2021年滬教版必修二數學期末復習-上海期末真題50題（小題壓軸版）教師版

上海期末真題精選50題（小題壓軸版）

一、單選題

1.（2020?上海交大附中高一期末）設。為AABC所在平面內一點，滿足

204+7礪+3反=。，則AABC的面積與ABOC的面積的比值為

8]2

A.6B.-C.—D.4

37

【答案】A

【分析】作兩=2礪，麗=而百，OC=3OC>由己知可得。是△A'8'C'的重心，由重

心性質可得所求面積比.

【詳解】作礪^=2礪，OBi=7OB>OC'=3OC<如圖，V2OA+1OB+3OC=6；?。

是AA'BC’的重心，則=Saos,C"=Saoci,，設=$△OB'C'~Shoes'=，，

Z

設S4OAB~X，S△OAC=Y，S2OBC~，

:的=2幅，麗=灰龍，OC=3OC^

[OA'-OB'sinZA'OB'

.SOGA'B，

譽---------=14,UPx——tf同理y=-t,z=—t

S^OAB-0A-OBsinZAOB14621

2

S3c=x+y+z=(116

t+-t+—1=—

62121

6

g=ll-=6

SAO~BC1

21

故選:A.

【點睛】本題考查三角形面積的計算，考查向量的加法與數乘法則，體現了向量在解決平面

圖形問題中的優(yōu)越性.

2.(上海曹楊二中高一期末)已知同=2忸卜()，且關于x的方程/+同x+MZ=O有實根,

則5與5的夾角的取值范圍是

【答案】B

【分析】根據方程有實根得到A=，—4同WcosONO,利用向量模長關系可求得

cosew,,根據向量夾角所處的范圍可求得結果.

2

【詳解】?.?關于*的方程同工+濟5=0有實根.-.A=|a|2-4a-^>0

設M與5的夾角為/則同2-4同IMCOSONO

又同=2,卜()2|^|-4|/?|cos/9>0cos6><.^

又。?0,句/.6G%，兀

本題正確選項：B

【點睛】本題考查向量夾角的求解問題，關鍵是能夠利用方程有實根得到關于夾角余弦值的

取值范圍，從而根據向量夾角范圍得到結果.

3.(2018?上海市南洋模范中學高一期中)在△ABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,

c,若c-acosB=(2a-〃)cosA,則AABC為

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【詳解】余弦定理得cosA=C-',cos8=i+Y"代入原式得

2bc2ac

c2-a2+b2_c2+/?2-a2c2+Z72-a2c2-a2+b2c2-a2

--------------=2ci-------------------------------------------------=---------------

2c2bc2c'lacIbc

解得a=b或(？-a?+A?=0

則形狀為等腰或直角三角形，選D.

點睛：判斷三角形形狀的方法

①化邊：通過因式分解、配方等得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀.

②化角：通過三角恒等變形，得出內角的關系，從而判斷三角形的形狀，此時要注意

應用A+8+C=n這個結論.

4.（2018?上海市寶山中學高一期中）AA6C中，a2:b2=tanA:tanB，則AA6C一定是

（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【分析】由已知/:^utanAxanB，利用正弦定理及同角的三角函數的基本關系對式子進

行化簡，然后結合三角函數的性質再進行化簡即可判斷.

【詳解】Va1:b2=tanA:tanB?

sinA

,E.，0sin2AtanA;RsinACOSB

由正弦定理可得，一w=-^=皂SN唱=———7，

snrBtanBsinBsinBcosA

cosB

sinAsinB力0,

.sinAcosB

??=，

sinBcosA

sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin23,丁AB￡（0,乃），A+3c（0,%）,

二2A=23或2A+25=4，

TT

A=8或4+8=二，即三角形為等腰或直角三角形，

2

故選D.

【點睛】本題考查同角三角函數的基本關系及正弦定理的應用，利用正弦定理進行代數式變

形是解題的關鍵和難點.

5.（2018?上海高一期中）在AABC中，若,噌線段8C的中點，點P在線段4在，滿足：

\AM\^l,PA=-2PM,則⑸?（而+方）等于（）.

