專(zhuān)題12 文科立體幾何高考真題大題(全國(guó)卷)賞析(解析版)-2021年高考數(shù)學(xué)立體幾何中必考知識(shí)專(zhuān)練

中學(xué)教育中學(xué)教育專(zhuān)題12：文科立體幾何高考真題大題（全國(guó)卷）賞析（解析版）題型一：求體積1，2018年全國(guó)卷Ⅲ文數(shù)高考試題如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線(xiàn)段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，理由見(jiàn)解析【詳解】分析：（1）先證,再證，進(jìn)而完成證明．（2）判斷出P為AM中點(diǎn)，，證明MC∥OP，然后進(jìn)行證明即可．詳解：（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線(xiàn)為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí)，MC∥平面PBD．證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明，利用線(xiàn)線(xiàn)垂直得到線(xiàn)面垂直，再得到面面垂直，第二問(wèn)先斷出P為AM中點(diǎn)，然后作輔助線(xiàn)，由線(xiàn)線(xiàn)平行得到線(xiàn)面平行，考查學(xué)生空間想象能力，屬于中檔題．2，2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)I卷）如圖，在平行四邊形中，，，以為折痕將△折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且．（1）證明：平面平面；（2）為線(xiàn)段上一點(diǎn)，為線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，求三棱錐的體積．【答案】(1)見(jiàn)解析.(2)1.【解析】分析：(1)首先根據(jù)題的條件，可以得到=90，即，再結(jié)合已知條件BA⊥AD，利用線(xiàn)面垂直的判定定理證得AB⊥平面ACD，又因?yàn)锳B平面ABC，根據(jù)面面垂直的判定定理，證得平面ACD⊥平面ABC；(2)根據(jù)已知條件，求得相關(guān)的線(xiàn)段的長(zhǎng)度，根據(jù)第一問(wèn)的相關(guān)垂直的條件，求得三棱錐的高，之后借助于三棱錐的體積公式求得三棱錐的體積.詳解：（1）由已知可得，=90°，．又BA⊥AD，且，所以AB⊥平面ACD．又AB平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=．又，所以．作QE⊥AC，垂足為E，則．由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱錐的體積為．點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有面面垂直的判定以及三棱錐的體積的求解，在解題的過(guò)程中，需要清楚題中的有關(guān)垂直的直線(xiàn)的位置，結(jié)合線(xiàn)面垂直的判定定理證得線(xiàn)面垂直，之后應(yīng)用面面垂直的判定定理證得面面垂直，需要明確線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求三棱錐的體積的時(shí)候，注意應(yīng)用體積公式求解即可.3．2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅱ）如圖，長(zhǎng)方體ABCD–A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，點(diǎn)E在棱AA1上，BE⊥EC1.（1）證明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE=A1E，AB=3，求四棱錐的體積．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）18【分析】（1）先由長(zhǎng)方體得，平面，得到，再由，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理，即可證明結(jié)論成立；（2）先設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為，根據(jù)題中條件求出；再取中點(diǎn)，連結(jié)，證明平面，根據(jù)四棱錐的體積公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)樵陂L(zhǎng)方體中，平面；平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面；（2）設(shè)長(zhǎng)方體側(cè)棱長(zhǎng)為，則，由（1）可得；所以，即，又，所以，即，解得；取中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，則；所以平面，所以四棱錐的體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線(xiàn)面垂直的判定，依據(jù)四棱錐的體積，熟記線(xiàn)面垂直的判定定理，以及四棱錐的體積公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.4．2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)2卷）四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面,（1）證明：直線(xiàn)平面;（2）若△面積為，求四棱錐的體積.

