第七章定解問題

第七章定解問題第1頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.目標(biāo)：建立描述物理過程的微分方程。2.操作：物理過程由物理量的變化描述→選取物理量，

物理量的微分表示它的變化；物理過程服從物理規(guī)則（牛頓定律，庫倫定律等）→建立微分方程。第2頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月1.均勻弦的微小橫振動變化二、幾種基本的方程第3頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月A.弦的橫振動B.無窮小的一段弦BC.受力分析和運(yùn)動方程弦的原長現(xiàn)長弦長的變化產(chǎn)生回到原位置的張力第4頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月沿x-方向，不出現(xiàn)平移弦長質(zhì)量密度B段的質(zhì)量沿垂直于x-軸方向第5頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月小振動：第6頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月波動方程。波速第7頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月D.受迫振動

在上式推導(dǎo)過程中，出現(xiàn)的力是弦內(nèi)的張力，外力為零。在受到與弦垂直方向的周期力的作用時(shí)，弦運(yùn)動為受迫振動。設(shè)單位長度上弦受力，則dx受力為。最后得受迫振動方程第8頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2.均勻桿的縱振動A.桿的彈性力學(xué)基本力學(xué)方程：胡克定律Y：楊氏模量，單位面積上的應(yīng)力。桿中選L=dx長一段時(shí)刻t，x一端位移

u，x+dx一端位移u+du。桿的伸長第9頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月B.運(yùn)動方程更長的dx，兩端的相對伸長和應(yīng)力將不同，桿受力牛頓定律：即為波速第10頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月補(bǔ)充連續(xù)性方程連續(xù)分布的某種物理量，如介質(zhì)：建立座標(biāo)密度：單位容積中物理量的多少流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的該物理量（v為流速）單位時(shí)間沿x-方向凈流入量第11頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月單位時(shí)間凈流入量等于由密度增加的量二者相等得連續(xù)性方程表示物質(zhì)的總量守恒第12頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3.流體力學(xué)與聲學(xué)方程A.連續(xù)介質(zhì)性質(zhì)：當(dāng)振動在液體和氣體中傳播時(shí)，液體和氣體就成為傳播振動的連續(xù)介質(zhì)。在其中取一個(gè)小的立方體，可以定義介質(zhì)在此的密度ρ，速度v和壓強(qiáng)P。振動引起密度的疏密變化。

第13頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例如，在靜止的介質(zhì)中，介質(zhì)的速度為零，并且有壓強(qiáng)和密度。當(dāng)振動出現(xiàn)時(shí)，介質(zhì)中各處有介質(zhì)的振動速度v，振動的傳播速度－聲速；顯然，v<<聲速，并且設(shè)密度的相對變化