4444

A.-B.-C.--D.—

9339

【答案】D

【分析】根據向量平行四邊形法則得到通+正=而，且ARM,。共線，根據題意計算各

個線段長度，代入計算得到答案.

【詳解】如圖所示：根據平行四邊形法則得到通+定=而，且A,P,M,O共線

PA-(PB+PC)=PA-PD=-|PA|-|PD|

\AM\=],PA=-2PM國總網T叫4

-網網，

故選：D

【點睛】本題考查了向量的運算，畫出圖像可以直觀理解，是解題的關鍵，意在考查學生的

計算能力.

6.（2019?上海中學高一期中）在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為“、b、c,如

果冬=幽4,則△As。的形狀是（）

h'tanB

A.等腰三角形B.等腰直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.直角三角形

【答案】C

【分析】結合正弦定理和三角恒等變換及三角函數的誘導公式化簡即可求得結果

sinA

sin?

【詳解】利用正弦定理得一華嚕A，化簡得sinAcosA=sinBcos8，

sin-5sinB

cosB

11.7t

即—sin2A=—sin2B,則2A=2B或2A+2B=TC，解得A=j5或A+B=—

222

故/XABC的形狀是等腰三角形或直角三角形

故選：C

【點睛】本題考查根據正弦定理和三角恒等變化，三角函數的誘導公式化簡求值，屬于中檔

題

7.（2018?上海市寶山中學高一期中）鈍角三角形的三邊為。，a+\,a+2,其最大角不

超過120°,則。的取值范圍是（）

35

A.0<a<3B.-<a<3C.2<?<3D.l<a<-

22

【答案】B

【分析】由鈍角三角形的三邊為。，。+1，。+2,根據二角形三邊關系得出。+(。+1)＞。+2,

再由鈍角三角形的最大角不超過120°,設該三角形的最大角為。，則0。＜64120。，由余弦定

理得出_\?-仁+("+1)+聯立不等式組，即可求出。的取值范圍.

22a-(a+l)

【詳解】解：鈍角三角形的三邊分別是“，a+1，a+2,其最大內角不超過12(/，

設該三角形的最大角為。，則

—4cos。＜0,

2

由三角形三邊關系和余弦定理，

a+(a+l)＞a+2

3

得〈1//+(a+])2_(a+2)2解得：＜。＜3,

——＜----------——-----—＜02

22a-(a+1)

3

所以。的取值范圍是：一＜。＜3.

2

故選:B.

【點睛】本題考查根據三角形的三邊關系和余弦定理的應用求參數的取值范圍，考查運算能

力，屬于基礎題.

8.設機GR,復數z=(l+i)(/〃—i)在復平面內對應的點位于實軸上，又函數

f(x)=m\nx+x,若曲線y=/(x)與直線/：y=21有且只有一個公共點，則實數%的

取值范圍為

A.1U{1}B.(^0,0]U{1}

C.(e,0]U{2}D.(-OO,0)U(2,4W)

【答案】A

【分析】由已知求得加，得到/(x),利用導數研究單調性及過(0,-1)的切線的斜率，再畫

出圖形，數形結合，即可求得實數&的取值范圍.

【詳解】由題意，復數z=(l+i)(加—i)=W+l)+W—l)i在復平面內對應的點位于實軸上,

所以—1=0,即帆=1,所以〃x)=lnx+x,x＞0,則尸(司=_+1＞0,所以函數“X)

單調遞增，且當x10時，/(x)f—8,

作出函數.f(x)=lnx+x的圖象，如圖所示:

又由直線/：y=2日一1過點(0,-1),

設切點為(x0,lnx0+x0),則在切點處的切線方程為^-lnx0-x0=(—+l)(x-x0),

把(0,—1)代入，可得—1—Inx。—兀°=—1—%,即In/=0,即飛=1,

即切線的坐標為(LD,代入/：y=2米一1,可得2%=2,即k=1,

又由圖象可知，當2%€(—8,1］,即46(-co,1］時，

2

曲線y=/(6與直線人丁=2丘一1有且只有一個公共點，

綜上所述，當ke(-oo,；］U{l}時，曲線y="x)與直線/：y=2日-1有且只有一個公共點,

故選A.

