2022高考數(shù)學(xué)（文）一輪復(fù)習(xí)模擬試題37

eq\a\vs4\al(命題要點：三角形中實際應(yīng)用問題′11年1考，′09年1考.)A級(時間：40分鐘滿分：60分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．渡輪以15k4km/h，則渡輪實際航行的速度為(精確到0.1A．14.5km/h C．13.5km/h 解析畫示意圖直接求．答案C2．如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A，B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A，B間距離的是()．A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b解析選項B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可確定AB.選項C中可由余弦定理確定AB.選項D同B類似，故選A.答案A3．某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()．\r(3) B．2eq\r(3) \r(3)或2eq\r(3) D．3解析如圖所示，設(shè)此人從A出發(fā)，則AB＝x，BC＝3，AC＝eq\r(3)，∠ABC＝30°，由余弦定理得(eq\r(3))2＝x2＋32－2x·3·cos30°，整理得x2－3eq\r(3)x＋6＝0，解得x＝eq\r(3)或2eq\r(3).答案C4．(2022·青島模擬)如圖，在湖面上高為10m處測得天空中一朵云的仰角為30°，測得湖中之影的俯角為45°，則云距湖面的高度為(精確到0.1m)()．A．2.7mB．17.3mC．37.3mD．373m解析在△ACE中，tan30°＝eq\f(CE,AE)＝eq\f(CM－10,AE).∴AE＝eq\f(CM－10,tan30°)m.在△AED中，tan45°＝eq\f(DE,AE)＝eq\f(CM＋10,AE)，∴AE＝eq\f(CM＋10,tan45°)m，∴eq\f(CM－10,tan30°)＝eq\f(CM＋10,tan45°)，∴CM＝eq\f(10\r(3)＋1,\r(3)－1)＝10(2＋eq\r(3))≈(m)．答案C5．如圖所示，D、C、B三點在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點測得A點的仰角分別是β、α(α＜β)，則點A離地面的高AB等于()．\f(asinαsinβ,sinβ－α) \f(asinαsinβ,cosβ－α)\f(acosαcosβ,sinβ－α) \f(acosαcosβ,cosβ－α)解析在△ADC中，∠DAC＝β－α，由正弦定理，eq\f(AC,sinα)＝eq\f(a,sinβ－α)，得AC＝eq\f(asinα,sinβ－α).在Rt△ABC中，AB＝AC·sinβ＝eq\f(asinαsinβ,sinβ－α).答案A二、填空題(每小題4分，共12分)6．江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，船與炮臺底部在同一水面上，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和60°，而且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距________m.解析如圖，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，由余弦定理得，MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案10eq\r(3)7．(2022·大連部分中學(xué)聯(lián)考)如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60°，再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45°，則塔AB的高是________米．解析在△BCD中，CD＝10米，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，eq\f(BC,sin45°)＝eq\f(CD,sin30°)，BC＝eq\f(CDsin45°,sin30°)＝10eq\r(2)(米)．在Rt△ABC中，tan60°＝eq\f(AB,BC)，AB＝BCtan60°＝10eq\r(6)(米)．答案10eq\r(6)8．(2022·安徽三校聯(lián)考)2010年11月12日廣州亞運會上舉行升旗儀式．如圖，在坡度為15°的觀禮臺上，某一列座位所在直線AB與旗桿所在直線MN共面，在該列的第一個座位A和最后一個座位B測得旗桿頂端N的仰角分別為60°和30°，且座位A、B的距離為10eq\r(6)米，則旗桿的高度為________米．解析由題可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，由正弦定理得eq\f(AN,sin45°)＝eq\f(10\r(6),sin30°)，解得AN＝20eq\r(3)(米)，在Rt△AMN中，MN＝20eq\r(3)sin60°＝30(米)．故旗桿的高度為30米．答案30三、解答題(共23分)9．(11分)隔河看兩目標(biāo)A與B，但不能到達(dá)，在岸邊先選取相距eq\r(3)千米的C，D兩點，同時，測得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A，B之間的距離．解如圖所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝eq\r(3)(千米)，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理得，BC＝eq\f(\r(3)sin75°,sin60°)＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)(千米)．在△ABC中，由余弦定理，可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA即AB2＝(eq\r(3))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－2eq\r(3)·eq\f(\r(6)＋\r(2),2)cos75°＝5.∴AB＝eq\r(5)(千米)．所以，兩目標(biāo)A、B間的距離為eq\r(5)千米．10．(12分)(2022·廣州二測)如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時追上，此時到達(dá)C處．