s為B.拉普拉斯假定歐拉方程（流體動力學(xué)方程）連續(xù)性方程物態(tài)方程聲傳播為絕熱過程：過程方程第14頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月C.方程s,v小量,f=0第15頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月4.真空電磁波方程電磁學(xué)的麥克斯韋方程（微分形式）真空時(shí)：第16頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月5.擴(kuò)散方程A.擴(kuò)散現(xiàn)象系統(tǒng)的濃度u(x)不均勻時(shí)，將出現(xiàn)物質(zhì)從高濃度處到低濃度處的轉(zhuǎn)移，叫擴(kuò)散。第17頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月B.菲克定律濃度梯度：擴(kuò)散流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的物質(zhì)的量C.擴(kuò)散方程D均勻三維連續(xù)性方程帶入菲克定律第18頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月建立微分方程的兩類方法1.直接從方程出發(fā)麥克斯韋方程菲克定律+連續(xù)性方程=擴(kuò)散方程歐拉方程（流體動力學(xué)方程）連續(xù)性方程絕熱過程第19頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月均勻桿的縱振動2.從分析物理對象出發(fā)均勻弦的微小橫振動第20頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月6.熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo):熱量從溫度高的地方到溫度低的地方轉(zhuǎn)移。熱力學(xué)問題。熱力學(xué)第一定律：熱力學(xué)過程交換的熱量熱力學(xué)過程外界對系統(tǒng)做的功系統(tǒng)的內(nèi)能熱傳導(dǎo)過程dW=0，系統(tǒng)傳導(dǎo)的熱量就是內(nèi)能的改變。系統(tǒng)的溫度熱流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的熱量。第21頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月能量守恒，滿足連續(xù)性方程熱流強(qiáng)度：單位時(shí)間通過單位面積的熱量。傅立葉定律：熱傳導(dǎo)系數(shù)建立熱傳導(dǎo)與擴(kuò)散間的對比濃度－溫度擴(kuò)散流強(qiáng)度－熱流強(qiáng)度斐克定律－傅立葉定律＋連續(xù)性方程＝熱傳導(dǎo)方程一維：第22頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月三維它們形式完全相同，通稱為擴(kuò)散方程。7.穩(wěn)定分布擴(kuò)散方程的解一般含時(shí)不含時(shí)的解滿足方程此為拉普拉斯方程。即穩(wěn)定的濃度分布和溫度分布，其濃度和溫度滿足拉普拉斯方程。第23頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月8.真空靜電場高斯定理真空還有又最后：9.薛定諤方程擴(kuò)散類方程第24頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月7.2定解條件一、常微分方程定解問題回顧對于某個(gè)未知函數(shù)，它的微分方程是它的導(dǎo)數(shù)滿足的代數(shù)方程。解這個(gè)代數(shù)方程，得導(dǎo)數(shù)。由積分，從導(dǎo)數(shù)得出原函數(shù)。常微分方程求解就是積分。積分過程會出現(xiàn)積分常數(shù)。常微分方程定解問題就是確定積分常數(shù)。通常通過未知函數(shù)在自變量的一個(gè)特定值的值，如初值（u(t=0)）確定積分常數(shù)。從而定解。積分一次，出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)；求解二階常微分方程出現(xiàn)兩個(gè)積分常數(shù)。第25頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)學(xué)物理方程的定解問題1.初始條件類似于常微分方程定解過程的初值。偏微分方程，對每個(gè)自變量的每次積分都出現(xiàn)一個(gè)積分常數(shù)。復(fù)雜！t＝0:初始條件。x,y,z＝0，l:邊界條件自變量特定值：初始“位移”初始“速度”T的一次方程，只需要初始位移T的二次方程還需要初始速度。第26頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月注：和是空間座標(biāo)的函數(shù)，在系統(tǒng)的任何位置都是確定的！例如t=0:特定的時(shí)間，變化的空間。第27頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月2.邊界條件以一維情況為例特定的空間，變化的時(shí)間。邊界劃分系統(tǒng)和外界。系統(tǒng)和外界之間的不同的關(guān)系，決定了不同的邊界條件。定解所需要的是自變量特定值的函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)兩項(xiàng)。不同的邊界條件決定了這兩項(xiàng)的不同的組合，故可能出現(xiàn)幾類邊界條件。A.第一類邊界條件只與函數(shù)在空間特定位置的值有關(guān)，與其導(dǎo)數(shù)無關(guān)。如：a.兩端固定的弦振動和如上圖第28頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)或隨時(shí)間變化的溫度恒溫c.擴(kuò)散恒定濃度，或隨時(shí)間變化的濃度。B.第二類邊界條件第一類邊界條件的基本形式：速度確定。a.細(xì)桿的縱振動。當(dāng)端點(diǎn)“自由”，即無應(yīng)力。根據(jù)胡克定律，桿的相對伸長也為零：b.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)絕熱，熱流強(qiáng)度為零：由傅立葉定律：第29頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月C.第三類邊界條件位移和速度的組合a.細(xì)桿熱傳導(dǎo)。端點(diǎn)“自由”冷卻。牛頓冷卻定律：T為環(huán)境溫度。根據(jù)傅立葉定律，在x=l處：負(fù)x方向正x方向在x=0處第30頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月b.細(xì)桿縱振動。端點(diǎn)與固定點(diǎn)彈性連接。應(yīng)力為彈性力胡克定律：彈性力：則在端點(diǎn)一般表達(dá)式：這些是最常見的，線性的邊界條件。還要其它形式，需根據(jù)具體情況制定之。第31頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月3.銜接條件系統(tǒng)中可能出現(xiàn)物理性質(zhì)急劇變化的點(diǎn)－躍變點(diǎn)。如兩節(jié)具有不同的楊氏模量的細(xì)桿在x=0處連接，這一點(diǎn)就是躍變點(diǎn)。躍變點(diǎn)兩邊的物理過程因此不同。但在躍變點(diǎn)，某些物理量仍然可以是連續(xù)的，這就構(gòu)成銜接條件。銜接條件更加依賴于具體的物理情況。橫向力作用于點(diǎn)。弦在的左右斜率不同，但位移的極限值相同。例又，橫向力應(yīng)與張力平衡：這兩個(gè)等式就是銜接條件。第32頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月求解數(shù)學(xué)物理方程方法：行波法駐波法積分變換格林函數(shù)法第33頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月7.4達(dá)朗貝爾公式定解問題（一）波動方程的達(dá)朗貝爾公式

將和看作如同數(shù)－算子，可以加減乘除：A.坐標(biāo)變換行波法因式分解第34頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)a=1沿x和t求導(dǎo)，變成沿對角線求導(dǎo)。變換：第35頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月即第36頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月B.通解對積分：積分常數(shù)依賴于

再積分：為兩個(gè)待定函數(shù)的和。第37頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月坐標(biāo)變換：新、舊坐標(biāo)時(shí)間同，新坐標(biāo)的原點(diǎn)X=0在舊坐標(biāo)中有坐標(biāo)，在舊坐標(biāo)中以速度d沿正向運(yùn)動。f1(x+at)保持形狀不變，以速度d運(yùn)動沿x軸反方向運(yùn)動。意義函數(shù)f2(x-at)保持形狀不變，以速度d運(yùn)動沿x軸正方向運(yùn)動。第38頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月C.定解達(dá)朗貝爾公式

確定待定函數(shù)的形式無限長，即無邊界條件。設(shè)初始條件第39頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第40頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第41頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月行波一半一半第42頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例第43頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第44頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月例解：設(shè)第45頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第46頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第47頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第48頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月從達(dá)朗貝爾公式可以看出，波動方程度解，是初始條件的演化。方程本身并不可能產(chǎn)生出超出初始條件的，額外的形式來。而這種演化又受到邊界條件的限制。這就說明了初始條件和邊界條件在確定波動方程度解時(shí)的重要性。第49頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（二）端點(diǎn)的反射一個(gè)端點(diǎn)固定設(shè)初始條件為邊界條件達(dá)朗貝爾公式是無限長弦的公式。第50頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月上式中后兩項(xiàng)無意義。必須將u(x,t)延拓到作奇延拓：x第51頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月對稱點(diǎn)延拓第52頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月第53頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月半波損失第54頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月一個(gè)端點(diǎn)自由設(shè)初始條件為邊界條件應(yīng)該是偶延拓第55頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月偶延拓第56頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月無半波損失第57頁，課件共62頁，創(chuàng)作于2023年2月（三）躍變點(diǎn)的反射

無限長桿，x<0，x>0兩部分的楊氏模量和密度分別為。x=0是躍變點(diǎn)。設(shè)有行波