【點睛】本題主要考查了復數的基本概念，考查函數零點的判定，以及導數的幾何意義和利

用導數研究函數的單調性的應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與運算能力，屬于中

檔試題.

9.設復數4=2g。+①05。仁＜。＜9在復平面上對應向量西，將向量西繞原點所

37t

順時針方向旋轉工后得到向量西，區(qū)對應復數22=4儂8+1近11。)，則1211。=()

2tan。+12tan。一111

A.---------B.---------C.---------D.---------

2tan。-12tan。+12tan。+12tan。一1

【答案】A

【分析】先把復數4化為三角形式，再根據題中的條件求出復數Z2,利用復數相等的條件得

到sin。和cos。的值，求出tan夕.

【詳解】因為|Z||="sin?e+cos?9=Vl+3sin20.

UL”A―o-2sin。icos。1

所以4=，l+3sn?6/+/=,

22

kVl+3sin0vl+3sin0)

c2sin。.萬cos。「fn

設cos1=7「,sin/?=7丁,/7G0,-

Vl+3sin2^Vl+3sin2^I2

cos。

則tanP=

2sin。

2

z2=Vl+3sin0

(5TC

即r=Jl+3sin2。，cose=cos+可sine=sin

cos。

_1+tan/?_2sin6_2tan。+1

1-tan/?]_cos夕2tan-1

2sin?

故選：A.

【點睛】本題考查復數的幾何意義及復數的綜合運算，較難.解答時要注意將％、Z2化為三

角形式然后再計算.

10.(2019?上海曹楊二中高一期末)在AABC中，若6恁.通=2通.肥=3元.乙？，則

角A的大小為

兀71-2萬3兀

A.-B.-C.—D.—

4334

【答案】D

【分析】山平面向量數量積的定義得出tan3、tanC與tanA的等量關系，再由

tanA=-tan(8+C)并代入tanB、tanC與tanA的等量關系式求力tanA的值，從而得出A

的大小.

UUUUUUUlUUUU1UUUUU

【詳解】Q6AC-AB=2AB-BC=3BC-CA>/.6/?ccosA=-2cacosB=-3ahcosC,

/.acosB--3Z?cosA,由正弦定理邊角耳化思想得sinAcosB=-3cosAsinB,

tanA=-3tanB,tanB=--tanA,同理得tanC=--tanA,

32

--tanA--tanA

A/八小tan8+tanC

/.tanA=-tan(fi+C)=--------------------=-------32

1-tanBtanC11

1—--tan/l]?(—tanA

32

5%

NtanA5tanA

—；----------=---------7―,?.,OvAv?,則tanAwO,解得tanA=±l,

l」tan2A6-tanF

6

?.?△46。中至少有兩個銳角，且12118=-』12114,tanC=--tanA,所以，tanA=-l,

32

34

-.-0<A<TT,因此，A=—,故選D.

4

【點睛】本題考查平面向量的數量積的計算，考查利用正弦定理、兩角和的正切公式求角的

值，解題的關鍵就是利用三角恒等變換思想將問題轉化為正切來進行計算，屬于中等題.

11.(2020?上海交大附中高一期末)。是平面上一定點，A,8,C是平面上不共線的三個點,

動點尸滿足OP=OA+〃//e[0,+oo),則尸點的軌跡一定經過AABC的

()

A.外心B.內心C.重心D.垂心

【答案】B

—>—>—>—>

AfiArARAT

【分析】先根據學、3分別衣不向儲A%、方向上的單位向量，確定T-+3的

\AB\14cl\AB\|AC|

->->ABAC

方向與ABAC的角平分線一致,冉山OP=OA+〃----------H7-------；可得到

AB|\AC\

OP-OA=AP

Aflsr

【詳解】解：言分別表示向量a、/方向上的單位向量,

|A8|

—>—>

ARAr

一+一的方向與44c的角平分線一致,

\AB\\AC\

、

ABAC

又-.,OP=0A+〃

ABAC

OP-OA=AP=/.i

,向量力的方向與々AC的角平分線一致

，P點的軌跡一定經過AABC的內心.

故選：B.

【點睛】本題考查平面向量的線性運算和向量的數乘，以及對三角形內心的理解，考查化簡

運算能力.