【答案】（Ⅰ）見(jiàn)解析（Ⅱ）【分析】試題分析：證明線(xiàn)面平有兩種思路，一是尋求線(xiàn)線(xiàn)平行，二是尋求面面平行；取中點(diǎn)，由于平面為等邊三角形，則，利用面面垂直的性質(zhì)定理可推出底面ABCD，設(shè)，表示相關(guān)的長(zhǎng)度，利用的面積為，求出四棱錐的體積.試題解析：（1）在平面內(nèi)，因?yàn)?所以又平面平面故平面（2）取的中點(diǎn)，連接由及得四邊形為正方形，則.因?yàn)閭?cè)面為等邊三角形且垂直于底面，平面平面，所以底面因?yàn)榈酌妫?設(shè)，則，取的中點(diǎn)，連接，則,所以，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得（舍去），于是所以四棱錐的體積【詳解】題型二：求距離5．2018年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文數(shù)（全國(guó)卷II）如圖，在三棱錐中，，，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）詳見(jiàn)解析（2）．【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長(zhǎng)即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.詳解：（1）因?yàn)锳P=CP=AC=4，O為AC的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AC，且OP=．連結(jié)OB．因?yàn)锳B=BC=，所以△ABC為等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足為H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的長(zhǎng)為點(diǎn)C到平面POM的距離．由題設(shè)可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以O(shè)M=，CH==．所以點(diǎn)C到平面POM的距離為．點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問(wèn)多以線(xiàn)面的證明為主，解題的核心是能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)關(guān)系的證明；本題第二問(wèn)可以通過(guò)作出點(diǎn)到平面的距離線(xiàn)段求解，也可利用等體積法解決.6．2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為，且平面.（1）證明：（2）若,求三棱柱的高.【答案】（1）詳見(jiàn)解析;（2）三棱柱的高為.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意欲證明線(xiàn)線(xiàn)垂直通?？赊D(zhuǎn)化為證明線(xiàn)面垂直，又由題中四邊形是菱形，故可想到連結(jié)，則O為與的交點(diǎn)，又因?yàn)閭?cè)面為菱形，對(duì)角線(xiàn)相互垂直;又平面，所以，根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定定理可得：平面ABO，結(jié)合線(xiàn)面垂直的性質(zhì)：由于平面ABO，故;（2）要求三菱柱的高，根據(jù)題中已知條件可轉(zhuǎn)化為先求點(diǎn)O到平面ABC的距離，即：作，垂足為D，連結(jié)AD，作，垂足為H，則由線(xiàn)面垂直的判定定理可得平面ABC，再根據(jù)三角形面積相等：，可求出的長(zhǎng)度，最后由三棱柱的高為此距離的兩倍即可確定出高．試題解析：（1）連結(jié)，則O為與的交點(diǎn).因?yàn)閭?cè)面為菱形，所以.又平面，所以，故平面ABO.由于平面ABO，故.（2）作，垂足為D，連結(jié)AD，作，垂足為H.由于，，故平面AOD，所以，又，所以平面ABC.因?yàn)?，所以為等邊三角形，又，可?由于，所以,由，且，得，又O為的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面ABC的距離為.故三棱柱的高為.考點(diǎn)：1.線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面垂直的轉(zhuǎn)化;2.點(diǎn)到面的距離;3.等面積法的應(yīng)用7．2014年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（全國(guó)Ⅱ卷）如圖，四棱錐中，底面為矩形，面，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面;（2）設(shè)，，三棱錐的體積，求A到平面PBC的距離．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）到平面的距離為【詳解】試題分析：（1）連結(jié)BD、AC相交于O，連結(jié)OE，則PB∥OE，由此能證明PB∥平面ACE．（2）以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出A到平面PBD的距離試題解析：(1）設(shè)BD交AC于點(diǎn)O，連結(jié)EO．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)．又E為PD的中點(diǎn)，所以EO∥PB又EO平面AEC，PB平面AEC所以PB∥平面AEC．（2）由，可得.作交于．由題設(shè)易知，所以故，又所以到平面的距離為法2：等體積法由，可得.由題設(shè)易知,得BC假設(shè)到平面的距離為d，又因?yàn)镻B=所以又因?yàn)?或)，，所以考點(diǎn)：線(xiàn)面平行的判定及點(diǎn)到面的距離8．2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅰ）如圖，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點(diǎn).（1）證明：MN∥平面C1DE；（2）求點(diǎn)C到平面C1DE的距離．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【分析】（1）利用三角形中位線(xiàn)和可證得，證得四邊形為平行四邊形，進(jìn)而證得，根據(jù)線(xiàn)面平行判定定理可證得結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得三棱錐的體積，再求出的面積，利用求得點(diǎn)C到平面的距離，得到結(jié)果.【詳解】（1）連接，，分別為，中點(diǎn)為的中位線(xiàn)且又為中點(diǎn)，且且四邊形為平行四邊形，又平面，平面平面（2）在菱形中，為中點(diǎn)，所以，根據(jù)題意有，，因?yàn)槔庵鶠橹崩庵杂衅矫?，所以，所以，設(shè)點(diǎn)C到平面的距離為，根據(jù)題意有，則有，解得，所以點(diǎn)C到平面的距離為.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有線(xiàn)面平行的判定，點(diǎn)到平面的距離的求解，在解題的過(guò)程中，注意要熟記線(xiàn)面平行的判定定理的內(nèi)容，注意平行線(xiàn)的尋找思路，再者就是利用等積法求點(diǎn)到平面的距離是文科生常考的內(nèi)容.題型三：求面積9．2017年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)1卷）如圖，在四棱錐中，，且.（1）證明：平面平面；（2）若，，且四棱錐的體積為，求該四棱錐的側(cè)面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【詳解】試題分析：（1）由，得，．從而得，進(jìn)而而平面，由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）設(shè)，取中點(diǎn)，連結(jié)，則底面，且，由四棱錐的體積為，求出，由此能求出該四棱錐的側(cè)面積.試題解析：（1）由已知，得，．由于，故，從而平面．又平面，所以平面平面．（2）在平面內(nèi)作，垂足為．由（1）知，面，故，可得平面．設(shè)，則由已知可得，．故四棱錐的體積．由題設(shè)得，故．從而，，．可得四棱錐的側(cè)面積為10．2015年全國(guó)普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試文科數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ）如圖四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD交點(diǎn)，，（I）證明：平面平面；（II）若，三棱錐的體積為，求該三棱錐的側(cè)面積.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）3+2【分析】（1）由四邊形ABCD為菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由線(xiàn)面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（2）設(shè)AB=，通過(guò)解直角三角形將AG、GC、GB、GD用x表示出來(lái)，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根據(jù)條件三棱錐的體積為求出x，即可求出三棱錐的側(cè)面積.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以ACBD，因?yàn)锽E平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED（2）設(shè)AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC=,GB=GD=.因?yàn)锳EEC，所以在AEC中，可得EG=.連接EG，由BE平面ABCD，知EBG為直角三角形，可得BE=.

由已知得，三棱錐E-ACD的體積.故=2從而可得AE=EC=ED=.所以EAC的面積為3，EAD的面積與ECD的面積均為.故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)；面面垂直的判定；三棱錐的體積與表面積的計(jì)算；邏輯推理能力；運(yùn)算求解能力.11．2019年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（文科）（新課標(biāo)Ⅲ）圖1是由矩形和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，，將其沿折起使得與重合，連結(jié)，如圖2.（1）證明圖2中的四點(diǎn)共面，且平面平面；（2）求圖2中的四邊形的面積.【答案】(1)見(jiàn)詳解；(2)4.【分析】(1)因?yàn)檎奂埡驼澈喜桓淖兙匦?，和菱形?nèi)部的夾角，所以，依然成立，又因和粘在一起，所以得證.因?yàn)槭瞧矫娲咕€(xiàn)，所以易證.(2)欲