2021年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二模）附答案解析

2021年山東省濰坊市高考數(shù)學(xué)模擬試卷（二模）

\單選題（本大題共8小題，共40.0分）

若sin（。一Oe?產(chǎn)），則cos（?+。）的值為（）

1.64ooZ

AV15+V3jgV15—\/3c—V15+x/3口—V15—V3

8888

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為（1,一1）,則z2=（）

A.V2B.-V2C.2iD.-2i

3.設(shè)集合4={0,1,2},B={x\x>1},則4nB=（）

A.{1}B.{0}C.{1,2}D.{0,1}

4.由數(shù)字0,1,2,3,4組成的無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的偶數(shù)的總個(gè)數(shù)為（）

A.12B.18C.30D.60

5.下列命題中的假命題是（）

A.存在％6R,Igx=0B.存在x6R,tan%=1

C.任意x6/?,%3+1>0D.任意xER,2X>0

6.下列四個(gè)命題：

（1）3%0ER，使Ko?+2%0+3=0；

②命題^3%0GR,lgx0>0”的否定是“V%eR,Igx<0"；

③如果€R,且a>b,那么M>匕2；

④“若a=B，則sina=sin/?”的逆否命題為真命題.其中正確的命題是

A.①B.②C.③D.④

7.設(shè)函數(shù)y=s出%在區(qū)間"+外上的最大值為M（t）,最小值為m（￡）,則M?-?、鹊淖钚≈岛?/p>

最大值分別為（）

A.1—V2B.1—?,1C.I,yj2D.1,2

8.一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，已知這個(gè)正方體的體積是8,則這個(gè)球的表面積是

（）

A.47rB.87rC.127rD.247r

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分)

9.下列函數(shù)中是偶函數(shù)，且在區(qū)間(0,+8)上是減函數(shù)的是()

A.y=|x|+1B.y=x-2C.y=^—xD.y=2-四

10.已知a>bN2,則()

A.b2<3b—aB.a3+b3>a2b+ab2

C.ab>a+bD.~+~>~+7

2abab

11.已知點(diǎn)P是雙曲線E：3一9=1的右支上一點(diǎn)，F(xiàn)i、尸2是雙曲線E的左、右焦點(diǎn)，△「出「?的面

積為20,則下列說法正確的有()

A.點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為gB.的周長(zhǎng)為日

C.NaPF2大于：D.△P&F2的內(nèi)切圓半徑為|

12.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6.從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲

表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”.丙表示事

件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7"，貝￡)

A.甲與丙相互獨(dú)立B.甲與丁相互獨(dú)立

C.乙與丙不相互獨(dú)立D.丙與丁相互獨(dú)立

三、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.12,若將函數(shù)/(X)=表示為/(%)=13cl+%(l+x)+…+為(l+x)5，其中旬,/,。2.

為實(shí)數(shù)，則劭=.

14.設(shè)AABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,C,面積為S,內(nèi)切圓半徑為r,則5=+b+c)r,類比這個(gè)

結(jié)論知：四面體S-ABC的四個(gè)面的面分別為品，S2,S3,S4,體積為匕內(nèi)切球半徑為R,則

V=.

15.已知圓C：M+y2=25,過定點(diǎn)P(3,0)的直線/交圓C于4,B,則AAOB面積的最大值為.

16.已知M是A/IBC內(nèi)的一點(diǎn)(不含邊界)，且藐'?哀'=2幣，^BAC=30°,若△MBC,△MC4,

△M4B的面積分別為x,y,z,記/'(x,y,z)=三普’帶色，則/'(x,y,z)的最小值是.

點(diǎn)？

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，在某地對(duì)1150名40歲以上的人進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果如下：患

胃病者生活不規(guī)律共30人，患胃病者生活規(guī)律的共20人，未患胃病者生活不規(guī)律的共220人，

未患胃病者生活規(guī)律的共880人

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表

(2)已知P(K2210.828)=0.01,在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下，可以認(rèn)為40歲以上的人患胃

病與否和生活規(guī)律有關(guān)系嗎？為什么

(3)從胃病患者中采取分層抽樣的方法抽取9人進(jìn)行臨床藥物試驗(yàn)，試驗(yàn)過程中，若還需要從這9人采

取隨機(jī)抽樣的方法抽取2人進(jìn)行某項(xiàng)特別試驗(yàn)，求這2人都是生活規(guī)律的患者的概率

2

參考公式K2=n(ad-bc)

