高數(shù)課件第七章

第六階

可降階的高階微分方程一、可降階的高階微分方程y(n)=f

(x)型的微分方程y￠=f

(x,y￠)型的微分方程.y￠=f

(y,y￠)型的微分方程二、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程（補(bǔ)充）三、小結(jié)一、可降階的高階微分方程【定義】二階及二階以上的微分方程統(tǒng)稱為 高階微分方程.【求解思路】降階——通過變量代換等其它形式，化為已知其求解方法的較低階的微分方程求解.3221212+

C x

+

CC

xy

=

(-cos

x

+

C x

+

C

)dx

=

-sin

x

+

1.y(n)=f

(x)型的微分方程【特點】方程右端僅含有自變量x.【解法】連續(xù)積分n

次就可得到方程的通解.【例1】求方程y(3)=cos

x

的通解.【解】因為y(3)=cos

x

,所以,y￠=

cos

xdx

=

sin

x

+

C1

,y￠=

(sin

x

+

C1

)dx

=

-cos

x

+

C1

x

+

C2

,12.y￠=f

(x,y￠)型的微分方程.【方程特點】方程右端不顯含未知函數(shù)y

.【解法】令y￠=p(x),則y￠=p￠(x)代入方程得p￠(x)=f

(x,p(x)).這是一個關(guān)于自變量x和未知函數(shù)的一階微分方程,p(

x)若可以求出其通解p=j

(x,C1

),則y￠=j

(x,C1

)再積分一次就能得原方程的通解.的通解.【例2】求方程2

xy￠y￠=1

+(y￠)2【解】因2

xy￠y￠=1

+(y￠)2

不顯含未知函數(shù)y,則令y￠=p(x),故y￠(x)=p￠(x)，將其代入所給方程,得2

xp￠p

=

1

+

p2

,分離變量得2

pdp

=

dx

,1

+

p2

x兩邊積分ln(1

+p2

)=ln

|

x

|

+ln

C

,得1

+

p2

=

C

x

.1即

p=

–

C1

x

-

1也即

y￠=

–

C1

x

-

1.1y

=

–

(C1

x

-

1)2

dx則為所求方程的通解.3C13(C1

x

-

1)2

+

C22=

–(r

:密度,s

:弧長)弧段重力大小

按靜力平衡條件,有【例3】設(shè)有一均勻,

柔軟的繩索,

兩端固定,

繩索僅受重力作用而下垂,

問該繩索的平衡狀態(tài)是怎樣的曲線

?atanq

=

1

sMgsoyxr

g(其中a

=

H

)y

=1

+

y￠2

dxx0

1a故有1

+

y￠2ay￠=

1Tq【解】取坐標(biāo)系如圖.考察最低點A

到任意點M

(x,y)弧段的受力情況:A

點受水平張力HM

點受切向張力T兩式相除得HAy￠=

1

1

+

y￠2a設(shè)

OA

=

a,

則得初值問題:d

x令y

=p(x),則y￠=d

p

,原方程化為a

rsh

p

=

ln(

p

+

1

+

p2

)1a兩端積分得

a

r

sh

p

=

x

+

C

,1得C

=

0,則有兩端積分得故所求繩索的形狀為得C2

=

0y

=

a

ch

x

=

a

(

exa

+

e-

xa

)a

2Mgsyo

xTqHa

A懸鏈線3.y￠=f

(y,y￠)型的微分方程【方程特點】右端不顯含自變量x

.【解法】求解這類方程可令y￠=p(y)則y￠=

dy

=

dp(

y) dy

=

dp

p,dx

dy

dx

dy于是,方程

y￠=

f

(

y,

y￠)可化為

p

dp

=

f

(

y,

p).dy這是關(guān)于y

和p的一階微分方程,如能求出其解11p

=

j

(

y,C

),則可由dy

=

j

(

y,C

)用分離變量法即可求出原方程的通解.【例5】21求微分方程

yy

-

y

2

=

0

的通解dxd

y=

x

+

C

j

(

y,C

)

ln

|

y

|=

C1

x

+

C2【解Ⅰ】方程不顯含自變量x則y￠=d

p

=d

p

d

y

=p

d

pdx

d

y

dx

d

y代入方程得兩端積分得

ln

p

=

ln

y

+

ln

C1,

即p

=C1

y,(一階線性齊次方程)故所求通解為C(C2

=

–e

2

)【解Ⅱ】yy

-

y

2

=

0兩端同乘以不為0的因子1y2則有=

0y2yy

-

y

2即( )

=

0dx

yd

y

=

Cyy故積分y

=

Cy

ydy

=

Cdxln

|

y

|=

Cx

+

C1C

x

Cy

=

C1e

(C1

=

–e

1

)所以全微分方程的積分因子【特點】左端恰為某一函數(shù)F

(x,y,y

,

,y(n-1))dx對x的導(dǎo)數(shù),

即

d

F

(

x,

y,

y￠,

,

y(

n-1)

)

=

0.【解法】

類似于全微分方程可降低一階F

(

x,

y,

y

,

,

y(

n-1)

)

=

C

,再設(shè)法求解這個方程.二、恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程（補(bǔ)充）求方程

yy

+

y

2

=

0

的通解.【解】dx將方程寫成

d

(

yy￠)

=

0,故有

yy

=

C1

,

即

ydy

=

C1dx,積分后得通解y2

=

C x

+

C

.1

2【注意】這一段技巧性較高,關(guān)鍵是配導(dǎo)數(shù)的方程.【例4】三、小結(jié)可降階微分方程的解法

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