2022年高考沖刺理科數(shù)學解析匯編數(shù)列

2022年高考真題理科數(shù)學解析匯編：數(shù)列一、選擇題AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新課標理））已知為等比數(shù)列,,,則 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））設(shè)Sn是公差為d(d≠0)的無窮等差數(shù)列{an}的前n項和,則下列命題錯誤的是 （）A．若d<0,則數(shù)列{Sn}有最大項B．若數(shù)列{Sn}有最大項,則d<0C．若數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,則對任意的nN*,均有Sn>0D．若對任意的nN*,均有Sn>0,則數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（重慶理））在等差數(shù)列中,,則的前5項和= （）A．7 B．15 C．20 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））設(shè)函數(shù),是公差為的等差數(shù)列,,則 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））設(shè),.在中,正數(shù)的個數(shù)是 （）A．25. B．50. C．75. D．100.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））在等差數(shù)列{an}中,已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S11= （）A．58 B．88 C．143 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））觀察下列各式:a+b=2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,,則a10+b10= （）A．28 B．76 C．123 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））定義在上的函數(shù),如果對于任意給定的等比數(shù)列,仍是等比數(shù)列,則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”.現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù):①;②;③;④.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號為 （）A．①② B．③④ C．①③ D．②④AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（福建理））等差數(shù)列中,,則數(shù)列的公差為 （）A．1 B．2 C．3 D．4AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大綱理））已知等差數(shù)列的前項和為,則數(shù)列的前100項和為 （）A． B． C． D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））某棵果樹前年得總產(chǎn)量與之間的關(guān)系如圖所示,從目前記錄的結(jié)果看,前年的年平均產(chǎn)量最高,的值為 （）A．5 B．7 C．9 D．AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））公比為等比數(shù)列的各項都是正數(shù),且,則 （）A． B． C． D．二、填空題AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新課標理））數(shù)列滿足,則的前項和為_______AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（浙江理））設(shè)公比為q(q>0)的等比數(shù)列{an}的前n項和為{Sn}.若,,則q=______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海春））已知等差數(shù)列的首項及公差均為正數(shù),令當是數(shù)列的最大項時,____.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（遼寧理））已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列,且,則數(shù)列的通項公式______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））設(shè)數(shù)列都是等差數(shù)列,若,則__________。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南理））設(shè)N=2n(n∈N*,n≥2),將N個數(shù)x1,x2,,xN依次放入編號為1,2,,N的N個位置,得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對應(yīng)的前和后個位置,得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN,將此操作稱為C變換,將P1分成兩段,每段個數(shù),并對每段作C變換,得到;當2≤i≤n-2時,將Pi分成2i段,每段個數(shù),并對每段C變換,得到Pi+1,例如,當N=8時,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此時x7位于P2中的第4個位置.(1)當N=16時,x7位于P2中的第___個位置;(2)當N=2n(n≥8)時,x173位于P4中的第___個位置.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3443,94249等.顯然2位回文數(shù)有9個:11,22,33,,位回文數(shù)有90個:101,111,121,,191,202,,999.則(Ⅰ)(Ⅱ)AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（廣東理））(數(shù)列)已知遞增的等差數(shù)列滿足,,則______________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（福建理））數(shù)列的通項公式,前項和為,則___________.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））已知為等差數(shù)列,為其前項和.若,,則________.