高等數(shù)學(xué) 第十一章 曲線積分與曲面積分

曲線積分與曲面積分前一章我們已經(jīng)把積分概念從積分范圍的角度從數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間推廣到平面或空間內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，在應(yīng)用領(lǐng)域，有時(shí)常常會(huì)遇到計(jì)算密度不均勻的曲線的質(zhì)量、變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功、通過某曲面的流體的流量等，為解決這些問題，需要對(duì)積分概念作進(jìn)一步的推廣，引進(jìn)曲線積分和曲面積分的概念，給出計(jì)算方法，這就是本章的中心內(nèi)容，此外還要介紹Green公式、Gauss公式和Stokes公式，這些公式揭示了存在于各種積分之間的某種聯(lián)系。重點(diǎn)第二型曲線積分與曲面積分的概念和計(jì)算方法Green公式、Gauss公式曲線積分與路徑無關(guān)的條件難點(diǎn)第二型曲面積分的計(jì)算基本要求①正確理解曲線積分和曲面積分概念②熟練掌握曲線積分與曲面積分的計(jì)算方法③掌握幾種積分間的聯(lián)系，明確它們?cè)诟拍睢⑿再|(zhì)、計(jì)算方法上的異同④掌握第二型曲線積分與路徑無關(guān)的條件⑤牢固掌握Green公式及其成立條件⑥牢固掌握Gauss公式及其成立條件對(duì)弧長的曲線積分及其計(jì)算一、問題的提出實(shí)例:曲線形構(gòu)件的質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割求和近似值取極限精確值二、對(duì)弧長的曲線積分的概念1.定義積分弧段被積函數(shù)積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量2.存在條件：3.推廣注意：4.性質(zhì)三、對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算定理注意:特殊情形推廣:一代、二換、三定限代：將積分曲線的參數(shù)方程代入被積函數(shù)，換：換弧微元定限：定積分限，下限—小參數(shù)，上限—大參數(shù)例1。計(jì)算其中L為在第二象限的部分解一將L表示為解二將L表示為解三將L表示為參數(shù)方程例2解例3解例4解例5解由對(duì)稱性,知注關(guān)于對(duì)弧長的曲線積分的對(duì)稱性①若L關(guān)于

y

軸對(duì)稱其中L1

是L的關(guān)于

y

軸對(duì)稱的部分弧段②若L關(guān)于x

軸對(duì)稱其中L2是L的關(guān)于x

軸對(duì)稱的部分弧段③若L

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱其中L3是L的對(duì)稱的部分弧段④若L

關(guān)于直線

y=x

對(duì)稱與重積分的對(duì)稱性十分類似四、幾何與物理意義五、小結(jié)1、對(duì)弧長曲線積分的概念2、對(duì)弧長曲線積分的計(jì)算3、對(duì)弧長曲線積分的應(yīng)用思考題對(duì)弧長的曲線積分的定義中的符號(hào)可能為負(fù)嗎？思考題解答的符號(hào)永遠(yuǎn)為正，它表示弧段的長度.練習(xí)題練習(xí)題答案實(shí)例:

變力沿曲線所作的功常力所作的功分割對(duì)坐標(biāo)的曲線積分一、問題的提出求和近似值取極限精確值二、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的概念1.定義類似地定義2.存在條件：3.組合形式4.推廣5.性質(zhì)即對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與曲線的方向有關(guān).三、對(duì)坐標(biāo)的曲線積分的計(jì)算定理一代、二換、三定限曲線積分化成參變量的定積分代將L的參數(shù)方程代入被積函數(shù)換定限下限——起點(diǎn)參數(shù)值上限——終點(diǎn)參數(shù)值特殊情形(4)兩類曲線積分之間的聯(lián)系：其中（可以推廣到空間曲線上）可用向量表示有向曲線元；例1解例2解例3問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同積分結(jié)果不同.解問題：被積函數(shù)相同，起點(diǎn)和終點(diǎn)也相同，但路徑不同而積分結(jié)果相同.四、小結(jié)1、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的概念2、對(duì)坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算3、兩類曲線積分之間的聯(lián)系思考題思考題解答曲線方向由參數(shù)的變化方向而定.練習(xí)題練習(xí)題答案Green