(1)求漁船甲的速度；(2)求sinα的值．解(1)依題意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos120°＝784.解得BC＝28(海里)．所以漁船甲的速度為eq\f(BC,2)＝14海里/時．(2)在△ABC中，因為AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得eq\f(AB,sinα)＝eq\f(BC,sin120°).即sinα＝eq\f(ABsin120°,BC)＝eq\f(12×\f(\r(3),2),28)＝eq\f(3\r(3),14).B級(時間：30分鐘滿分：40分)一、選擇題(每小題5分，共10分)1．據(jù)新華社報道，強臺風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸．臺風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹被大風(fēng)折斷．某路邊一樹干被臺風(fēng)吹斷后，折成與地面成45°角，樹干也傾斜為與地面成75°角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點與樹干底部的距離是()．\f(20\r(6),3)米B．10eq\r(6)米\f(10\r(6),3)米D．20eq\r(2)米解析如圖所示，設(shè)樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，eq\f(AO,sin45°)＝eq\f(20,sin60°)，∴AO＝eq\f(20\r(6),3)(米)．答案A2．(2022·貴陽模擬)如圖，飛機的航線和山頂在同一個鉛垂面內(nèi)，若飛機的高度為海拔18km，速度為1000kA．B．6.6C．解析AB＝1000×1000×eq\f(1,60)＝eq\f(50000,3)(m)，∴BC＝eq\f(AB,sin45°)·sin30°＝eq\f(50000,3\r(2))(m)．∴航線離山頂h＝eq\f(50000,3\r(2))×sin75°≈(km)．∴山高為18－＝(km)．答案B二、填空題(每小題4分，共8分)3．如圖，在日本地震災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救狗從A處沿正北方向行進(jìn)xm到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)一個生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105°，進(jìn)行10m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉(zhuǎn)135°后繼續(xù)前行回到出發(fā)點，那么x＝________.解析由題知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴eq\f(x,sin45°)＝eq\f(10,sin60°).∴x＝eq\f(10\r(6),3)m.答案eq\f(10\r(6),3)m4．(2022·合肥一檢)如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m海里后在B處測得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n海里范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件________時，該船沒有觸礁危險．解析由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得eq\f(BM,sin90°－α)＝eq\f(m,sinα－β)，解得BM＝eq\f(mcosα,sinα－β)，要使該船沒有觸礁危險需滿足BMsin(90°－β)＝eq\f(mcosαcosβ,sinα－β)＞n，所以當(dāng)α與β的關(guān)系滿足mcosαcosβ＞nsin(α－β)時，該船沒有觸礁危險．答案mcosαcosβ＞nsin(α－β)三、解答題(共22分)5．(10分)(2022·陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達(dá)D點需要多長時間？解由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°，在△DAB中，由正弦定理得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝eq\f(5\r(3)\r(3)＋1,\f(\r(3)＋1,2))＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，則需要的時間t＝eq\f(30,30)＝1(小時)．所以，救援船到達(dá)D點需要1小時．6．(★)(12分)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上．在小艇出發(fā)時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設(shè)該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過t小時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？(2)假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時，試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．思路分析第(1)問建立航行距離與時間的函數(shù)關(guān)系式；第(2)問建立速度與時間的函數(shù)關(guān)系式．解(1)設(shè)相遇時小艇航行的距離為S海里，則S＝eq\r(900t2＋400－2·30t·20·cos90°－30°)＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,3)))2＋300).故當(dāng)t＝eq\f(1,3)時，Smin＝10eq\r(3)(海里)，此時v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3)(海里/時)．即，小艇以30eq\(2)設(shè)小艇與輪船在B處相遇，則v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故v2＝900－eq\f(600,t)＋