12.(2017?上海高一期末)設函數f(x)=wcos(x+a)+〃cos(x+〃)，其中見為己

知實常數，xeR,則下列命題中錯誤的是()

A.若/(0)=/(、)=0,則/(x)=O對任意實數x恒成立；

B.若，(0)=0,則函數為奇函數；

C.若嗎)=0,則函數〃x)為偶函數；

D.當/2(())+/2f|)wO時，若/(玉)=/(々)=0,則X-々=2上萬(ZeZ).

【答案】D

(分析】利用兩角和的余弦公式化簡/(x)表達式.

對于A選項，將/(0)=0,/(')=0化簡得到的表達式代入上述/(可表達式，可判斷出A選項

為真命題.

對于B選項，將/(0)=0化簡得到的表達式代入上述/(力表達式，可判斷出“X)為奇函數,

由此判斷出B選項為真命題.

對于C選項，將/(9=0化簡得到的表達式代入上述/(x)表達式，可判斷出/(x)為偶函數,

由此判斷出C選項為真命題.

對于D選項，根據/24))+/2(])工()、八占)=/(々)=0,求得/(力的零點的表達式，由此

求得玉-工2=%不(左EZ),進而判斷出D選項為假命題.

【詳解】

/(x)=m(cosxcosa-sinxsincr)+〃(cosxcos0-sinxsin/?)

=(〃2cosa+〃cos/)cosx—(根sina+〃sin/?)sinx.

不妨設/(x)=(Kcos/+k2cosa2)cosx-ik}sinax+Z:2sina2)sinx.2卜右，。]，/為已知實

常數.

JT

若f(0)=0,則得匕cos6+&2cos4=。；若/(5)=0,則得用sin%+%2sina2=。.

TT

于是當/(())=/(5)=0時，f(x)=0對任意實數X恒成立，即命題A是真命題；

當/'(。)=。時，/(x)=—(Ksina|+%2sina2)sinx,它為奇函數，即命題B是真命題：

當了(?=0時，/(x)=(acosa|+A2cos%)cosx,它為偶函數，即命題C是真命題；

-rr

當/2(0)+/2(5)w()時，令，(x)=0,則

(匕cosax+k2cosa2)cosx-(k1sin%+k2sincr2)sinx=0,

上述方程中，若cosx=。，則sinx=0,這與cos2_r+sin2x=l矛盾，所以cosxwO.

將該方程的兩邊同除以cosx得

k.cosa,+k)cosa.k,cosa+cosa.

tanx=-H~!——J——令一H~x1————~=t(/W0),

k、sinax+k2sina2、kisina]+k2sina2

則tanx=f,解得x=Z?+arctan/(keZ).

不妨取％=44+arctan/,=k27T+arctant(女小工旦^^工),

則％-工2=(A1-&2)?，即％-工2=&4(ZEZ),所以命題D是假命題.

故選：D

【點睛】本小題主要考查兩角和的余弦公式，考查三角函數的奇偶性，考查三角函數零點有

關問題的求解，考查同角三角函數的基本關系式，屬于中檔題.

13.(2020?上海市青浦高級中學高一期末)設函數/(x)=mcos(x+a)+〃cos(x+￡),其中

m、it、a、/為已知實常數，尤eR,有下列四個命題：⑴若，(0)=/圖=°，則門?=0

對任意實數x恒成立；(2)若/(0)=0,則函數/(幻為奇函數；(3)若=則函

數/(X)為偶函數；⑷當尸(0)=尸6卜0時，若/區(qū))=/(々)=0,則由一々=2覬

(ZeZ)；則上述命題中，正確的個數是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】C

【分析】利用兩角和的余弦公式化簡/(x)表達式.

對于命題(1),將〃0)=0,/6)=0化簡得到的表達式代入上述f(x)表達式，可判斷出(1)

選項的真假；

對于命題(2)選項，將/(0)=0化簡得到的表達代代入上述f(x)表達式，可判斷出f(x)為

奇函數，由此判斷出(2)選項的真假；

對于命題(3)選項，將/弓)=0化簡得到的表達式代入上述f(x)表達式，可判斷出，口)為

偶函數，由此判斷出(3)選項的真假；

對于命題(4)選項，根據廣⑼+尸仁卜。、/?㈤"㈤=0,求得/(x)的零點的表

達式，進而判斷出(4)選項的真假.