公式（1）設(shè)D為平面區(qū)域,如果D內(nèi)任一閉曲線所圍成的部分都屬于D,則稱D為平面單連通區(qū)域,否則稱為復(fù)連通區(qū)域.D單連通區(qū)域D復(fù)連通區(qū)域一、區(qū)域連通性的分類設(shè)空間區(qū)域G,如果G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G,則稱G是空間二維單連通域;如果G內(nèi)任一閉曲線總可以張一片完全屬于G的曲面,則稱G為空間一維單連通區(qū)域.G一維單連通二維單連通G一維單連通二維不連通G一維不連通二維單連通二、Green公式定理1邊界曲線L的正向:當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D總在他的左邊.證明(1)yxoDabcdCEAByxodDcCE同理可證兩式相加得證明(2)D證明(3)DABCE由(2)知三、簡單應(yīng)用1.簡化曲線積分

xyoLAB2.簡化二重積分xyo解xyoLyxo(注意格林公式的條件)3.計(jì)算平面面積解例5計(jì)算星形線所圍圖形的面積解一用定積分如圖所示由對(duì)稱性，只需計(jì)算第一象限部分的面積解二用曲線積分四、小結(jié)1.連通區(qū)域的概念;2.二重積分與曲線積分的關(guān)系——Green公式;3.格林公式的應(yīng)用.思考題若區(qū)域

如圖為復(fù)連通域，試描述格林公式中曲線積分中L的方向。思考題解答由兩部分組成外邊界：內(nèi)邊界：如果在區(qū)域G內(nèi)有yxoGABGreen公式（2）一、曲線積分與路徑無關(guān)的定義二、曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理2有關(guān)定理的說明：兩條件缺一不可如在原點(diǎn)處不連續(xù)若L

不經(jīng)過也不包圍原點(diǎn)，則L所圍區(qū)域?yàn)閱芜B通域偏導(dǎo)數(shù)也連續(xù)若L

包圍原點(diǎn)在其內(nèi)，偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)則以原點(diǎn)為心，充分小的r

為半徑作一正向小圓周在L和所圍成的區(qū)域內(nèi)，偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)但區(qū)域已不再是單連域其中正、負(fù)號(hào)取決于L

的方向三、二元函數(shù)的全微分求積定理3解解四、小結(jié)與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題練習(xí)題練習(xí)題答案曲線積分習(xí)題課一、主要內(nèi)容曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義性質(zhì)計(jì)算公式兩者關(guān)系曲線積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義實(shí)質(zhì)分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲線形構(gòu)件的質(zhì)量變力沿曲線作功性質(zhì)線性、可加、無方向可加、有方向計(jì)算一代、二換、三定限一代、二換、三定限聯(lián)系與路徑無關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條件等價(jià)命題（二）各種積分之間的聯(lián)系曲線積分定積分計(jì)算重積分Green公式計(jì)算曲面積分Guass公式計(jì)算Stokes公式積分概念的聯(lián)系定積分二重積分曲線積分三重積分曲線積分曲面積分計(jì)算上的聯(lián)系其中理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式（三）場(chǎng)論初步梯度通量散度環(huán)流量旋度關(guān)于對(duì)稱性對(duì)弧長的曲線積分與方向無關(guān)，可以利用對(duì)稱性簡化計(jì)算設(shè)L

關(guān)于

x(y)軸對(duì)稱若

f(x,y)關(guān)于

y(x)是奇函數(shù)即則若f(x,y)關(guān)于

y(x)是偶函數(shù)即則對(duì)坐標(biāo)的曲線積分與方向有關(guān)，所以在考慮對(duì)稱性時(shí)既要考慮被積函數(shù)與曲線的對(duì)稱性，還要考慮曲線的方向，因此直接應(yīng)用比較困難，一般是先轉(zhuǎn)化為對(duì)弧長的曲線積分，然后再考慮使用對(duì)稱性。其中L1

是位于對(duì)稱軸一側(cè)的部分關(guān)于第二類曲線積分的計(jì)算①若曲線封閉，首先考慮使用Green公式②若曲線不封閉，可考慮添加輔助曲線使之封閉，然后再使用Green公式此時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：⑴輔助線上的積分應(yīng)容易計(jì)算，⑵輔助線的方向與曲線的方向相容，③化成第一類曲線積分計(jì)算④按第二類曲線積分的計(jì)算公式直接計(jì)算二、典型例題例1計(jì)算所圍成的在第三象限的扇形的整個(gè)邊界解如圖L1L1L2L2L3L3L=L1+L2+L3解解(如下圖)其中L為①不包圍也不通過原點(diǎn)的任意閉曲線②以原點(diǎn)為中心的正向單位圓周③包圍原點(diǎn)的任意正向閉曲線解