(a+b)(c+d)(Q+c)(b+d)'其中ri=a+b+c+d

18.如圖，中國漁民在中國南海黃巖島附近捕魚作業(yè)，中國海監(jiān)船在4地偵察

發(fā)現(xiàn)，在南偏東60。方向的B地，有一艘某國軍艦正以每小時(shí)13海里的速度

向正西方向的C地行駛，企圖抓捕正在C地捕魚的中國漁民.此時(shí)，C地位

于中國海監(jiān)船的南偏東45。方向的10海里處，中國海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的距離趕往C地救援我

國漁民，能不能及時(shí)趕到？(或?1.41,73x1.73,V6?2.45)

19.如圖，在等腰梯形4BCD中，AD〃8C,AB=BC=CD=\AD=2,。為4。上一點(diǎn)，且40=1,

平面外兩點(diǎn)P、E滿足，AE=1,EAA.AB,EB1BD,PO//EA.

⑴求證：EA平面4BCD；

(2)求平面AED與平面8ED夾角的余弦值;

(3)若8E〃平面PCD,求P。的長(zhǎng).

20.已知函數(shù)/(%)=xlnx(xG(0,4-QO)

(I)求g(x)=4等—x(x6(-1,+8))的單調(diào)區(qū)間與極大值;

(口)任取兩個(gè)不等的正數(shù)打，小，且均<小，若存在%>0使尸(右)=智容成立，求證：X!<x0<

x2~xl

X2

(皿)己知數(shù)列｛an｝滿足的=1,an+1=(l+^)an+^(new+),求證:怎<e貨e為自然對(duì)數(shù)的底

數(shù)).

21.已知點(diǎn)尸為拋物線C：y=；/的焦點(diǎn)，點(diǎn)。(0,4),點(diǎn)4為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，直線心y=t(t為常

數(shù))截以4。為直徑的圓所得的弦長(zhǎng)為定值.

(1)求焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(2)求實(shí)數(shù)t的值；

(3)若點(diǎn)E(0,3),過點(diǎn)4的直線y=x+m交拋物線于另一點(diǎn)B,4B的中垂線過點(diǎn)。，求m的值和△力BE

的面積.

22.設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(neN*)；｛b｝是等比數(shù)列，公比大于0,其前n項(xiàng)和為"(兀6

N*).已知l/?i—1)匕3=+2,/?4=。3+—CI4+2a6.

(I)求方和加

(n)若Sn+(71+T2+-...+Tn)=an+4bn,求正整數(shù)n的值.

參考答案及解析

1.答案：A

解析:解：sin(8—勺=；,0G

64o3

???。-a(°，》

...cos(0一》=11-(J)2=票

+0)=sind

nn

=sin[(6>--)+-]

nnn

=sin(0——)cos—+cos(6—

6

1V3V151

=-x-----1-------x-

4242

—8.

故選：A.

根據(jù)sin(。-9求出cos(?！椎闹?，再化簡(jiǎn)cosg+。)=sind=sin[(0一》+勺，從而求出計(jì)算結(jié)

ooNoo

果.

本題考查了利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)求值的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.

2.答案：D

解析：解：復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(1,-1),=

則Z?=(1-i)2=-2i.

故選：D.

復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為可得z=1-i,再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出.

本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.答案：C

解析：解：集合4={0,1,2},B={x\x>1},

則4CB={1,2},

故選C.

運(yùn)用交集的定義，即可得到所求集合.

本題考查集合的交集的求法，運(yùn)用定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

4.答案:C

解析：解：若個(gè)位是0,則有圈=12,

若個(gè)位是2或4,則先排百位有3種，然后排十位有3共有2X3X3=18,

共12+18=30種，

故選：C.

根據(jù)個(gè)位數(shù)是0和2,4進(jìn)行討論計(jì)算即可.

本題主要考查簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)的計(jì)算，結(jié)合個(gè)位數(shù)是不是0進(jìn)行分類討論是解決本題的關(guān)鍵.

5.答案：C

解析：解：對(duì)于4,當(dāng)x=l時(shí)，Igx=0,正確；

對(duì)于B,當(dāng)x=f時(shí)，tanx=1,正確：

對(duì)于C,當(dāng)xS-1時(shí)，%3+1<0,錯(cuò)誤；

對(duì)于任意xeR,2X>0,正確.

故選：C

根據(jù)含有量詞的命題的真假判斷方法進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查含有量詞的命題的真假判斷，比較基礎(chǔ).

