第一節(jié)行列式

第一節(jié)行列式第1頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)行列式§1.1.1行列式的定義和性質(zhì)§1.1.2克拉默法則第2頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本要求：1、知道n階行列式的定義；2、了解行列式的性質(zhì)，知道代數(shù)余子式及其性質(zhì)；3、掌握二、三階行列式的計(jì)算，會(huì)求簡(jiǎn)單的n階行列式；4、了解克拉默法姆法則。重點(diǎn)：行列式的計(jì)算第3頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月將個(gè)數(shù)（i，j=1，2，…，n）排成n個(gè)橫行及n個(gè)豎列的方形表格，兩邊再用豎線(xiàn)圍起，就得到n階行列式的記號(hào)：其中每個(gè)數(shù)稱(chēng)為行列式的元素，元素第一個(gè)下標(biāo)表示它所在的行數(shù)，在第1行在第n列第二個(gè)下標(biāo)表示它所在的列數(shù)，就是第i行第j列的元素。n

階行列式的定義§1.1.1行列式的定義和性質(zhì)第4頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義：在n階行列式中，劃去元素所在的第i行和第j列，剩下的n-1階行列式記作稱(chēng)為元素的，稱(chēng)為元素的余子式,而代數(shù)余子式。余子式與代數(shù)余子式第5頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第6頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第7頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義1.1(行列式的值)n階行列式第8頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明1若將n階行列式逐階展開(kāi)，可以得到一個(gè)類(lèi)似于三階行列式展開(kāi)式的代數(shù)和，稱(chēng)之為n階行列式完全展開(kāi)式，它具有以下性質(zhì)：1、行列式是一種特定的算式，其結(jié)果是一個(gè)數(shù);2、n階行列式完全展開(kāi)式中共有n!項(xiàng);說(shuō)明2一階行列式|a|=a不要與絕對(duì)值記號(hào)相混淆。3、完全展開(kāi)式每一項(xiàng)的形式為,其中是1，2，…，n的一個(gè)排列，它是取自|A|的不同行、不同列n個(gè)元素的乘積再添上適當(dāng)?shù)姆?hào)，這個(gè)符號(hào)僅與的排列有關(guān)。第9頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

計(jì)算四階行列式：解：由n階行列式定義（按第一行展開(kāi)），有第10頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾種特殊的行列式第11頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例第13頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月行列式的性質(zhì)行列式稱(chēng)為行列式的轉(zhuǎn)置行列式.記第14頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，下述行列式及其轉(zhuǎn)置是：第15頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，易見(jiàn)即行列式與其轉(zhuǎn)置行列式相等。性質(zhì)1

行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.說(shuō)明行列式中行與列具有同等的地位，因此行列式的性質(zhì)凡是對(duì)行成立的對(duì)列也同樣成立。第16頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

計(jì)算行列式解：第17頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)2

互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。即第18頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如推論

如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零.證明互換相同的兩行，有第19頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)3

行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式.推論

行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面．第20頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，行列式這個(gè)性質(zhì)也可以叫做行列式提取公因式性質(zhì)。要注意，公因式只能按行（列）分別提取.第21頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)4

若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和.則|A|等于下列兩個(gè)行列式之和：例如，可以推廣之！第22頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如，第i行的元素都是兩數(shù)之和：第i行元素都是兩數(shù)之和則第23頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例如：第24頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月需要注意的是：第25頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)5

行列式中如果有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則此行列式為零.證明：第26頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月性質(zhì)6

把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變．例如，第27頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月把第j行的每個(gè)元素乘以k加到第i行的對(duì)應(yīng)元素例如，第28頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月為敘述方便，我們引用下列記號(hào)，這些記號(hào)不僅用于行列式，也用于后面的矩陣：（1）以L(fǎng)i表示第i行，Ci表示第i列；（2）kLi表示以k乘第i行，kCj表示以k乘第j列；（4）Li+kLj

(或Ci+kCj)表示把第i行(列)的全體元素改為它們與第j行(列)相應(yīng)元素的k倍所得的和；（3）Li

Lj

(Ci

Cj)表示對(duì)調(diào)第i行(列)和第j行(列)。

要注意：行列式經(jīng)Li+kLj運(yùn)算后，第i行改變，但第j行不變。同樣，Ci+kCj運(yùn)算使行列式的第i列改變，但第j列不變。第29頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

計(jì)算應(yīng)用舉例

計(jì)算行列式常用方法：利用運(yùn)算把行列式化為上或下三角形行列式，從而算得行列式的值。第30頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解

第31頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第32頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第33頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上述解法中，先用了運(yùn)算C1

C2，其目的是把a(bǔ)11換成1，從而利用運(yùn)算Li

ai1L1，即可把a(bǔ)i1(i=2,3,4)變?yōu)?。如果不先作C1

C2，則由于原式中a11=3，需用運(yùn)算Li

L1把a(bǔ)i1變?yōu)?，這樣計(jì)算時(shí)就比較麻煩。第二步把L2

L1和L4+5L1寫(xiě)在一起，這是兩次運(yùn)算，并把第一次運(yùn)算結(jié)果的書(shū)寫(xiě)省略了。第34頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