①若則由Green公式例4計(jì)算若則以原點(diǎn)為心，作一半徑充分小的正向圓周記L和所為成的區(qū)域?yàn)镈1，由Green公式②L③在原點(diǎn)不連續(xù)，記L和所為成的區(qū)域?yàn)镈1，由Green公式以原點(diǎn)為心，作一半徑充分小的正向圓周由于L所圍區(qū)域包含原點(diǎn)解令得由使得在不經(jīng)過的值的區(qū)域上與路徑無關(guān)并求當(dāng)L為從A（1，1）到B（0，2）時(shí)的值。例5確定參數(shù)A(1,1)B(0,2)ACB如選路徑C(1,2)則積分結(jié)果不易求出DB但如選路徑A

D(0,1)則對(duì)面積的曲面積分一、對(duì)面積的曲面積分的概念和性質(zhì)前面已經(jīng)介紹了兩類曲線積分，對(duì)第一類曲線積分其物理背景是曲線型構(gòu)件的質(zhì)量，在此質(zhì)量問題中若把曲線改為曲面，線密度改為面密度，小段曲線的弧長改為小塊曲面的面積，相應(yīng)地得和式抽象概括得到對(duì)面積的曲面積分的概念實(shí)例所謂曲面光滑即曲面上各點(diǎn)處都有切平面,且當(dāng)點(diǎn)在曲面上連續(xù)移動(dòng)時(shí),切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng).1.定義其物理背景是面密度為

f(x,y,z)的曲面塊的質(zhì)量2.對(duì)面積的曲面積分的性質(zhì)由上述定義可知其性質(zhì)與對(duì)弧長的曲線積分的性質(zhì)完全類似ⅰ）線性性ⅱ）可加性ⅲ）存在性二、對(duì)面積的曲線積分的計(jì)算法按照曲面的不同情況分為以下三種：則則則這就是把對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的計(jì)算公式簡述為：一代、二換、三投影代：將曲面的方程代入被積函數(shù)換：換面積元投影：將曲面投影到坐標(biāo)面得投影區(qū)域注：（1）這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)，否則可利用可加性，分塊計(jì)算，結(jié)果相加（2）把曲面投影到哪一個(gè)坐標(biāo)面，取決于曲面方程即方程的表達(dá)形式（3）將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)（4）切記任何時(shí)候都要換面積元例1解例2計(jì)算與平面

z=1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面解在xoy

內(nèi)的投影區(qū)域oxyz例3計(jì)算

z=0與

z=H之間的圓柱面解由對(duì)稱性有例4解依對(duì)稱性知：注對(duì)面積的曲面積分有類似與三重積分的對(duì)稱性對(duì)稱于xoy

（或yoz

，或

zox

）坐標(biāo)面若

f（x,y,z)關(guān)于z（或

x

，或

y

）是奇函數(shù)若f（x,y,z)關(guān)于z（或

x

，或

y

）是偶函數(shù)完全類似于三重積分的對(duì)稱性例5計(jì)算解例6解（左右兩片投影相同）例7解例8求均勻曲面的重心坐標(biāo)解由對(duì)稱性故重心坐標(biāo)為例9解例10計(jì)算解由奇偶對(duì)稱性上半球面下半球面另解由曲面形心公式注對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用面積質(zhì)量重心轉(zhuǎn)動(dòng)慣量三、小結(jié)1、對(duì)面積的曲面積分的概念;2、對(duì)面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算.（按照曲面的不同情況分為三種）思考題在對(duì)面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個(gè)因子的幾何意義.思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).練習(xí)題練習(xí)題答案對(duì)坐標(biāo)的曲面積分一、基本概念觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:類似地可定義二、概念的引入實(shí)例:流向曲面一側(cè)的流量.1.分割則該點(diǎn)流速為.法向量為.2.求和3.取極限三、概念及性質(zhì)積分曲面被積函數(shù)有向面積元類似可定義存在條件:組合形式:物理意義:性質(zhì):由定義可知對(duì)坐標(biāo)的曲面積分具有與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分相類似的性質(zhì)1。可加性2。反向性四、對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法注意:對(duì)坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).這就是把對(duì)坐標(biāo)的曲面積分化成二重積分的計(jì)算公式概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個(gè)變量同名的坐標(biāo)面上（如xoy面）定號(hào)：由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負(fù)號(hào)一代、二投、三定號(hào)注積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計(jì)算，結(jié)果相加②確定正負(fù)號(hào)的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時(shí)為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時(shí)為負(fù)例1計(jì)算所截得的在第一卦限的部分的前側(cè)解解例2例3計(jì)算平面