【詳解】/(%)=m(cosxcosa-sinxsina)+n(cosxcos/7-sinxsinyff)

=(ZMcosa+ncosfl)cosx—(wsina+wsin/?)sinx

不妨設/(x)=(&cos/+自cos%)cos尤一(4sin%&sinq)sinx.匕，&，%，%為已知實

常數.

若門。)=。，則得4-s%=。；若嗎=o,則得小i-si吟=。.

于是當/(0)=/(1)=0時，/(x)=o對任意實數X恒成立，即命題(1)是真命題：

當f(0)=0時，/'(x)=—(4sin】+&sin02)sinx,它為奇函數，即命題(2)是真命題;

當/鄉(xiāng)=0時，/(x)=({cosq+&cosa2)cosx,它為偶函數，即命題⑶是真命題;

當尸(。)+尸(1)h0時，令f(x)=o,則

(%cos%&cos%)cosx-(勺sin必+與sin<z2)sinx=0,

上述方程中，若cosx=0,則sinx=0,這與cc^x+si/xul矛盾，所以cosxwO.

將該方程的兩邊同除以cosx得

Umx_占cos?+k2cosa2人k、cosax+k2cos%_,

sinax+k2sina2'、k}sina]+k2sina2

則tanx=r,解得x=kr+arctanf（keZ）.

不妨取為=占7+arctanf,x2=k27t+arctant（&]€2且&2€2）,

則內一%2=（K-心）〃，即占一々=%萬（A:eZ）,所以命題（4）是假命題.

故選：C

【點睛】本題考查兩角和差公式，三角函數零點，三角函數性質，重點考查讀題，理解題和

推理變形的能力，屬于中檔題型.

a1+h2_sin（A+8）

14.（2019?上海交大附中高一期中）在AA8C中,，則AABC的形狀

a2-b~sin（A—B）

是

A.等腰非直角三角形B.等腰直角三角形

C.直角非等腰三角形D.等腰或直角三角形

【答案】C

【分析】由正弦定理可得sin?8sinAcos6=sin24cosAsin8，化為sin2B=sin2A,

由aw匕nAw8,進而可得結果.

"+廿_sin（A+8）

【詳解】

a2-b2sin（A-8）

（a）+6,sin（A-B）=,2-￡>2）sin（A+5）

化為h2sinAcosB=a2cosAsinB,

由正弦定理可得sin?SsinAcosB=sin2AcosAsinB，

sinBcosB-sinAcosA，

sin2B=sin2A,

a^b,:.Aw8,

7t

:.2B^^-2A,A+B=-,

2

AABC是直角三角形，不是等腰三角形，故選C.

【點睛】判斷三角形狀的常見方法是：（1）通過正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三角

變換得出三角形內角之間的關系進行判斷；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角為邊，通過代

數恒等變換，求出邊與邊之間的關系進行判斷；（3）根據余弦定理確定一個內角為鈍角進而

知其為鈍角三角形.

二、填空題

15.復平面內向量而對應的復數為2+/,1點對應的復數為T,現將通繞力點順時針方向旋轉

90°后得到的向量為而，則點而應的復數為.

【答案】-2i

【分析】求出向量通的三角形式，根據題意得出/=^(cos(。-90°)+isin(6-90°)),

求出而，即可得出點。對應的復數.

【詳解】廠="7=逐，且向量而對應復平面的坐標在第一象限

其中cos6=2=sin8=4=@

則AB=石（cos8+isin

y[55V55

因為通繞4點順時針方向旋轉90°后得到的向量為次

所以AC=-J5（cos（6-90°）+isin（，-90））=6（sin0-zcos6）=1-2i

因為4-1,0),/=(1,-2),所以C(0,-2),則點困應的復數為-2i

故答案為：-2i

【點睛】本題主要考查了復數的三角形式及其運算，屬于中檔題.

16.若復數z滿足j.z=l+2i,其中，是虛數單位，則z的虛部為.