三、解答題AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（天津理））已知{}是等差數(shù)列,其前項和為,{}是等比數(shù)列,且=,,.(Ⅰ)求數(shù)列{}與{}的通項公式;(Ⅱ)記,,證明.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（新課標理））已知分別為三個內(nèi)角的對邊,(1)求(2)若,的面積為;求.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（重慶理））(本小題滿分12分,(I)小問5分,(II)小問7分.)設(shè)數(shù)列的前項和滿足,其中.(I)求證:是首項為1的等比數(shù)列;(II)若,求證:,并給出等號成立的充要條件.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））已知為正實數(shù),為自然數(shù),拋物線與軸正半軸相交于點,設(shè)為該拋物線在點處的切線在軸上的截距.(Ⅰ)用和表示;(Ⅱ)求對所有都有成立的的最小值;(Ⅲ)當時,比較與的大小,并說明理由.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（四川理））已知數(shù)列的前項和為,且對一切正整數(shù)都成立.(Ⅰ)求,的值;(Ⅱ)設(shè),數(shù)列的前項和為,當為何值時,最大?并求出的最大值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海理））對于數(shù)集,其中,,定義向量集.若對于任意,存在,使得,則稱X具有性質(zhì)P.例如具有性質(zhì)P.(1)若x>2,且,求x的值;(2)若X具有性質(zhì)P,求證:1X,且當xn>1時,x1=1;(3)若X具有性質(zhì)P,且x1=1,x2=q(q為常數(shù)),求有窮數(shù)列的通項公式.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（上海春））本題共有3個小題,第1小題滿分4分,第2小題滿分6分,第3小題滿分6分.已知數(shù)列滿足(1)設(shè)是公差為的等差數(shù)列.當時,求的值;(2)設(shè)求正整數(shù)使得一切均有(3)設(shè)當時,求數(shù)列的通項公式.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（陜西理））設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列,其前項和為,且成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的公比;(2)證明:對任意,成等差數(shù)列.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（山東理））在等差數(shù)列中,.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)對任意,將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項的個數(shù)記為,求數(shù)列的前項和.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江西理））已知數(shù)列{an}的前n項和,且Sn的最大值為8.(1)確定常數(shù)k,求an;(2)求數(shù)列的前n項和Tn.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江蘇））設(shè)集合,.記為同時滿足下列條件的集合的個數(shù):①;②若,則;③若,則.(1)求;(2)求的解析式(用表示).AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（江蘇））已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足:,,(1)設(shè),,求證:數(shù)列是等差數(shù)列;(2)設(shè),,且是等比數(shù)列,求和的值.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖南理））已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),記A(n)=a1+a2++an,B(n)=a2+a3++an+1,C(n)=a3+a4++an+2,n=1,2。(1) 若a1=1,a2=5,且對任意n∈N﹡,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.(2) 證明:數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意,三個數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（湖北理））已知等差數(shù)列前三項的和為,前三項的積為.(Ⅰ)求等差數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)若,,成等比數(shù)列,求數(shù)列的前項和.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（廣東理））設(shè)數(shù)列的前項和為,滿足,,且、、成等差數(shù)列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅲ)證明:對一切正整數(shù),有.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（大綱理））(注意:在試卷上作答無效)函數(shù).定義數(shù)列如下:是過兩點的直線與軸交點的橫坐標.(1)證明:;(2)求數(shù)列的通項公式.AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（北京理））設(shè)A是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零.記為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.對于，記為A的第行各數(shù)之和，為A的第列各數(shù)之和；記為，，…，，，，…，中的最小值.（1）對如下數(shù)表A,求的值；11-1（2）設(shè)數(shù)表A=形如111-1求的最大值；（3）給定正整數(shù)，對于所有的A∈S(2，),求的最大值。AUTONUM\*Arabic．（2022年高考（安徽理））數(shù)列滿足:(=1\*ROMANI)證明:數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是(=2\*ROMANII)求的取值范圍,使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列.2022年高考真題理科數(shù)學解析匯編：數(shù)列參考答案一、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】選,或LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】C【解析】選項C顯然是錯的,舉出反例:—1,0,1,2,3,.