一類非線性偏微分方程的解析解

一類非線性偏微分方程的解析解

1.使用一個(gè)變換非線性方程的分析解和數(shù)值解一直是大多數(shù)物理和數(shù)學(xué)科學(xué)家致力于研究的重要課題。目前，已經(jīng)發(fā)展了許多成熟的方法[1、2、3、4、5、6、7、8、9和10]，用于解決非線性微分方程，但不能說是非線性微分方程的解。本文通過引入一個(gè)變換,只要選準(zhǔn)試探函數(shù),就可簡潔地求得非線性偏微分方程的解析解.2.非線性偏微分方程程序本文基于Hopf_Cole變換和文獻(xiàn)所提出的“試探函數(shù)法”的思想,研究如下一類非線性偏微分方程的解析解:?u?t+u?u?x+α?2u?x2+β?3u?x3+γ?4u?x4+\:=0,(1)?u?t+u?u?x+α?2u?x2+β?3u?x3+γ?4u?x4+\:=0,(1)為了求解上述方程,引入變換u=?v?x,v=v(y),y=y(x,t)?(2)其中v(y)和y(x,t)為試探函數(shù).只要試探函數(shù)v(y)和y(x,t)選得準(zhǔn)確,就可將非線性偏微分方程(1)化為代數(shù)方程,從而求解相當(dāng)簡潔.考慮到非線性偏微分方程一般為波動方程,其解含有相位因子(kx-ωt),因此,把試探函數(shù)y(x,t)選為如下形式:y=e(kx-ωt).(3)至于試探函數(shù)v(y)則應(yīng)根據(jù)具體的方程靈活選擇,下面應(yīng)用這個(gè)思想來求解幾個(gè)非線性偏微分方程.3.使用示例3.1.波速計(jì)算3考慮KdV方程?u?t+u?u?x+β?3u?x3=0,(4)選取試探函數(shù)v(y)為v=ay21+y2,(5)其中a為待定常數(shù).由(2),(3),(5)式得u=?v?x=2aky2(1+y2)2,(6)?u?t=4akω(y4-y2)(1+y2)3,(7)?u?x=4ak2(y2-y4)(1+y2)3,(8)?3u?x3=8ak4(2y2-22y4+22y6-2y8)(1+y2)5.(9)將(6)—(9)式代入(4)式得代數(shù)方程(4βk3-ω)y2+(2ak2-ω-44βk3)y4+(ω-2ak2+44βk3)y6+(ω-4βk3)y8=0.(10)要使(10)式對任意y都成立,必有4βk3-ω=0,(11)2ak2-ω-44βk3=0.(12)聯(lián)立(11),(12)式解得ω=4βk3,a=24βk.(13)將(13)式代入(6)式求得u=48βk2y2(1+y2)2=48βk2e2(kx-ωt)[1+e2(kx-ωt)]2.(14)利用雙曲正割函數(shù)的定義,可將(14)式化為u=12βk2sech2(kx-ωt),(15)由(13)式還可求得波速為c=ωk=4βk2.(16)3.2.波速計(jì)算yBurgers方程的形式為?u?t+u?u?x-α?2u?x2=0,(17)選取試探函數(shù)v(y)為v=aln(1+y).(18)由(2),(3),(18)式得u=?v?x=aky1+y,(19)?u?t=-akωy(1+y)2,(20)?u?x=ak2y(1+y)2,(21)?2u?x2=ak3(y-y2)(1+y)3.(22)將(19)—(22)式代入(17)式得-(ω+αk2)y+(ak2+αk2-ω)y2=0.(23)要使(22)式對任意y都成立,必有ω+αk2=0,(24)ak2+αk2-ω=0.(25)聯(lián)立(24),(25)式解得ω=-αk2,a=-2α.(26)將(26)式代入(19)式得u=-2αke(kx-ωt)1+e(kx-ωt).(27)利用雙曲正切函數(shù)的定義,可將(27)式化為u=-αk[1+tanh12(kx-ωt)],(28)由(26)式還可求得波速為c=ωk=-αk.(29)3.3.函數(shù)2+y+bln1+y為vy型KdV_Burgers方程為?u?t+u?u?x-α?2u?x2+β?3u?x3=0,(30)選取試探函數(shù)v(y)為v(y)=ay1+y+bln(1+y),(31)仿照前面相同的方法可求得ω=-αk2+βk3,a=12β,b=-125α,c=-αk+βk2,(32)u=3α225β{4-[1+tanhα10βk(kx-ωt)]2},(33)不再贅述.以上一些結(jié)果與文獻(xiàn)的結(jié)果完全一樣,說明本文的方法是可行的.4.元解析函數(shù)的驗(yàn)證本文將Hopf-Cole變換法和“試探