【答案】-1

【分析】利用復數的運算法則求出z,根據虛部的概念即可得出.

1+2/

【詳解】

z=Lj2i=()H=2_z)

i-i

二z的虛部為一1,故答案為一1.

【點睛】本題考查了復數的運算法則、復數的分類，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎

題.

Z..\2OI2

17.i表示虛數單位，則產=.

【答案】1

【分析】利用復數代數形式的乘除運算化簡二，再利用復數的乘法計算可得.

1-Z

【詳解】解：.廣

IL/1—i9z2=—1,『=-，，y4=1,i5=i......

z..\2OI2

，(產=Z20I2=/4x503=/4=1

故答案為：1

【點睛】本題考查復數的代數形式的乘除運算以及復數的乘方，屬于基礎題.

l-i

⑻設i為虛數單位，則幣的虛部為—

【答案】-1

【分析】根據復數除法運算化簡復數，進而得結果

1-Z(j)(lT)1-2/+Z2-2/.

【詳解】-=7==—I

(1+0-0-01-z22

故答案為：-1

【點睛】易錯點睛：本題考查了復數的實部和虛部，在解題時一般利用分子、分母同乘分母

的共輾復數進行運算，化簡為。+沅的形式，分就是這個復數的虛部，一定要注意符號，考查

學生的運算求解能力，屬于易錯題.

19.計算:

【答案】0

【分析】先利用復數的運算法則將總然后計算出及（貴J的值'

吊-圈的直

然后得出

回回（I.?！夯鹧?/p>

【詳解】=(-/)8-/4=1-1=0.

故答案為：0.

20.設復數z滿足|z|=l,且使得關于x的方程〃2+2羨+3=0有實根，則這樣的復數z的和

為.

7

【答案】一一

4

【分析】首先設z=a+0i（a,beR且/+從=1）,代入方程，化簡為

（辦2+26+3）+僅/-2fcc）z=0,再分b=0和/川）兩種情況求。，為驗證是否成立.

【詳解】設z=a+4,（。，beR且儲+〃=1）

則原方程及+2次+3=0變?yōu)椋?2辦+3）+（加-2bx）i=0.

所以?2+2依+3=0,①且灰2一2打=0,②；

（1）若6=0,則/=1解得。=±1,當。=1時①無實數解，舍去;

從而。=—1,f—2x—3=0此時x=—l或3,故z=-1滿足條件；

3

(2)若由②知，x=0或x=2,顯然x=0不滿足，故x=2,代入①得。=——，

8

人=±叵，所以z=—2土叵九

888

7

綜上滿足條件的所以復數的和為-1+

4

7

故答案為：-二

【點睛】思路點睛：本題考查復系數二次方程有實數根問題，關鍵是設復數z=a+4后代入

方程，再進行整理轉化復數的代數形式，注意實部和虛部為0,建立方程求復數z.

21.如果z=走，那么"畋+#+]=.

1-/

【答案】i

【分析】先求出復數Z=^(l+i)，計算出Z?后可求Z100+2的+1的值.

【詳解】因為Z=，2,故Z=4(l+i),所以z2=g(l+i)2=i,

故z儂=(/廣=—1,z50=、『.』,故”+z50+1=3

故答案為：i.

【點睛】知識點睛：對任意的〃wN*，

若n=4k+l,kwN,則嚴+1=，，若n=4k+2,kwN,則*+2=_],

若n=4k+3,keN,則產+3=_j,若n=4k+4,kwN,則嚴+‘=]

22.復數4=l+icos。，z2=sin6?-i,則區(qū)-z21的最大值為.

【答案】V2+1

【分析】利用復數的加減運算法則計算計算Z1-Z2,然后計算卜-Z2I并利用三角函數的性質

分析其最值.

【詳解】因為Z]=l+icos。,z2=sin<9-i,

所以z}-z2=(l-sin6)+(8s6+l)i,

22

故I4-z21=^(1-sin^)+(cos^+l)=j3-2sin6+2cos6=’3一2五5皿(6一？),

所以當sin[e+?J=-l時，|z「Z2|有最大值，且最大值為Iz—ZzL=53+2&=8+1.

故答案為：72+1.