6.答案：D

解析：

判斷方程/+21+3=0的實(shí)根個(gè)數(shù)，可判斷①;寫出原命題的否定命題，可判斷②;舉出反例

a=1,b=1,可判斷③;根據(jù)互為逆否的兩個(gè)命題真假性相同，可判斷④.

解：方程工2+2工+3=0的△=4-12<0,

故方程無實(shí)根，

故①m.r(i€/?，使lJ+2,r0+3=0為假命題；

②命題"31代/?,切%>0”的否定是“ViwA，如:W0”，

故②為假命題;

③如果a=1,b=-1€△，則a>b,但<?=必，

故③為假命題；

④“若a=B,則sine=sinii”為真命題，故其逆否命題為真命題,

故④為真命題.

故選。.

7.答案：A

解析：

本題主要考查正弦函數(shù)的圖象特征，正弦函數(shù)的單調(diào)性、圖象的對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

根據(jù)正弦函數(shù)的圖象得到在［t,t+弓上單調(diào)時(shí)M(t)-巾(t)取得最大值，用輔助角公式求解；當(dāng)區(qū)間

1工+,關(guān)于它的圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，M(t)-巾(t)取得最小值，依據(jù)圖象可求得最小值.

解：函數(shù)y=sinx在區(qū)間t+皆上的最大值為M(t),最小值為m(t),

區(qū)間的長(zhǎng)度為》正好為函數(shù)的周期的:，

故當(dāng)函數(shù)y=sinx在區(qū)間［t,t+外上單調(diào)時(shí)，則M(t)-zn(t)取得最大值.

不妨假設(shè)函數(shù)y=s譏%在區(qū)間［t,t+外上單調(diào)遞增，

則M(t)—7n(t)取得最大值為sin?+］)-sint=cost-sint=V2cos(t+§W夜，

故M(t)-m(t)取得最大值為VL

當(dāng)區(qū)間+3關(guān)于它的圖象的對(duì)稱軸對(duì)稱時(shí)，M(t)—m(t)取得最小值，

此時(shí)，sin(t+?)=±1,

不妨設(shè)sin?+=±1即士+?=k6Z,

即t=2kn+pfcGZ,則M(t)—m(t)取得最小值為sin(t+：)—sint=1—sin(2kn+：)=1-與,

故M(t)-m(t)的最小值和最大值分別為1一半；V2.

故選4.

8.答案：C

解析：解：???正方體的體積是8,

???正方體的棱長(zhǎng)為2,

正方體的體對(duì)角線為28，

設(shè)球的半徑為R，貝UR=V3,

4TTR2=12TT.

故選：C.

正方體的體積求出正方體的棱長(zhǎng)，可得球的半徑，利用球的表面積即可得出結(jié)論.

本題考查球內(nèi)接多面體，棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積的求法，考查計(jì)算能力.

9.答案：BD

解析：

本題主要考查了基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的判斷，屬于中檔題.

結(jié)合基本初等函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷.

解：y=|刻+1在(0,+8)上單調(diào)遞增，4不符合題意；

y=%-2=或?yàn)榕己瘮?shù)，在(0,+00)上是減函數(shù)，B符合題意；

y=3—x為奇函數(shù)，C不符合題意；

X

y=2-團(tuán)=G)因?yàn)榕己瘮?shù)，在(0,+8)上是減函數(shù)，。符合題意；

故選：BD.

10.答案：BC

解析：解：a>b>2,

A,錯(cuò)誤，比如Q=3,b=2,3>4不成立；

2

B,Q3+川—2b+-Q2(Q—FT)——b)=(a—b)(a+b)>0成立；

C,由ab-a-b=a(b-l)-b=(b-l)(a-臺(tái))=(b—l)[a-(1+土)]>0,

故C成立；

1A,11ab+4-2匕-2a_(a-2)(b-2)

D,+>0,故。不成立,

2abb2ab2ab

故選：BC.

根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐一判斷即可.

考查不等式比較大小，利用了作差法，因式分解法等，中檔題.

