàn)?，所以，即，所以，所以，，所以，解?故選:B例4、（2023·山東菏澤二模）已知函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)記為，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有，且，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，則，因?yàn)?，所以，即為減函數(shù)，又，故，則不等式等價(jià)，即，解得，故不等式的解集為．故答案為:.例5、（2023·山東青島二模）設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足任意，都有，且時(shí)，，則，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，任意，都有，所以是周期為的周期函數(shù).所以.構(gòu)造函數(shù)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，也即.故選：A例6、（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，由得：且，在上單調(diào)遞減，令，則，且；當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，即，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，即，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，即，，D正確.故選：D.例7、（多選題）（2023·甘肅金昌第一高級(jí)中學(xué)模擬）已知定義在R上的函數(shù)滿足，則下列式子成立的是（

）A． B．C．是R上的增函數(shù) D．，則【答案】AD【解析】由，得，即，所以函數(shù)為R上的增函數(shù)，故，所以，故A正確，B不正確；函數(shù)為增函數(shù)時(shí)，不一定為增函數(shù)，如，顯然是增函數(shù)，但是減函數(shù)，所以C不正確；因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以時(shí)，有，故有成立，所以D正確.故選：AD.例8、（多選題）（2023·重慶市育才中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù)對(duì)于任