滿足數(shù)列{Sn}是遞增數(shù)列,但是Sn>0不成立.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】,,故.【考點定位】本題考查等差數(shù)列的通項公式及前項和公式,解題時要認真審題,仔細解答.LISTNUMOutlineDefault\l3[答案]D[解析]∵數(shù)列{an}是公差為的等差數(shù)列,且∴∴即得∴[點評]本題難度較大,綜合性很強.突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用,需考生加強知識系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學習.另外,隱蔽性較強,需要考生具備一定的觀察能力.LISTNUMOutlineDefault\l3xy21213…2423262749xy21213…2423262749483837………當26≤k≤49時,令,則,畫出k終邊如右,其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱,即有,所以+++++0+++=++++++,其中k=26,27,,49,此時,所以,又,所以,從而當k=26,27,,49時,Sk都是正數(shù),S50=S49+a50=S49+0=S49>0.對于k從51到100的情況同上可知Sk都是正數(shù).綜上,可選D.[評注]本題中數(shù)列難于求和,可通過數(shù)列中項的正、負匹配來分析Sk的符號,為此,需借助分類討論、數(shù)形結(jié)合、先局部再整體等數(shù)學思想.而重中之重,是看清楚角序列的終邊的對稱性,此為攻題之關(guān)鍵.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】在等差數(shù)列中,,答案為B【點評】本題主要考查等差數(shù)列的通項公式、性質(zhì)及其前n項和公式,同時考查運算求解能力,屬于中檔題.解答時利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準確.LISTNUMOutlineDefault\l3C【解析】本題考查歸納推理的思想方法.觀察各等式的右邊,它們分別為1,3,4,7,11,,發(fā)現(xiàn)從第3項開始,每一項就是它的前兩項之和,故等式的右邊依次為1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,,故【點評】歸納推理常?？山柚皫醉椀墓残詠硗瞥鲆话阈缘拿}.體現(xiàn)考綱中要求了解歸納推理.來年需要注意類比推理等合情推理.LISTNUMOutlineDefault\l3考點分析:本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計算.解析:等比數(shù)列性質(zhì),EQ,①;②;③;④.選CLISTNUMOutlineDefault\l3【答案】B【解析】,而,解得.【考點定位】該題主要考查等差數(shù)列的通項公式,考查計算求解能力.LISTNUMOutlineDefault\l3答案A【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前項和的公式的運用,以及裂項求和的綜合運用,通過已知中兩項,得到公差與首項,得到數(shù)列的通項公式,并進一步裂項求和.【解析】由可得LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】C【解析】由圖可知6,7,8,9這幾年增長最快,超過平均值,所以應(yīng)該加入,因此選C.【考點定位】本小題知識點考查很靈活,要根據(jù)圖像識別看出變化趨勢,判斷變化速度可以用導(dǎo)數(shù)來解,當然此題若利用數(shù)學估計過于復(fù)雜,最好從感覺出發(fā),由于目的是使平均產(chǎn)量最高,就需要隨著的增大,變化超過平均值的加入,隨著增大,變化不足平均值,故舍去.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】選二、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】的前項和為可證明:LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】將,兩個式子全部轉(zhuǎn)化成用,q表示的式子.即,兩式作差得:,即:,解之得:(舍去).LISTNUMOutlineDefault\l3LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】【點評】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式,轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力,屬于中檔題.LISTNUMOutlineDefault\l335【解析】本題考查等差中項的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學思想(解法一)因為數(shù)列都是等差數(shù)列,所以數(shù)列也是等差數(shù)列.故由等差中項的性質(zhì),得,即,解得.(解法二)設(shè)數(shù)列的公差分別為,因為,所以.所以.【點評】對于等差數(shù)列的計算問題,要注意掌握基本量法這一通法,同時要注意合理使用等差數(shù)列的性質(zhì)進行巧解.體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來年需要等差數(shù)列的通項公式,前項和,等差中項的性質(zhì)等.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】(1)6;(2)【解析】(1)當N=16時,,可設(shè)為,,即為,,即,x7位于P2中的第6個位置,;(2)方法同(1),歸納推理知x173位于P4中的第個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識,考查運算能力,考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣,才可順利解決此類問題.LISTNUMOutlineDefault\l3考點分析:本題考查排列、組合的應(yīng)用.解析:(Ⅰ)4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字,后面數(shù)字就可以確定,但是第一位不能為0,有9(1~9)種情況,第二位有10(0~9)種情況,所以4位回文數(shù)有種.