2022年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練41開放型問題

考點(diǎn)跟蹤訓(xùn)練41開放型問題一、選擇題1．(2022·蘭州)如圖所示的二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象中，劉星同學(xué)觀察得出了下面四條信息：(1)b2－4ac>0；(2)c>1；(3)2a－b<0；(4)a＋b＋c<0.你認(rèn)為其中錯誤的個數(shù)有()A．2個B．3個C．4個D．1個答案D解析(1)由圖象知，該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，∴△＝b2－4ac＞0，故本選項(xiàng)正確；(2)由圖象知，該函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)在(0,1)，∴c＜1，故本選項(xiàng)錯誤；(3)由圖象知，對稱軸x＝－eq\f(b,2a)＞－1，又函數(shù)圖象的開口方向向下，∴a＜0，∴－b＜－2a，即2a－b＜0，故本選項(xiàng)正確；(4)由圖象知，當(dāng)x＝1時，y＝a＋b＋c＜0，∴a＋b＋c＜0，故本選項(xiàng)正確；綜上所述，其中錯誤的是(2)，故選D.2．(2022·南通)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P(2,2)，點(diǎn)Q在y軸上，△PQO是等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)Q共有()A．5個B．4個C．3個D．2個答案B解析本題只給出了P(2,2)，O(0,0)兩個點(diǎn)的坐標(biāo)，另外一個點(diǎn)的位置未知，可通過簡單的畫圖，確定點(diǎn)Q在y軸上的位置．注意到線段PO可以為腰，也可以為底，當(dāng)線段PO為腰時，分別以O(shè)、P為圓心，PO為半徑作圓與y軸的交點(diǎn)位置即為Q的位置，可以在數(shù)軸上找出三個點(diǎn)，當(dāng)以PO為底時，作PO的垂直平分線與y軸的交點(diǎn)也是Q點(diǎn)的位置，可找出一個，故點(diǎn)Q有4個．3．(2022·沈陽)如圖，AC是矩形ABCD的對角線，E是邊BC延長線上一點(diǎn)，AE與CD交于點(diǎn)F，則圖中相似三角形共有()A．2對B．3對C．4對D．5對答案C解析△ADF∽△ECF∽△EBA，△ABC∽△CDA，共4對．4．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上，CD⊥AB，DE∥BC，則圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)為()A．4個B．3個C．2個D．1個答案A解析分別是△ADE、△CDE、△BCD、△ACD.5．在等腰△ABC中，AB＝AC，中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩個部分，則這個等腰三角形的底邊是()A．7B．11C．7或11D．7或10答案C解析設(shè)AD＝CD＝x，BC＝y(tǒng)則AB＝2x，分類討論：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝15，,x＋y＝12，))②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＝12，,x＋y＝15，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝7，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝11.))故底邊是7或11.二、填空題6．(2022·邵陽)請寫出一個解為x＝2的一元一次方程：__________________.答案答案不唯一，如x－2＝0,2x＝4等．7．(2022·畢節(jié))請寫出含有字母x、y的五次單項(xiàng)式____________(只要求寫一個)．答案答案不唯一，例如x2y3，x3y2等．8．如圖所示，E、F是矩形ABCD對角線AC上的兩點(diǎn)，試添加一個條件：______________，使得△ADF≌△CBE.答案不唯一，如：AF＝CE，AE＝CF，∠ADF＝∠CBE等．9．(2022·白銀)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，使它為矩形的條件可以是______________．答案答案不唯一，如AC＝BD，∠ADC＝90°等．10．(2022·益陽)如圖，反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)的圖象位于第一、三象限，其中第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，請在第三象限內(nèi)的圖象上找一個你喜歡的點(diǎn)P，你選擇的P點(diǎn)坐標(biāo)為________________．答案答案不唯一，x、y滿足xy＝2且x<0，y<0均可．三、解答題11．如圖，正方形OABC的面積是4，點(diǎn)B在反比例函數(shù)y＝eq\f(k,x)(k>0，x<0)的圖象上，若點(diǎn)R是該反比例函數(shù)圖象上異于點(diǎn)B的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)R分別作x軸，y軸的垂線，垂足為M、N.從矩形OMRN的面積中減去其與正方形OABC重合的面積，記剩余部分的面積為S，則當(dāng)S＝m(m為常數(shù)，且0<m<4)時，求點(diǎn)R的坐標(biāo)．(用含m的代數(shù)式表示)解(1)如圖，若R在點(diǎn)B的左邊，設(shè)R(x0，y0)，由題意，得k＝4.故x0y0＝4，由反比例函數(shù)的幾何意義可得，四邊形RMAD的面積為S(S＝m)，即AM·MR＝m，AM＝－2－x0，MR＝－y0，故(2＋x0)·y0＝m,2y0＋x0y0＝m,2y0＋4＝m，y0＝eq\f(m－4,2)，故x0＝eq\f(8,m－4)，故此時Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,m－4)，\f(m－4,2)))).(2)若R在點(diǎn)B的右邊，同理Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－4,2)，\f(8,m－4)))).綜上，可得點(diǎn)R的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,m－4)，\f(m－4,2))))或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m－4,2)，\f(8,m－4)))).12．