11.答案：ABD

解析：解：設(shè)AFiPF2的內(nèi)心為/,連接/P,/居，IF2,

雙曲線E：二一"=1的a=4,b=3,c=5,

169

不妨設(shè)尸（m,幾），m>0,n>0,

由^PF/2的面積為20,可得］|尸1尸2|九=cn=5n=20,即幾=

由尤一丫=1,可得m=V，故A正確；

1693

on

由P(g,4),且Fi(-5,0),B(5,0)，

可得kpF[——,kPp2=《，

則tanN&PFz=.si2xi2=黑e(0,百)，

H--------ol7

5X35

則4&PF2＜；,故C不正確；

由IPFil+IPF2I=小6+昔+J16+L=y+y=y-

則APFi4的周長(zhǎng)為三+10=?，故B正確；

設(shè)APFiF2的內(nèi)切圓半徑為r,

可得](IP&I+叱2|+|F/2l)=,1居尸2|?4,

可得與r=40,解得r=|,故。不正確.

故選：ABD.

設(shè)△居PF2的內(nèi)心為/，連接/P，出，/尸2,求得雙曲線的a,b,c,不妨設(shè)P（m,n）,m>0,n>0,

運(yùn)用三角形的面積公式求得P的坐標(biāo)，運(yùn)用兩直線的夾角公式可得tan/F/B，由兩點(diǎn)的距離公式,

可得APF1F2的周長(zhǎng)，設(shè)AP&F2的內(nèi)切圓半徑為r,運(yùn)用三角形的面積公式和等積法，即可計(jì)算r.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查三角形的內(nèi)切圓的性質(zhì)和等積法的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算

能力，屬于中檔題.

12.答案：BC

解析：解：由題意可得，p（甲）=：,p（乙）=gp（丙）=5，pcr）=g

OOOOO

P（甲丙）=0。p（甲）p（丙），p（甲?。?P（甲）P（?。?2

P（乙丙）=三中P（乙）P（丙）,P（丙丁）=0。P（?。㏄（丙）.

故選：BC.

根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立事件概率關(guān)系逐一判斷，即可求解.

本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，需要學(xué)生熟練掌握公式，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：一1

解析：本題考查二項(xiàng)式展開式的特定項(xiàng)系數(shù)。由題意知，

/?=xs=[（x+I）-lls

=C；（X+D1-D°+G（X+D'（-D'+穹a*爐（-D"U（X+D'（-D'+cf（x+5°（-i）s

又f（x）=%+，（l+x）+...+%（1+4故ao=c：（l+力°（—球=-1。

14.答案：“S1+S2+S3+SQR

解析：解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為0,A\

則球心。到四個(gè)面的距離都是R,/\

所以四面體的體積等于以。為頂點(diǎn)，/.]\

分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和，/…\

則四面體的體積為3（S]+S2+S3+SQR.

故答案為：“S1+S2+S3+S4）R.

根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切

球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可.

類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)

象上去，一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性.②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類

事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）.

15.答案：12

解析：解：根據(jù)題意，圓c：/+y2=25的圓心為（0,0）,半徑r=5,設(shè)圓心到直線/的距離為d,

當(dāng)直線1與x軸垂直時(shí)，d=3,\AB\=2xV25-9=8.此時(shí)△A0B面積S=[Xdx|4B|=12；

當(dāng)直線2與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線1的斜率為鼠直線，的方程為y=k（x—3）,即kx-y—3k=0,

此時(shí)d<3,\AB\=2xV25-d2.

此時(shí)△AOB面積S=|xdx\AB\=y/d2(25-d2)=V25d2-d4,

又由d<3,即c/2<9,

此時(shí)S<12,

綜合可得：AAOB面積的最大值為12；

故答案為：12.

根據(jù)題意，設(shè)圓心到直線I的距離為d,分2種情況討論：當(dāng)直線I與x軸垂直時(shí)，易得此時(shí)AHOB面積

5=12,當(dāng)直線1與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線/的斜率為k,直線/的方程為y=k(x-3),分析可得A40B

面積S=1xdx\AB\=yjd2d25-d2)=V25d2-d4<12,綜合即可得答案.

本題考查直線與圓的方程的應(yīng)用，涉及直線與圓的位置關(guān)系，屬于易錯(cuò)題，

16.答案：36

解析：根據(jù)蒸'?蠶=2有，/BAC=30°,得|：薜I,I元'I=4,故A2BC的面積是g|藐

』耳型fl4

|sin30°=1,即x+y+z=l.f(x,y,z)=—^―^—=(x+y+z)|—>—tt-1=14+

富般?k.*'9

璃+但+回+隹+4+也+14+4+6+12=36.當(dāng)且僅當(dāng)y=2x,z=3x,3y=

X小耳，富%h2津/

2z時(shí)，等號(hào)成立.