計(jì)算行列式的值第35頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解第36頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第37頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第38頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第39頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

在此例中，先利用性質(zhì)2和性質(zhì)6將行列式化為上三角行列式，再計(jì)算其值的方法，是計(jì)算數(shù)字行列式的基本方法。

由于這個(gè)方法的計(jì)算過(guò)程完全格式化，所以對(duì)于階數(shù)較高的數(shù)字行列式可利用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算其值。【注】第40頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解d例

利用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式第41頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5

計(jì)算解第42頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解將第2，3，…，n列都加到第一列得例6

計(jì)算n階行列式第43頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第44頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解：第45頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意：在對(duì)行列式連續(xù)做兩次以上的運(yùn)算時(shí)，第一次運(yùn)算以后，行列式已變化，第二次再作運(yùn)算時(shí)，是對(duì)變化后的行列式作運(yùn)算，而不是對(duì)原來(lái)行列式作做運(yùn)算。第46頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

定理1.1

n階行列式|A|等于它的任一行（列）元素與它們所對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即

實(shí)際上，行列式不但可以按第一行元素展開(kāi)，而且也可以按任一行或者任一列去展開(kāi)，其結(jié)果都是相同的，即有：(按任一行i)展開(kāi)式(按任一列j)展開(kāi)式§1.1.2克拉默法則第47頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.2

行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即第48頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證第49頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月綜合可得代數(shù)余子式的重要性質(zhì)：第50頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

計(jì)算行列式

解：把行列式記為d，各列都加到第1列上去，再?gòu)牡?列中提出然后再依次把第n行減第n－1行，第n－1行減第n－2行，…，第2行減第1行，得第51頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第52頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

證明范德蒙(Vandermonde)行列式第53頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月即當(dāng)n=2時(shí)，上式成立。假設(shè)上式對(duì)于n-1階范德蒙行列式成立，現(xiàn)在證明上式對(duì)于n階范德蒙行列式同樣成立。為此，設(shè)法將Vn進(jìn)行降階：從第n行開(kāi)始，后一行減去前一行的x1倍，由此可得證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明，顯然第54頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第55頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

計(jì)算：解：第56頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例

證明：解法一：利用范德蒙行列式結(jié)果。第57頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.3

設(shè)則第58頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月或者設(shè)則第59頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特殊情形設(shè)則第60頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2

計(jì)算行列式解第61頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月總結(jié)：計(jì)算行列式的三種常用方法

1.利用定義公式計(jì)算;

2.

利用性質(zhì)化為三角形行列式;

3.

利用展開(kāi)式定理降階;4.

行列式按行（列）展開(kāi)法則是把高階行列式的計(jì)算化為低階行列式計(jì)算的重要工具.第62頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

本小節(jié)討論用n階行列式解線(xiàn)性方程組的克萊姆法則。含有n個(gè)線(xiàn)性方程和n個(gè)末知數(shù)的線(xiàn)性方程組：第63頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.4(克萊姆法則)如果線(xiàn)性方程組（1）的系數(shù)行列式不等于零，即其中|Bj|(j=1,2,…,n)是把系數(shù)行列式|A|中第j列的元素用方程組右端的常數(shù)項(xiàng)代替后所得到的n階行列式，即第64頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第65頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所以，由克萊姆法則知它有唯一解。又因?yàn)槔?/p>

解線(xiàn)性方程組解:

因?yàn)榉匠探M的系數(shù)行列式第66頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第67頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注：1.

使用Carmer法則是有條件的；

2.當(dāng)|A|=0或者方程組的個(gè)數(shù)與未知數(shù)的個(gè)數(shù)不相等時(shí)，將在第四節(jié)討論。

3.Carmer法則的計(jì)算量很大，主要在理論上的應(yīng)用。因而有時(shí)常用下述兩個(gè)簡(jiǎn)單結(jié)論。1

如果線(xiàn)性方程組的系數(shù)行列式|A|≠0，則線(xiàn)性方程組有解且解唯一。2如果線(xiàn)性方程組無(wú)解或有兩個(gè)不同的解，則它的系數(shù)行列式|A|=0。第68頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月下面利用行列式和克拉默法則討論幾個(gè)幾何問(wèn)題。例4

設(shè)A，B為平面直角坐標(biāo)系中不同的兩點(diǎn)，其坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)。證明過(guò)兩點(diǎn)A，B的直線(xiàn)方程為證明：設(shè)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線(xiàn)方程為ax+by+c=0.將

A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入上式得

ax1+by1+c=0，ax2+by2+c=0.第69頁(yè)，課件共75頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若d0,由克拉默法則知該方程組只有零解，即a、b、c均為零。但這是不可能的，所以d=0.余下只要證明行列式d的展開(kāi)式中x與y的系數(shù)與中至少有一個(gè)不為零。事實(shí)上，如果它們均為零，將有x1=x2，y1=y2,即A、B為同一個(gè)點(diǎn)，與假設(shè)矛盾。如果把a(bǔ)、b、c看作未知量，上述三個(gè)方程是關(guān)于a、b、c的線(xiàn)性方程組，它的系數(shù)行列式為