x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)oxyz解分成四個(gè)部分左側(cè)下側(cè)后側(cè)上側(cè)同理同理注對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的對(duì)稱性被積表達(dá)式具有輪換對(duì)稱性，即將被積表達(dá)式中的所有字母按xyz順序代換后原式不變積分曲面及其側(cè)具有對(duì)稱性，這是指曲面在各坐標(biāo)面上的投影區(qū)域均相同，且配給的符號(hào)也相同五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系兩類曲面積分之間的聯(lián)系向量形式例4解注此例的解法具有普遍性六、小結(jié)1、物理意義2、計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)曲面的側(cè)“一投,二代,三定號(hào)”思考題思考題解答此時(shí)的左側(cè)為負(fù)側(cè)，而的左側(cè)為正側(cè).練習(xí)題練習(xí)題答案Gauss

公式前面我們將Newton-Lebniz

公式推廣到了平面區(qū)域的情況，得到了Green

公式。此公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。下面我們?cè)侔袵reen

公式做進(jìn)一步推廣，這就是下面將要介紹的Gauss

公式，Gauss

公式表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，同時(shí)Gauss

公式也是計(jì)算曲面積分的一有效方法。一、Gauss公式定理oxyz證明首先假設(shè)穿過內(nèi)部且平行于坐標(biāo)軸的直線與的邊界曲面的交點(diǎn)恰好為兩個(gè)以投影區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，母線平行與坐標(biāo)軸的柱面上介于上下邊界曲面之間的部分根據(jù)三重積分的計(jì)算法根據(jù)曲面積分的計(jì)算法同理合并以上三式得：——————高斯公式由兩類曲面積分之間的關(guān)系知Gauss公式的實(shí)質(zhì)表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.注不滿足上述條件，可以引進(jìn)若干張輔助曲面分成幾個(gè)有限的小區(qū)域使之都滿足上述條件注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個(gè)曲面積分絕對(duì)值相等，而符號(hào)相反，相加時(shí)正好抵消，因此上述公式對(duì)這樣的區(qū)域也成立，故一般地1。若2。公式成立的條件根據(jù)Gauss公式，用三重積分來計(jì)算曲面積分是比較方便的，但Gauss公式同時(shí)也說明，可用曲面積分來計(jì)算三重積分例1解二、簡單的應(yīng)用(利用柱面坐標(biāo)得)解空間曲面在面上的投影域?yàn)榍?/p>

不是封閉曲面,為利用高斯公式故所求積分為注

①應(yīng)用Gauss

公式計(jì)算曲面積分時(shí)，要求曲面必須是封閉曲面，若不封閉，則需要添加一輔助曲面使其封閉，而在所添加的曲面上，曲面積分應(yīng)是容易計(jì)算的，用Gauss

公式計(jì)算三重積分，最后減去所補(bǔ)曲面上的積分值，往往可使計(jì)算簡化

②

Gauss

公式要求曲面取外側(cè)這一點(diǎn)也不容忽視，尤其是對(duì)非封閉曲面的曲面積分，所添加的輔助曲面的側(cè)一定要和所給曲面的側(cè)相容，若不滿足外側(cè)的要求，可利用反向性予以調(diào)整（相差一個(gè)負(fù)號(hào)）③可以證明在特殊情況下，Gauss

公式就是Green

公式例3（Green

第一公式）設(shè)函數(shù)u(x,y,z)和

v(x,y,z)在閉區(qū)域上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明證在Gauss

公式中令移項(xiàng)即得Green

第一公式例4證由Green

第一公式（Green

第二公式）兩式相減得證Green

第二公式例5計(jì)算解取下側(cè)oxyzz=1由Gauss

公式得而曲頂柱體的體積（用柱坐標(biāo)）或用先重后單法三、沿任意閉曲面的曲面積分為零的條件對(duì)空間區(qū)域G,若G內(nèi)任一閉曲面所圍成的區(qū)域全屬于G，則稱G為空間二維單連域與沿任意閉曲線的曲線積分為零的問題相類似有下述結(jié)論定理設(shè)G是空間二維單連域,P,Q,R在G內(nèi)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則曲面積分沿G內(nèi)任意閉曲面的曲面積分為零的充要條件是在G內(nèi)除點(diǎn)M0