17.答案：解：(1)由已知可得2x2列聯(lián)表，如下：

患胃病未患胃病總計(jì)

生活不規(guī)律30220250

生活規(guī)律20880900

總計(jì)5011001150

(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，由計(jì)算公式得K2的觀測(cè)值為

.1150x(30x880-20x220)2..

k=---------------------------=44.978；

250x900x50x110

因?yàn)?8,033>10.828,

所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為40歲以上的人患胃病與否和生活規(guī)律有關(guān).

(1)胃病患者一共有54人，若抽取9人，則需從生活不規(guī)律的患者中抽取看x30=5人，

分別記為力，B,C,D,E,從生活規(guī)律的患者中抽取白x24=4人，分別記為a,b,c,d；

54

若隨機(jī)從中抽取2人，則所有的抽取結(jié)果如下：

(4B),(4C),(4。)，(4E)，(4a)，(4匕)，(4c),(4d),

(B,C),(B,E),(B,a),(B,b),(B,d),

(C,D),(C,E),(C,a),(C,b),(C,c),(C,d),

(D,E),(D,a),(D,b),(D,c),(D,d),

(E,a),(瓦b),(瓦c),(E,d),

(Q,b),(Q,C),(a,d),(b,c),(瓦d),(c,d)共36種.

其中2人都是生活規(guī)律患者的抽取結(jié)果有：

?b),(a,c),(a,d),(瓦c),(b,d),(c,d)共6種,

故這2人都是生活規(guī)律患者的概率為P=5=；.

OOO

解析：⑴根據(jù)題意得出2x2列聯(lián)表；

(2)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

(1)利用列舉法求出基本事件數(shù)，計(jì)算所求的概率值.

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是中檔題.

18.答案：解：如圖，過點(diǎn)4作4D1BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.

因?yàn)橐摇?。=45。，4C=10海里，聯(lián)、

所以A/ICD是等腰直角三角形.及--鼻

所以40=CD=y/lC=4x10=5近(海里).

在中，因?yàn)镹ZMB=60。，

所以BD=ADxtan60°=572XV3=56(海里).

所以8C=BC-CD=(5遍一5a)海里.

因?yàn)橹袊１O(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度航行，

某國軍艦正以每小時(shí)13海里的速度航行，

所以中國海監(jiān)船到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間G=算=非=*小時(shí))，

某國軍艦到達(dá)C點(diǎn)所用的時(shí)間J若=5x(仁⑦?5X(2『1)=0?小時(shí)).

因?yàn)椋海?.4,

所以中國海監(jiān)船能及時(shí)趕到.

解析：過點(diǎn)4作4。1BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,則AAC。是等腰直角三角形，根據(jù)4C=10海里可

求出4。即CO的長(zhǎng)，在RM4BD中利用銳角三角函數(shù)的定義求出8。的長(zhǎng)進(jìn)而可得出BC的長(zhǎng)，再根據(jù)

中國海監(jiān)船以每小時(shí)30海里的速度航行，某國軍艦正以每小時(shí)13海里的速度即可得出兩軍艦到達(dá)C

點(diǎn)所用的時(shí)間，進(jìn)而得出結(jié)論.

本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用

直角三角形的性質(zhì)求解是解答此題的關(guān)鍵.

19.答案：解：⑴在等腰梯形ABCD中，

?:AD//BC,AB=BC=CD=2,AD=4,

???ABAD=60°,4BCD=120°,

又：BC=CD

???乙BDA=4CBD=30°,BDLAB,

又???EB1BD,EBCtAB=B,

BD1平面ABE,

BD±EA,

5L-：EAl.AB,ABC\BD=B,

EA_L平面ABCD.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。B為》軸，以。。為y軸，以。P為z軸，

如圖建立直角坐標(biāo)系，

由題意知：4(0,—1,0),5(V3,0,0),D(0,3,0),E(0,-1,1),

.?.荏=(0,0,1),AD=(0,4,0),麗~BD=(-73,3,0).

設(shè)平面4ED的法向量冗=(Xi，%*。,則說.荏=0,元.荷=0，

二?平面法向量％=(1,0,0),

設(shè)平面BED的法向量孤=(%2，y2，Z2)，則荻?詼=0，荻?前=0,

J-V3x2-y2+z2=平面朝法向量為荻=(73,1,4),

V3X2+3y2=0

設(shè)平面P80與平面PCD所成的角為仇

由cos。=|cos<席底>|=|島|=膏,

???平面與平面BED夾角的余弦值為叵.

