第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度

第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度第1頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、問題的提出一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場.設(shè)一個(gè)小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，問題的實(shí)質(zhì)：應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行．第2頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月需要計(jì)算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個(gè)概念：方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)問題梯度問題第3頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

討論函數(shù)在一點(diǎn)P沿某一方向的變化率問題．二、方向?qū)?shù)第4頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)沿著趨于時(shí)，是否存在？第5頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月記為第6頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月的方向?qū)?shù)為同理,沿y軸正向的方向?qū)?shù)分別為在點(diǎn)沿著軸正向若偏導(dǎo)存在,則第7頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限.原因：第8頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為方向?qū)?shù)的存在及計(jì)算公式那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l的方向?qū)?shù)都存在，定理如果函數(shù)在點(diǎn)可微分，且有

為軸到方向l的轉(zhuǎn)角．其中計(jì)算公式第9頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月故有方向?qū)?shù)兩邊同除以得到第10頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月故x軸到方向l的轉(zhuǎn)角解方向l即為所求方向?qū)?shù)第11頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式知（1）最大值;（2）最小值；（3）等于零？例2求函數(shù)在點(diǎn)(1,1)沿與x軸方向夾角為的方向射線的方向?qū)?shù).并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有第12頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月故方向?qū)?shù)達(dá)到最大值;方向?qū)?shù)達(dá)到最小值;方向?qū)?shù)等于0.第13頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣:三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義對于三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)沿著方向l的方向?qū)?shù)，可定義為其中）第14頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月方向?qū)?shù)的計(jì)算公式第15頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解令故方向余弦為求函數(shù)在此處沿方向的方向?qū)?shù).是曲面例3設(shè)

在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量,第16頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月故第17頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月三、梯度第18頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)是方向l上的單位向量，

當(dāng)時(shí)，有最大值.其中由方向?qū)?shù)公式知第19頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論當(dāng)不為零時(shí)，x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個(gè)向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值．梯度的模為第20頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月在幾何上表示一個(gè)曲面曲面被平面所截,得曲線它在xoy面上投影方程：等高線稱為等值線.等值線幾何上，稱為等高線.第21頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月例如,第22頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月等值線上任一點(diǎn)處的一個(gè)法向量為表明：梯度方向與等值線的一個(gè)法線方向相同，它的指向?yàn)閺臄?shù)值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù).值線，第23頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月問題：上山時(shí)，如何選擇最快的方向？計(jì)算方法課程中的一種計(jì)算策略：“瞎子下山法”第24頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月

類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個(gè)向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)第25頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月解由梯度計(jì)算公式得故則在處梯度為例4求函數(shù)

在點(diǎn)處的梯度，并問在何處梯度為零？第26頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月一、方向?qū)?shù)（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）小結(jié)1.定義2.計(jì)算公式第27頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月二、梯度（注意梯度是一個(gè)向量）定義方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模：第28頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致,模為方向?qū)?shù)的最大值.梯度：其中第29頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月思考題問函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？答：梯度方向答：第30頁，課件共34頁，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)P.51習(xí)題8-71;4;7;