第七講 角動(dòng)量耦合及光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)

第七講角動(dòng)量耦合及光譜精細(xì)結(jié)構(gòu)1第1頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

原子中有多個(gè)電子，而每個(gè)電子又有軌道和自旋運(yùn)動(dòng)，故角動(dòng)量有多個(gè)，這些角動(dòng)量又有相應(yīng)的磁矩，所以有必要研究角動(dòng)量耦合問(wèn)題。兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)簡(jiǎn)單情況是兩個(gè)角動(dòng)量的耦合。對(duì)于多個(gè)角動(dòng)量則依次耦合。

2第2頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)

考慮任意兩個(gè)角動(dòng)量算符和

它們滿(mǎn)足一般對(duì)易關(guān)系

它們是相互獨(dú)立的

一、總角動(dòng)量定義與的和為總角動(dòng)量

3第3頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)4第4頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

由、的本征值和本征矢，可以求出本征值和本征矢。

設(shè)以和分別表示、的共同本征矢和、的共同本征矢。二、本征值和本征矢兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)相應(yīng)的本征值方程為：（1）

（2）

5第5頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

又因、、、也是相互對(duì)易的，則它們的共同本征矢也組成正交歸一完全系，設(shè)為：

（4）

兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)

因?yàn)樗惴?/p>

、、相互對(duì)易，則它們的共同本征矢組成正交歸一完全系：

（3）

6第6頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月耦合表象可按無(wú)耦合表象展開(kāi)：

其中，展開(kāi)系數(shù)

稱(chēng)為CG耦合系數(shù)（克來(lái)布希-高登系數(shù)）

7.4兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)顯然，是沒(méi)有耦合的表示，故稱(chēng)為無(wú)耦合表象。是有耦合的表示，故稱(chēng)為耦合表象。7第7頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于故或（5）

兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)由上面的討論可知：①.當(dāng)求得了量子數(shù)j和后,就能得到和的本征值。②.當(dāng)求得CG耦合系數(shù)后，由（5）式可由和的共同本征矢進(jìn)行線性迭加而得到和的共同本征矢。8第8頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)和為已知時(shí)，總量子數(shù)的取值為：

的本征值為三、量子數(shù)和本征值兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums),有個(gè)取值；

,有個(gè)取值。

便有個(gè)取值，但不完全獨(dú)立！9第9頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例：當(dāng)氫原子處于P態(tài)時(shí)，本征值的可能值

，，，的本征值為兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)的本征值為，

的本征值為。

的獨(dú)立值：10第10頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

當(dāng)給定時(shí)，有個(gè)取值，對(duì)應(yīng)有個(gè)本征矢。

當(dāng)給定時(shí)，有個(gè)取值，對(duì)應(yīng)有個(gè)本征矢。四、CG耦合系數(shù)和的本征矢兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)同時(shí)給定和時(shí)，和的共同本征矢共有個(gè)，相應(yīng)地，耦合表象的本征矢也應(yīng)有個(gè)，而且每一個(gè)都是無(wú)耦合表象本征矢的線性迭加

由于耦合系數(shù)的明顯表達(dá)式復(fù)雜，一般查專(zhuān)用表，如克來(lái)布希-高登系數(shù)表。

下表列出第二個(gè)角動(dòng)量為電子自旋角動(dòng)量時(shí)的幾個(gè)矢量耦合系數(shù)。

11第11頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)將這些系數(shù)代入(5)式可得12第12頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)（6）

（6）式中，只表述了和兩個(gè)，而還有不同取值未表述.

注意

的數(shù)目不定，還得視而定，例如對(duì)氫原子P態(tài),，應(yīng)有6個(gè)本征矢，其中4個(gè)是獨(dú)立的。

對(duì)氫原子，（6）式也可表示為具體表象形式

用的本征函數(shù)和的本征函數(shù)表示：

13第13頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)角動(dòng)量的耦合(couplingoftwoangularmomentums)改寫(xiě)為

14第14頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)

Finestructuresoftheopticalspectrum15第15頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月討論電子自旋與軌道相互作用對(duì)類(lèi)氫原子能級(jí)和譜線的影響。不考慮自旋與軌道相互作用時(shí)對(duì)類(lèi)氫原子

因彼此對(duì)易，它們有共同的本征函數(shù)7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（1）未考慮核外內(nèi)層電子對(duì)核的屏蔽無(wú)耦合表象基矢而自旋量子數(shù)能量本征值

16第16頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有兩個(gè)取值，故是簡(jiǎn)并的能級(jí)

總角動(dòng)量算符

彼此對(duì)易，則它們有共同的本征函數(shù)（耦合表象中的基矢）：將耦合表象的基矢按無(wú)耦合表象基矢展開(kāi)7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（2）17第17頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

電子自旋與軌道運(yùn)動(dòng)的相互作用能比電子的動(dòng)能和在核場(chǎng)中的勢(shì)能小得多，現(xiàn)表示為：考慮自旋與軌道運(yùn)動(dòng)相互作用能的影響而

由于的存在，使和都與不對(duì)易，故不能用和來(lái)描述(和不是好量子數(shù))7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（3）（1）

18第18頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）

都和對(duì)易，但由于的存在,與不對(duì)易，故不能認(rèn)為的本征函數(shù)就是的本征函數(shù)，設(shè)的本征函數(shù)為，本征方程為由于的本征值是簡(jiǎn)并的，可用簡(jiǎn)并情況下的微擾理論方法求方程（2）的解。

7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（4）令（4）

由（2）式，則有：

（3）19第19頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月矩陣元：

（4）

7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（5）而：

令（5）

20第20頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月故

由此得能量的一級(jí)修正：

7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（6）（6）

積分：

（7）

21第21頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（7）當(dāng)和給定后，（除外）,能量分裂為兩個(gè)能量值,由此產(chǎn)生了光譜線的精細(xì)結(jié)構(gòu)。故由此可得兩個(gè)態(tài)的能量分別為（8）

22第22頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩能級(jí)差為

7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（８）精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)

對(duì)于的能級(jí)，自旋與軌道無(wú)耦合，故能級(jí)不分裂，不移動(dòng)。相應(yīng)兩個(gè)態(tài)函數(shù)為：

對(duì)于的能級(jí)，均分裂移動(dòng)。

23第23頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（９）

對(duì)于的情況，有兩個(gè)取值，能級(jí)均一分為二。

由于考慮了電子自旋與軌道運(yùn)動(dòng)的相互作用，使能級(jí)不僅與

有關(guān)，而且與j有關(guān)。

對(duì)于氫原子，不考慮相對(duì)論效應(yīng)和軌道與自旋耦合，能級(jí)為度簡(jiǎn)并。當(dāng)考慮外電子對(duì)核的屏蔽效應(yīng)或堿金屬原子對(duì)原子實(shí)貫穿時(shí)，能級(jí)與有關(guān)；再考慮自旋軌道耦合，能級(jí)還與有關(guān)，表為，但

乃有個(gè)取值，故為簡(jiǎn)并。24第24頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月簡(jiǎn)并是部分消除7.5光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)（1０）表示:

原子態(tài)總角量子數(shù)

主量子數(shù)

重?cái)?shù)25第25頁(yè)，課件共28頁(yè)，創(chuàng)作于2023