【點睛】本題考查復數的模長計算，解答本題的關鍵在于先要表示出I4-Z2I的表達式，然后

通過輔助角公式將|ZI-Z2|化簡，結合三角函數的性質求解最值.

23.在復平面內，等腰直角三角形0ZZ2以0Z?為斜邊(其中。為坐標原點)，若Z?對應的

復數Z2=1+,則直角頂點4對應的復數Z=.

1+^3>/3_1.1—1+5/3.

【答案】+1或+1

2----2--------2------2

【分析】根據復數的幾何意義由Z2=l+gi,得到卜2|=2,點Z2的坐標為(1,石)，設點Z1

的坐標為(％y),再根據三角形0ZZ2是以oz2為斜邊的等腰直角三角形，則有

西J?衣阿卜日|西■卜夜，再運算求解..

【詳解】因為Z2=l+gi，

所以區(qū)|=2,點Z?的坐標為(1,6).

設點Z1的坐標為(x,y),

則Z?Z1=(x-1,y-6).

由題意得，西_1_衣,|西卜?I西卜四，

J?+y2=2

所以x(x-l)+y(y-V3)=0'

1+V31-V3

x=x=

22

解得，或,

G-i1+73

>=y=

22

所以復數/11+鋁,.或萼+W，,

故答案為:「W+與1,.或粵+W，,

【點睛】本題主要考查了復數的幾何意義，還考查了數形結合的思想和運算求解的能力，屬

于中檔題.

24.(百i-葉

【答案】-2叫1+后)

【分析】利用(后=8,(ai由一川

即得解.

［隔一1)(杼一1)(61『86738673(V3i+l)

【詳解】(/百li-l)\2OI8

^/3i—1>/3i—1(V^i—+1)

二吧萼?N).

故答案為：—22°”(1+Wi)

【點睛】本題考查了復數的事指數運算，考查了學生轉化與劃歸，數學運算的能力，屬于中

檔題.

25.如圖，在AAbC中，9星式的中點，￡在邊46上，BE=2EA,與應交于點。.若

AR

ABAC=6AOEC^則,的值是

/IC-

【答案】6

【分析】由題意將原問題轉化為基底的數量積，然后利用幾何性質可得比值.

【詳解】如圖，過點歷乍加/紐交45于點凡由止2刃，媯式中點，知B2FE=EA,AO=OD.

6AO.EC=3A5^AC-

+AC\AB^C--AB+-AC=AB-AC,

2（33）22

得工通2=3前;即J而卜故空=G.

22AC

【點睛】本題考查在三角形中平面向量的數量積運算，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運

算素養(yǎng).采取幾何法，利用數形結合和方程思想解題.

26.（2020?上海復旦附中高一期末）三角形蘊涵大量迷人性質，例如：若點。在AABC內

部，用臬、SR、SC分別代表AOBC、A。。、AOAB的面積，則有

SA?OA+SB-OB+ScOC=d.現在假設銳角三角形頂點AB,C所對的邊長分別為

a,b,c,"為其垂心，反"3的單位向量分別為,?，則。弓+苑.+，4,=

除，

【答案】6

【分析】由％礪+S"?礪+Sc=0可得卜?阿阿1+；力|研麗,+

；C.同回忖=6,根據相似三角形可得|西網=|近||而|西匹卜匹||西，即

|而||而|=|近||而|=|而||明，即可得a]+8W+cW=0

【詳解】由叢?西+Ss?礪+Sc?炭=0可得

呆網麗E+$網而歸+上網甌厘=6

根據ABHD^AAHE可得|^D||HA|=|麻||而|,同理可得|訴||比卜|近||麗|,

所以網網=1研麗卜研明，

所以aex+be2+ce3=0

故答案為：0

【點睛】本題以三角形中的結論為載體，考查了垂心的性質，涉及三角形面積公式、相似三

角形的性質，屬于難題.

27.(2018?上海高一期中)向量7,1是平面直角坐標系x軸、y軸的基本單位向量，且

\a-i\+\a-2j\=45，則忸+24的取值范圍是

【答案】

【分析】先確定￡=(x,y)對應的點在線段AB上，再利用圖形中距離的最大最小值得到答案.