10

(3)設(shè)PO=h,則P(0,0,/i),C(V3,2,0).

.-.EB=(V3.1,-1)-PC=(V3,2,-ft).PD=(0,3,-/i)，

設(shè)平面PCO的法向量而=(%3，丫3*3),則可?定=0，碼?而=0,

/i^3=0,.?.平面PCD法向量為否=(/i,V3/i,3V3).

vBE〃平面PCD,

.-.￡^?^=273/1-373=0;

解得八=|，

P。的長(zhǎng)為去

解析：(1)由已知條件推導(dǎo)出BD1AB,EB1BD,從而得到BD1平面4BE,再由BD1EA,EA1AB,

能夠證明E41平面4BCD.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以08為%軸，以0D為y軸，以0P為z軸，建立直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出

平面AED與平面BED夾角的余弦值.

(3)設(shè)P0=/i,則P(0,0,h),求出平面PC。的法向量4=(兒舊八,3遮)，由8E〃平面PCD,得到而.

運(yùn)=0,由此能求出P。的長(zhǎng).

本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，解題時(shí)要注意

向量法的合理運(yùn)用.

20.答案:(I)解：由f(x)=xlnx(x€(0,+8)).

???/(%+1)=(x+l)ln(x+1)(%G(-1,+8)).

則有g(shù)(x)=-X=竺?：產(chǎn))-X=ln(x+l)-x,

此函數(shù)的定義域?yàn)?-1,+00).

g'(x)———1=——

已、Jx+1X+1

故當(dāng)xe(—1,0)時(shí)，g'(x)>0；當(dāng)x6(0,+8)時(shí)，g'[x)<0.

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(一1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,+8),

故g(x)的極大值是g(0)=0；

(n)證明:由f(x)=xlnx^xG(0,+oo)),得/'(x)=lnx+l,

所以mXo+1=913,

%2—41

于是m右一)犯=33-lnx2-1=2*包-lnx2-1

%2—%1

1X2.

xlnx-xlnxinxi

=-1----2--1----1-14=燈一14，

令瑟=t(t>1),則W)=等_1=?

因?yàn)閠-1>0,只需證明"￡-C4-1<0.

令s(￡)="七一t+1,貝ljs'(t)=1-1<0,

???s(t)在tE(1,+8)上遞減，所以s(t)<s(l)=0,

于是九?)<0,即仇Xo<lnx29故％o<%2.

同理可證<%o，故/<xQ<x2-

(皿)證明:因?yàn)榈?1,*1=(1+劫0n+,〉冊(cè),所以｛即｝單調(diào)遞增，an>l.

于是%i+l=(1+金)冊(cè)+^<(1+表)%,+出外=(1+,++)an，

所以"an+i<In0n+ln(l+[+*)(*).

由(I)知當(dāng)%>0時(shí)，ln(l+%)<%.

所以(*)式變?yōu)镋an+iV"即+/+*.

即仇以一仇以t<+(k-i)2,*WN,kN2),

令k=2,3,...,n,這九一1個(gè)式子相加得

lnan-仇％<&+專+…+壺)+專+,+…+島7〕

<+[1H----1-------1-------F???H--------------1

L42x33x4(n-2)(n-l)J

=(1-總+[1+3+(泊)+0-3+…+(力一曰]

=(1一3)+(1+工+工一工)

、2Tl-、42n-V

_11____1______1_11

-42n_1n-14?

-

B|JlncinV1=q，

所以an<e”

解析：(1)由/。)求出〃>+1),代入g(x),對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)后利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)gQ)在定

義域內(nèi)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值；

(11)求出/'00),代入尸(尤0)="")_八*1)后把加沏用-X],加%2表示，再把"而與"%2作差后構(gòu)造輔

助函數(shù)，求導(dǎo)后得到構(gòu)造的輔助函數(shù)的最大值小于0,從而得到仇見<仇外,運(yùn)用同樣的辦法得到

lnxx<lnx0,最后得到要證的結(jié)論；

(m)由給出的遞推式題+1=(1+表)斯+2說明數(shù)列｛而是遞增數(shù)列，根據(jù)的=1,得到6？1,由

此把遞推式冊(cè)+i=(1+表)+t放大得到)<%+1<hi0n+ln(l+[+1),結(jié)合(I)中的ln(l+

X)<x得到m%t+i<m%；+專+專，分別取n=l，2,3,…，n-1,得到n個(gè)式子后累加即可證得

結(jié)論.

本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值證明不等

式，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列