答案:90(Ⅱ)法一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn),2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同,所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個數(shù).2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況,第一位不能為0有9種情況,后面n項每項有10種情況,所以個數(shù)為.法二、可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù),3位數(shù)90個回文數(shù).計算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,99”,因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按此規(guī)律推導(dǎo),而當奇數(shù)位時,可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0~9這十個數(shù),因此,則.LISTNUMOutlineDefault\l3解析:.設(shè)公差為(),則有,解得,所以.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】【解析】由,可得【考點定位】本題主要考察數(shù)列的項、前n項和,考查數(shù)列求和能力,此類問題關(guān)鍵是并項求和.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】1,【解析】,所以,.【考點定位】本小題主要考查等差數(shù)列的基本運算,考查通項公式和前項和公式的計算.三、解答題LISTNUMOutlineDefault\l3【命題意圖】本試題主要考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的概率、通項公式、前項和公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識,考查化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法,考查運算能力、推理論證的能力.(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為,等比數(shù)列的公比為,由,得,由條件得方程組,故（2）方法二：數(shù)學歸納法（1）當時，，故等式成立?！军c評】該試題命制比較直接,沒有什么隱含的條件,就是等比與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用,但方法多樣,第二問可以用錯位相減法求解證明,也可用數(shù)學歸納法證明,給學生思維空間留有余地,符合高考命題選拔性的原則.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】(1)由正弦定理得:(2)解得:LISTNUMOutlineDefault\l3(1)證明:由,得,即.因,故,得,又由題設(shè)條件知,兩式相減得,即,由,知,因此綜上,對所有成立,從而是首項為1,公比為的等比數(shù)列.(2)當或時,顯然,等號成立.設(shè),且,由(1)知,,,所以要證的不等式化為:即證:當時,上面不等式的等號成立.當時,與,()同為負;當時,與,()同為正;因此當且時,總有()()>0,即,().上面不等式對從1到求和得,由此得綜上,當且時,有,當且僅當或時等號成立.LISTNUMOutlineDefault\l3[解析](1)由已知得,交點A的坐標為,對則拋物線在點A處的切線方程為(2)由(1)知f(n)=,則即知,對于所有的n成立,特別地,取n=2時,得到a≥當,>2n3+1當n=0,1,2時,顯然故當a=時,對所有自然數(shù)都成立所以滿足條件的a的最小值是.(3)由(1)知,則,下面證明:首先證明:當0<x<1時,設(shè)函數(shù)當故g(x)在區(qū)間(0,1)上的最小值g(x)min=g所以,當0<x<1時,g(x)≥0,即得由0<a<1知0<ak<1(),因此,從而[點評]本小題屬于高檔題,難度較大,需要考生具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ)和解決數(shù)學問題的能力.主要考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、不等式、數(shù)列等基礎(chǔ)知識;考查了思維能力、運算能力、分析問題與解決問題的能力和創(chuàng)新意識能力;且又深層次的考查了函數(shù)、轉(zhuǎn)換與化歸、特殊與一般等數(shù)學思維方法.LISTNUMOutlineDefault\l3[解析]取n=1,得①取n=2,得②又②-①,得③(1)若a2=0,由①知a1=0,(2)若a2,④由①④得:(2)當a1>0時,由(I)知,當,(2+)an-1=S2+Sn-1所以,an=所以令所以,數(shù)列{bn}是以為公差,且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.則b1>b2>b3>>b7=當n≥8時,bn≤b8=所以,n=7時,Tn取得最大值,且Tn的最大值為T7=[點評]本小題主要從三個層面對考生進行了考查.第一,知識層面:考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對數(shù)等基礎(chǔ)知識;第二,能力層面:考查思維、運算、分析問題和解決問題的能力;第三,數(shù)學思想:考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.LISTNUMOutlineDefault\l3[解](1)選取,Y中與垂直的元素必有形式所以x=2b,從而x=4(2)證明:取.設(shè)滿足.由得,所以、異號.因為-1是X中唯一的負數(shù),所以、中之一為-1,另一為1,故1X假設(shè),其中,則.選取,并設(shè)滿足,即,則、異號,從而、之中恰有一個為-1.若=-1,則,矛盾;若=-1,則,矛盾.所以x1=1(3)[解法一]猜測,i=1,2,,n記,k=2,3,,n.先證明:若具有性質(zhì)P,則也具有性質(zhì)P.任取,、.當、中出現(xiàn)-1時,顯然有滿足;當且時,、≥1.因為具有性質(zhì)P,所以有,、,使得,從而和中有一個是-1,不妨設(shè)=-1.假設(shè)且,則.由,得,與矛盾.所以.從而也具有性質(zhì)P現(xiàn)用數(shù)學歸納法證明:,i=1,2,,n.當n=2時,結(jié)論顯然成立;假設(shè)n=k時,有性質(zhì)P,則,i=1,2,,k;當n=k+1時,若有性質(zhì)P,則也有性質(zhì)P,所以.取,并設(shè)滿足,即.由此可得s與t中有且只有一個為-1.若,則,所以,這不可能;所以,,又,所以.綜上所述,,i=1,2,,n[解法二]設(shè),,則等價于.