【詳解】如圖所不:由題意知i=(1,0),/=(0,1),設a=(x,y)

則|￡-料￡-2|表示點(耳丫)到4(1,0),8(0,2)的距離之和，|陰=石,

故￡=(x,y)對應的點在線段AB上

|￡+2力表示2=(羽y)對應的點到P(—2,0)的距離.

如圖所示：最短距離為垂線段。。=出411/4=3*2=述，最長距離為R4=3

V55

故答案為:

【點睛】本題考查了向量的模的最值，轉化為圖形中的對應長度是解題的關鍵，簡化了運算.

28.(2019?上海中學高一期中)已知/(同是定義在R上的奇函數，且％<0時，/(力單調

遞增，已知=設g(x)=sin2x+〃zcosx-2a,集合

■JT

“二<〃2|對任意無￡0,—,有集合

N=m|對任意xe0,1J,葡[g(x)]VO，,則MC|N=.

【答案】(4-2后,+8)

【分析】由已知可得：x<—1時，/(x)<0,0<x<l時，/(x)<0,將/[g(x)]vo轉化

成g(x)<—1或0<g(x)<l,即可將McN轉化成：

A=，加|對任意xe0,—，有g(x)V-。，即可轉化成：-~C°SA<m

IL2jJ12-cosx_L

對任意xe0)|成立，令/=2-cosx,整理得：-仁+〃+4<m,再利用基本不等

式即可得解.

【詳解】

因為/(力是定義在R上的奇函數，XV0時，/(X)單調遞增，且/(—1)=0

所以x<—l時，/(%)<0,0cx<1時，/(x)<0,

所以/[g(x)]〈O可化為：g(x)<-1或0<g(x)<1,

所以集合N=<對任意xw0,^-,有7'[g(x)]<0,可化為：

-JT

集合N=<m|對任裁e0,—,有g(x)<-l或0<g(x)<l、，

所以MP|N=A=,根I對任意無€0,y,有g(x)<-l>

即：sin^x+mcosc-Zm<-1對任意x￡°，,恒成立.

即：2二cosx<一對任意xwo,g恒成立，即：2一cos*<m

2-cosxL2J|_2-cosx」1rax

02

記丁=---C0SA,令，=2-cosx,則1目1,3],且cosx=2-f,代入得：

2-cosx

y=_(7+f)+4〈一2/"+4=-2應+4,當且僅當.=&時，等號成立.

所以丁3=-2血+4，

所以—20+4c%，

所以MDN=(4—28,+8)

【點睛】本題主要考查了奇函數的應用及函數單調性的應用，還考查了交集運算及參變分離

法解決恒成立問題，還考查了換元法、轉化思想及利用基本不等式求最值，屬于難題.

29.(2020?上海市向明中學高一期中)已知等差數列｛〃“｝的公差”e(O,幻，數列｛2｝滿足

b?=sin(a.)，集合S=｛x|x=%〃eN'｝,若4=],集合S中恰好有兩個元素，則"=

【答案】乃或日

【分析】計算2=1,4=cosdwl,討論4=1和4=cosd兩種情況，計算得到d的值，

再驗證得到答案.

【詳解】根據題意：=sin(al)=siny=1,4=sin(q+4)=$布(>4)=8§4,

dG(O,^T],故d=cosdwl,用=sin產+2d=cos2d,

當&=cos2d=1時,dG(0,^],故d=4；

當4=cos2d=cosd0^,即2cos21—cosd—1=0，解得cosd=l(舍去)或cosd=-；

d￡(0,4],故1=彳.

y+(rt-l)J=COS(7?-1)J

bn=sin&)=sin

當4=%時，2=cos[(〃-l)句，此時5=卜|》=6,,,〃€"}={0,1},滿足條件;

當1=夸時，b"=cos|-(n-l)^,此時S={x|x=〃,"eN*}={l,-g1,滿足條件.

綜上所述：d=萬或"

故答案為：72■或事27r.

【點睛】本題考查了根據三角函數的值域求參數，等差數列，集合的元素，意在考查學生的

計算能力和綜合應用能力.

30.(2020?上海華師大二附中高一期中)若函數/(x)