(2022·綦江)在如圖的直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1,0)、B(0，－2)，將線段AB繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°至AC.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)若拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋ax＋2經(jīng)過點(diǎn)C.①求拋物線的解析式；②在拋物線上是否存在點(diǎn)P(點(diǎn)C除外)使△ABP是以AB為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解(1)過點(diǎn)C作CD⊥x軸，垂足為D，在△ACD和△BAO中，有∠CAD＋∠BAO＝90°，∠ABO＋∠BAO＝90°，∴∠CAD＝∠ABO.又∵∠ADC＝∠AOB＝90°，CA＝AB，∴△ACD≌△BAO，∴CD＝OA＝1，AD＝BO＝2，∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3，－1)．(2)①∵拋物線y＝－eq\f(1,2)x2＋ax＋2經(jīng)過點(diǎn)C(3，－1)，∴－1＝－eq\f(1,2)×32＋3a＋2，解得a＝eq\f(1,2).∴拋物線的解析式為y＝－eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＋2.②解法一：i)當(dāng)A為直角頂點(diǎn)時，延長CA至點(diǎn)P1，使AP1＝AC＝AB，則△ABP1是以AB為直角邊的等腰直角三角形．過點(diǎn)P1作P1E⊥x軸，∵AP1＝AC，∠EAP1＝∠DAC，∠P1EA＝∠CDA＝90°，∴△EP1A≌△DCA，∴AE＝AD＝2,EP1＝CD＝1，∴可求得P1的坐標(biāo)為(－1,1)．經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線上，因此存在點(diǎn)P1滿足條件；ii)當(dāng)B為直角頂點(diǎn)時，過點(diǎn)B作直線l⊥BA，在直線l上分別取BP2＝BP3＝AB，得到以AB為直角邊的等腰Rt△ABP2和等腰Rt△ABP3.作P2F⊥y軸，同理可證△BP2F≌△ABO，∴P2F＝BO＝2,BF＝OA＝1，可得點(diǎn)P2的坐標(biāo)為(－2，－1)，經(jīng)檢驗(yàn)P2在拋物線上，因此存在點(diǎn)P2滿足條件．同理可得點(diǎn)P3的坐標(biāo)為(2，－3)，經(jīng)檢驗(yàn)P3不在拋物線上，故不存在滿足條件的點(diǎn)P3.綜上，拋物線上存在點(diǎn)P1(－1,1)，P2(－2，－1)兩點(diǎn)，使得△ABP1和△ABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形．解法二：i)當(dāng)點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時，易求出直線AC的解析式為y＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋\f(1,2)，,y＝－\f(1,2)x2＋\f(1,2)x＋2，)))解之可得P1(－1,1)(已知點(diǎn)C除外)．作P1E⊥x軸于E，則AE＝2,P1E＝1,由勾股定理有AP1＝eq\r(AE2＋P1E2)＝eq\r(5).又∵AB＝eq\r(5)，∴AP1＝AB，∴△P1AB是以AB為直角邊的等腰直角三角形；ii)當(dāng)B點(diǎn)為直角頂點(diǎn)時，過B作直線l∥AC交拋物線于點(diǎn)P2和點(diǎn)P3，易求出直線l的解析式為：y＝－eq\f(1,2)x－2，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x－2，,y＝－\f(1,2)x2＋\f(1,2)x＋2，)))解得x1＝－2或x2＝4.∴P2(－2，－1)，P3(4，－4)．作P2F⊥y軸于F，同理可求得BP2＝eq\r(5)＝AB，∴△P2AB是以AB為直角邊的等腰直角三角形．作P3H⊥y軸于H，可求得BP3＝eq\r(22＋42)＝2eq\r(5)≠AB，∴△ABP3不是等腰直角三角形，∴點(diǎn)P3不滿足條件．綜上，拋物線上存在點(diǎn)P1(－1,1)，P2(－2，－1)兩點(diǎn)，使得△ABP1和△ABP2是以AB為直角邊的等腰直角三角形．13．(2022·荊州)如圖甲，分別以兩個彼此相鄰的正方形OABC與CDEF的邊OC、OA所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系(O、C、F三點(diǎn)在x軸正半軸上)．若⊙P過A、B、E三點(diǎn)(圓心在x軸上)，拋物線y＝eq\f(1,4)x2＋bx＋c經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為G，M是FG的中點(diǎn)，正方形CDEF的面積為1.(1)求B點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求證：ME是⊙P的切線；(3)設(shè)直線AC與拋物線對稱軸交于N，Q點(diǎn)是此對稱軸上不與N點(diǎn)重合的一動點(diǎn)，①求△ACQ周長的最小值；②若FQ＝t，SΔACQ＝S，直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．解(1)如圖甲，連接PE、PB，設(shè)PC＝n.∵正方形CDEF面積為1，∴CD＝CF＝1.根據(jù)圓和正方形的對稱性知OP＝PC＝n，∴BC＝2PC＝2n.而PB＝PE，PB2＝BC2＋PC2＝4n2＋n2＝5n2.又PE2＝PF2＋EF2＝(n＋1)2＋1，∴5n2＝(n＋1)2＋1.解得n1＝1，n2＝－eq\f(1,2)(舍去)．∴BC＝OC＝2.∴B點(diǎn)坐標(biāo)為(2,2)．(2)如圖甲，由(1)知A(0,2)，C(2,0)．∵A、C在拋物線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＝c，,0＝\f(1,4)×22＋2b＋c，))解之，得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(3,2)，,c＝2.))∴拋物線的解析式為y＝eq\f(1,4)x2－eq\f(3,2)x＋2.∴拋物線的對稱軸為x＝3，即EF所在直線．∵C與G關(guān)于直線x＝3對稱，∴CF＝FG＝1.∴MF＝eq\f(1,2)FG＝eq\f(1,2).在Rt△PEF與Rt△EMF中，eq\f(PF,EF)＝eq\f(2,1)，eq\f(EF,FM)＝eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(2,1)，∴eq\f(PF,EF)＝eq\f(EF,FM).∵∠PFE＝∠EFM＝90°，∴△PEF∽△EMF.∴∠EPF＝∠FEM.∴∠PEM＝∠PEF＋∠FEM＝∠PEF＋∠EPF＝90°.∴ME與⊙P相切．(3)①如圖丙，延長