（x0,y0,z0)外連續(xù)稱為奇點(diǎn)則G內(nèi)任意包含M0

的同側(cè)閉曲面的曲面積分相等四、物理意義----通量與散度1.通量的定義:2.散度的定義:散度在直角坐標(biāo)系下的形式由積分中值定理,兩邊取極限,向量場(chǎng)的散度表征場(chǎng)在

M

附近的變化情況，可以想象為從

M

附近的單位體積向外散發(fā)（向內(nèi)匯集）的向量線的數(shù)目，divA>0

的點(diǎn)稱為源，divA<0

的點(diǎn)稱為匯divA=0

的場(chǎng)稱為無源場(chǎng)高斯公式可寫成五、小結(jié)1、高斯公式2、高斯公式的實(shí)質(zhì)（1）應(yīng)用的條件（2）物理意義思考題曲面應(yīng)滿足什么條件才能使高斯公式成立？思考題解答曲面應(yīng)是分片光滑的閉曲面.練習(xí)題練習(xí)題答案Stokes

公式一、斯托克斯(stokes)公式前面所介紹的Gauss公式是Green公式的推廣下面我們

從另一個(gè)角度來推廣Green公式。

Green

公式表達(dá)了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的聯(lián)系，stokes公式則是把曲面上的曲面積分與沿曲面的邊界曲線上的曲線積分聯(lián)系起來右手法則

是有向曲面的正向邊界曲線證明如圖思路曲面積分1二重積分2曲線積分1根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線同理可證故有結(jié)論成立.便于記憶形式另一種形式Stokes公式的實(shí)質(zhì):

表達(dá)了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系.斯托克斯公式格林公式特殊情形二、簡單的應(yīng)用解按斯托克斯公式,有例2計(jì)算從

x

軸正向看去，橢圓取逆時(shí)針方向解一用Stokes公式xyzo消去x

得（橢圓面積）（圓面積）解二化為參變量的定積分計(jì)算解三投影方法投影到

xoy

面得投影曲線（逆時(shí)針方向）記C所圍區(qū)域?yàn)镈Green公式三、空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件前面我們利用Green公式得到了平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，完全類似地，利用Stokes公式可推得空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件空間一維單連域：若G內(nèi)任一閉曲線總可以張一張完全屬于G的曲面，則稱G為空間一維單連域，或稱G為按曲面是單連通區(qū)域應(yīng)用上述定理，并仿照以前的證明方法可得到oxyzM0MM1M2四、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:利用stokes公式,有2.旋度的定義:斯托克斯公式的又一種形式其中斯托克斯公式的向量形式其中Stokes公式的物理解釋:例4設(shè)一剛體繞過原點(diǎn)的某個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度為剛體在每一點(diǎn)的線速度構(gòu)成一線速場(chǎng)，則向量在點(diǎn)M處的線速度場(chǎng)的旋度等于角速度的2倍解由力學(xué)知道點(diǎn)的線速度為觀察旋度由此可看出速度場(chǎng)的旋度與旋轉(zhuǎn)角速度的關(guān)系.五、向量微分算子---------Hamilton

算子------Laplace算子若P，Q,R具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，即得---------即旋度場(chǎng)是無源場(chǎng)---------即梯度場(chǎng)是無旋場(chǎng)六、小結(jié)斯托克斯公式斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式的物理意義練習(xí)題練習(xí)題答案曲面積分習(xí)題課曲線積分曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分對(duì)弧長的曲線積分對(duì)坐標(biāo)的曲線積分定義計(jì)算定義計(jì)算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分一、主要內(nèi)容曲面積分對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義性質(zhì)計(jì)算公式兩者關(guān)系對(duì)面積的曲面積分對(duì)坐標(biāo)的曲面積分定義實(shí)質(zhì)分、粗、和、精分、粗、和、精背景曲面塊的質(zhì)量流向曲面指定側(cè)的流量性質(zhì)線性、可加、與側(cè)無關(guān)線性、可加、與側(cè)有關(guān)計(jì)算一代、二換、三投影一代、二投、三定號(hào)聯(lián)系曲面積分Green公式,