記,則數(shù)集X具有性質(zhì)P當且僅當數(shù)集B關(guān)于原點對稱注意到-1是X中的唯一負數(shù),共有n-1個數(shù),所以也只有n-1個數(shù).由于,已有n-1個數(shù),對以下三角數(shù)陣注意到,所以,從而數(shù)列的通項公式為,k=1,2,,nLISTNUMOutlineDefault\l3解:(1),(2)由,由,即;由,即.(3)由,故,當時,以上各式相加得當時,,LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(1)設(shè)數(shù)列的公比為()由成等差數(shù)列,得,即由得,解得(舍去)∴(2)證法一:對任意所以,對任意,成等差數(shù)列證法二對任意,因此,對任意,成等差數(shù)列.LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(Ⅰ)由a3+a4+a5=84,a5=73可得而a9=73,則,,于是,即.(Ⅱ)對任意m∈N﹡,,則,即,而,由題意可知,于是,即.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】解:(1)當時,取最大值,即,故,從而,又,所以(2) 因為,所以【點評】本題考查數(shù)列的通項,遞推、錯位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用.利用來實現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一,要注意不能用來求解首項,首項一般通過來求解.運用錯位相減法求數(shù)列的前n項和適用的情況:當數(shù)列通項由兩項的乘積組成,其中一項是等差數(shù)列、另一項是等比數(shù)列.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】解:(1)當時,符合條件的集合為:,∴=4.(2)任取偶數(shù),將除以2,若商仍為偶數(shù).再除以2,···經(jīng)過次以后.商必為奇數(shù).此時記商為.于是,其中為奇數(shù).由條件知.若則為偶數(shù);若,則為奇數(shù).于是是否屬于,由是否屬于確定.設(shè)是中所有奇數(shù)的集合.因此等于的子集個數(shù).當為偶數(shù)〔或奇數(shù))時,中奇數(shù)的個數(shù)是().∴.【考點】集合的概念和運算,計數(shù)原理.【解析】(1)找出時,符合條件的集合個數(shù)即可.(2)由題設(shè),根據(jù)計數(shù)原理進行求解.LISTNUMOutlineDefault\l3【答案】解:(1)∵,∴.∴.∴.∴數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列.(2)∵,∴.∴.(﹡)設(shè)等比數(shù)列的公比為,由知,下面用反證法證明若則,∴當時,,與(﹡)矛盾.若則,∴當時,,與(﹡)矛盾.∴綜上所述,.∴,∴.又∵,∴是公比是的等比數(shù)列.若,則,于是.又由即,得.∴中至少有兩項相同,與矛盾.∴.∴.∴.【考點】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì),基本不等式,反證法.【解析】(1)根據(jù)題設(shè)和,求出,從而證明而得證.(2)根據(jù)基本不等式得到,用反證法證明等比數(shù)列的公比.從而得到的結(jié)論,再由知是公比是的等比數(shù)列.最后用反證法求出.LISTNUMOutlineDefault\l3【解析】解(1)對任意,三個數(shù)是等差數(shù)列,所以即亦即故數(shù)列是首項為1,公差為4的等差數(shù)列.于是(Ⅱ)(1)必要性:若數(shù)列是公比為q的等比數(shù)列,則對任意,有由知,均大于0,于是即==,所以三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.(2)充分性:若對于任意,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列,則,于是得即由有即,從而.因為,所以,故數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列,綜上所述,數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是:對任意n∈N﹡,三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【點評】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得;第二問要從充分性、必要性兩方面來證明,利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.LISTNUMOutlineDefault\l3考點分析:考察等差等比數(shù)列的通項公式,和前n項和公式及基本運算.解析:(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,,由題意得解得或所以由等差數(shù)列通項公式可得,或.故,或.(Ⅱ)當時,,,分別為,,,不成等比數(shù)列;當時,,,分別為,,,成等比數(shù)列,滿足條件.故記數(shù)列的前項和為.當時,;當時,;當時,.當時,滿足此式.綜上,LISTNUMOutlineDefault\l3解析:(Ⅰ)由,解得.(Ⅱ)由可得(),兩式相減,可得,即,即,所以數(shù)列()是一個以為首項,3為公比的等比數(shù)列.由可得,,所以,即(),當時,,也滿足該式子,所以數(shù)列的通項公式是.(Ⅲ)因為,所以,所以,于是.點評:上述證法實質(zhì)上是證明了一個加強命題,該加強命題的思考過程如下.考慮構(gòu)造一個公比為的等比數(shù)列,其前項和為,希望能得到,考慮到,所以令即可.由的通項公式的形式可大膽嘗試令,則,于是,此時只需證明就可以了.當然,的選取并不唯一,也可令,此時,,與選取不同的地方在于,當時,,當時,,所以此時我們不能從第一項就開始放縮,應(yīng)該保留前幾項,之后的再放縮,下面給出其證法.當時,;當時,;當時,.當時,,所以.綜上所述,命題獲證.下面再給出的兩個證法.法1:(數(shù)學歸納法)①當時,左邊,右邊,命題成立.②假設(shè)當(,)時成立,即成立.為了證明當時命題也成立,我們首先證明不等式:(,).要證,只需證,只需證,只需證,只需證,該式子明顯成立,所以.于是當時,,所以命題在時也成立.綜合①②,由數(shù)學歸納法可得,對一切正整數(shù),有.備注:不少人認為當不等式的一邊是常數(shù)的時候是不能用數(shù)學歸納法的,其實這是一個錯誤的認識.法2:(裂項相消法)(南海中學錢耀周提供)當時,顯然成立.當時,顯然成立.當時,,又因為,所以(),所以(),所以.綜上所述,命題獲證.LISTNUMOutlineDefault\l3【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項公式以及函數(shù)與數(shù)列相